Аксиоматика евклидовой геометрии

Ключевые слова конспекта «Аксиоматика евклидовой геометрии»: аксиомы планиметрии Погорелова, первая аксиоматика евклидовой геометрии, современная система аксиом.

Школьный курс геометрии дает представление о логическом (дедуктивном) методе построения научной теории. Логически строгий курс геометрии строится следующим образом: перечисляются основные геометрические понятия, которые вводятся без определений, но их свойства выражаются в аксиомах; с помощью основных понятий и аксиом даются определения новых понятий, формулируются и доказываются теоремы и таким образом рассматриваются свойства геометрических фигур. В школьных учебниках в начале курса вводят, как правило без определения, три основных понятия планиметрии: «точка», «прямая», «расстояние». При дальнейшем изучении планиметрии большинству рассматриваемых понятий («окружность», «круг», «отрезок», «луч» и т. п.) даются определения. Однако часто в учебниках приводятся не все аксиомы, необходимые для построения планиметрии, — для упрощения изложения некоторые аксиомы не формулируются, хотя авторы их и используют.

Система аксиом А.В.Погорелова

Приведем одну из возможных систем аксиом планиметрии, предложенную для школьного курса геометрии академиком А. В. Погореловым. Предложенные аксиомы не предназначены для запоминания. Учащимся достаточно понимать их смысл.

I. Аксиомы принадлежности

I₁. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.

I₂. Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.

II. Аксиомы взаимного расположения точек
на прямой и плоскости (аксиомы порядка)

II₁. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
Выражение «Точка В лежит между точками А и С» означает то же, что и выражение «Точки А и С лежат по разные стороны от точки В» или «Точки В и С лежат по одну сторону от точки А». С помощью предлога «между» для точек прямой вводятся понятия «отрезок прямой» и «полупрямая (луч)».

Напомним, что отрезком АВ называют часть прямой, лежащей между точками А и В (которые называют концами отрезка). Полупрямой, или лучом, называют часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от данной ее точки. Эту точку называют начальной точкой полупрямой. Различные полупрямые одной и той же прямой с общей начальной точкой называют дополнительными.

II₂. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.
Это разбиение имеет следующие свойства. Если концы какого-нибудь отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не пересекает прямую — границу полуплоскостей. Если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям (и не принадлежат прямой — границе полуплоскостей, входящей и в одну полуплоскость, и в другую), то отрезок пересекает прямую.

III. Аксиомы измерения и откладывания отрезков и углов

III₁. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его внутренней точкой.

III₂. На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и притом только один.

Аксиомы III₁ и III₂ позволяют ввести понятие координаты точки на прямой, то есть каждой точке прямой поставить в соответствие действительное число так, что если х_А х_В — координаты точек А и В, то длина отрезка АВ равна | х_В – х_А |.

III₃. Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проведенным между его сторонами.

III₄. От любой прямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один.

IV. Аксиома существования треугольника, равного данному

IV₁. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой.

V. Аксиома параллельных прямых

V₁. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.

Другие системы аксиом планиметрии

Идея дедуктивного метода построения геометрии была выдвинута еще древнегреческим философом Платоном (422-347 гг. до н. э.) — учеником Сократа (469-399 гг. до н. э.). Однако действительным родоначальником научной теории логического вывода считают ученика Платона, древнегреческого мыслителя Аристотеля (384-322 гг. до н. э.).

Идеи Аристотеля относительно геометрии развил древнегреческий математик Евклид (III в. до н. э.) в трактате по геометрии «Начала». В течение 2000 лет этот труд Евклида оставался единственным руководством, по которому учили геометрии; из него вышли и все идеи последующего, более совершенного обоснования геометрии. Система сформулированных Евклидом аксиом (постулатов) нуждалась в усовершенствовании, поскольку была неполной, а потому доказательства нередко «грешили» обращением к наглядности.

Кропотливый труд многих поколений ученых позволил создать научный аксиоматический метод построения геометрии. Большая роль в этом принадлежит известным немецким математикам Феликсу Клейну (1849-1925) и Давиду Гильберту (1862-1943). В 1899 г. появился трактат «Основания геометрии» Гильберта, в котором аксиоматика была построена таким образом, что логическая структура геометрии стала абсолютно прозрачной. Гильберт предложил первую достаточно строгую аксиоматику евклидовой геометрии. Система аксиом Гильберта состоит из 20 аксиом и поделена на 5 групп: аксиомы принадлежности, аксиомы порядка, аксиомы конгруэнтности, аксиома параллельности, аксиомы непрерывности.

Среди систем аксиом наиболее известны: аксиоматика Александрова, аксиоматика Биркгофа, аксиоматика Тарского и другие. В российских учебных заведениях изучают, как правило, 10 аксиом, разбитых на 5 групп (смотрите эти аксиомы в нашем конспекте).

Отметим, что для построения геометрии можно использовать различные системы аксиом. Например, вместо аксиомы о параллельных прямых можно взять в качестве аксиомы утверждение «Сумма углов треугольника равна 180°». Тогда утверждение «Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной» можно доказать как теорему.

Во многих учебниках планиметрии при доказательстве первых признаков равенства треугольников используется не аксиома существования треугольника, равного данному, а наложение одного заданного треугольника на другой. Иначе говоря, как одно из основных понятий используется понятие «наложение» и фигуры считаются равными, если их можно совместить наложением. Чтобы такое доказательство было корректным, нужно зафиксировать в специальных аксиомах свойства наложения.

Современная аксиоматика евклидовой геометрии

Современная система аксиом (аксиоматика) евклидовой геометрии состоит из пяти групп и опирается на шесть основных (неопределяемых) понятий. Это объекты трех видов: точки, прямые и плоскости — и три вида отношений между ними, которые выражаются словами «принадлежат», «лежит между», «движение».

I. Аксиомы принадлежности

• I₁. Через каждые две точки можно провести прямую, и притом только одну.
• I₂. На каждой прямой лежат по крайней мере две точки. Существуют хотя бы три точки, не лежащие на одной прямой.
• I₃. Через каждые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.
• I₄. На каждой плоскости лежат по крайней мере три точки и существуют хотя бы четыре точки, не лежащие в одной плоскости.
• I₅. Если две точки данной прямой лежат на данной плоскости, то и сама прямая лежит на этой плоскости.
• I₆. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют еще одну общую точку (а следовательно, и общую прямую).

II. Аксиомы порядка

• II₁. Если точка В лежит между точками А и С, то все три точки лежат на одной прямой.
• II₂. Для любых точек А и В существует такая точка С, что В лежит между
• II₃. Из трех точек прямой только одна лежит между двумя другими.
• II₄. (Аксиома Паша.) Если прямая l пересекает одну сторону треугольника (рис. 5.5), то она пересекает и другую его сторону или проходит через его вершину (отрезок АВ определяется как множество точек, лежащих между А и В; соответственно определяются и стороны треугольника).

III. Аксиомы движения

• III₁. Движение ставит в соответствие точкам точки, прямым — прямые, плоскостям — плоскости, сохраняя принадлежность точек прямым и плоскостям.
• III₂. Два последовательных движения дают снова движение, и для всякого движения есть обратное движение.
• III₃. Если даны точки А, В и полуплоскости α и β, ограниченные продленными полупрямыми а, b, исходящими из точек А, В (рис. 5.6), то существует движение, и притом единственное, переводящее точку А, полупрямую а, полуплоскость α соответственно в точку B, прямую b, полуплоскость β (полупрямая и полуплоскость легко определяются на основании понятий принадлежности и порядка).
  

IV. Аксиомы непрерывности

• IV₁. (Аксиома Архимеда.) Всякий отрезок АВ можно покрыть меньшим отрезком AA₁, откладывая его на АВ достаточное число раз: AA₁ = А₁А₂ = … = А_nА_n+1 (рис. 5.7); откладывание отрезка осуществляется движением.
  
• IV₂. (Аксиома Кантора.) Для последовательности вложенных отрезков А_nВ_n (рис. 5.8), длины которых стремятся к нулю, существует, и притом единственная, точка С, принадлежащая всем отрезкам А_nВ_n.
  

V. Аксиома параллельных

• V₁. Через данную точку вне данной прямой можно провести на плоскости не более одной прямой, не пересекающей данную, то есть не более одной прямой, параллельной данной.

В приведенной системе аксиом III группа содержит аксиомы движения, предложенные в начале XX в. немецким математиком Ф.Шуром. У Д.Гильберта вместо движения в число основных понятий входило понятие «конгруэнтность». Соответственно в системе аксиом Гильберта III группа содержит пять аксиом конгруэнтности, описывающих отношение «конгруэнтный».

С помощью основных определяются остальные понятия евклидовой геометрии. Все утверждения о свойствах геометрических фигур, не содержащиеся в аксиомах, должны быть доказаны чисто логическим выведением из этих аксиом. Приведенная система аксиом евклидовой геометрии обладает свойствами полноты и непротиворечивости.

Если в аксиоматике евклидовой геометрии заменить аксиому параллельных (через точку вне данной прямой можно провести на плоскости не более одной прямой, не пересекающей данную, то есть параллельной данной) на утверждение «через точку, не лежащую на данной прямой, проходят хотя бы две прямые, лежащие с данной в одной плоскости и не пересекающие ее», то получится другая система аксиом. Это система аксиом геометрии Лобачевского, также непротиворечивая. В ней аксиома параллельных не зависит от остальных аксиом евклидовой геометрии.

Это конспект по геометрии в 10 классе «Аксиоматика евклидовой геометрии». Выберите дальнейшие действия:

• Вернуться к Списку конспектов по геометрии
• Найти конспект по Кодификатору ОГЭ по математике