Контрольная работа № 2 по алгебре в 7 классе «Уравнения с одной переменной» с ответами по УМК Макарычев (сложный уровень). Глава I. ВЫРАЖЕНИЯ. ТОЖДЕСТВА. УРАВНЕНИЯ. Урок 22 поурочного планирования — Алгебра 7 Макарычев К-2 Уровень 3 (варианты 5, 6).

Перейти: Список контрольных по алгебре в 7 классе по УМК Макарычев (Оглавление)

Контрольная работа № 2. Уровень 3 (сложный)
«Уравнения с одной переменной»

К-2 Уровень 1 + Ответы   К-2 Уровень 2 + Ответы

   К-2. Вариант 5 (транскрипт)

1. Решите уравнение |х – 1| + |х – 4| = 3.
2. Решите уравнение (а – 3)(а + 2) • х = а + 2 при всех значениях параметра а.
3. Количество компьютеров на трех складах относится как 1 : 2 : 3. С первого склада было продано 7 компьютеров, с третьего склада – 16 компьютеров, а на второй склад привезли 17 компьютеров. После этого на втором складе стало столько же компьютеров, сколько на первом и третьем складах вместе. Сколько компьютеров было на каждом складе сначала?
4. Катер по течению реки за 5 ч проплыл такое же расстояние, которое проплывает против течения реки за 8 ч. Во сколько раз собственная скорость катера больше скорости течения реки?
5. Докажите, что уравнение (х + 3)(х + 4)(х + 5) = 31 не имеет целых корней.
6. При каких целых значениях параметра а уравнение а • х = = 5 + 2х имеет целые корни? Найдите эти корни.

   К-2. Вариант 6 (транскрипт)

1. Решите уравнение |х – 2| + |х – 5| = 3.
2. Решите уравнение (а – 2)(а + 3) • х = а + 3 при всех значениях параметра а.
3. Количество компьютеров на трех складах относится как 2 : 1 : 3. С первого склада было продано 9 компьютеров, с третьего склада – 27 компьютеров, а на второй склад привезли 32 компьютера. После этого на втором складе стало столько же компьютеров, сколько на первом и третьем складах вместе. Сколько компьютеров было на каждом складе сначала?
4. Катер по течению реки за 6 ч проплыл такое же расстояние, которое проплывает против течения реки за 9 ч. Во сколько раз собственная скорость катера больше скорости течения реки?
5. Докажите, что уравнение (х + 1)(х + 2)(х + 3) = 25 не имеет целых корней.
6. При каких целых значениях параметра а уравнение а • х–= 7 + 3х имеет целые корни? Найдите эти корни.

Решения и ответы на контрольную работу:

ОТВЕТЫ на Вариант 5

№ 1. При решении уравнения |х – 1| + |х – 4| = 3 учтем геометрический смысл модуля. Величина |х – 1| – расстояние от числа х до числа 1 на координатной прямой, величина |х – 4| – расстояние от числа х до числа 4. Тогда геометрический смысл данного уравнения таков: сумма расстояний от числа х до чисел 1 и 4 должна равняться 3.

На рисунке видно, что для чисел 1 ≤ х ≤ 4 такое условие выполняется. Таким образом, решение данного уравнения – любое число х из промежутка 1 ≤ х ≤ 4.
Ответ: 1 ≤ х ≤ 4.

№ 2. Если коэффициент при х в уравнении (а – 3)(а + 2) • х = = а + 2 не равен нулю (т. е. а ≠ 3 и а ≠ –2), то уравнение имеет единственный корень х = (а+2)/((а–3)(а+2)) = 1/(а–3).
Подставим значение а = 3 в данное уравнение и получим (3 – 3)(3 + 2) • х = 3 + 2 или 0 • х = 5. Такое уравнение решений не имеет. Подставим значение а = –2 в данное уравнение и получим (–2 – 3)(–2 + 2) • х = –2 + 2 или 0 • jc = 0. Любое число л: является решением данного уравнения.
Ответ: при а ≠ 3 и а ≠ –2 х = 1/(а–3), при а = 3 решений нет, при а = –2 х – любое число.

№ 3. Так как число компьютеров на складах относится как 1 : 2 : 3, то на первом складе находится х штук, на втором – 2х штук и на третьем – Зх штук. В соответствии с условиями задачи после продажи и поступления компьютеров на склады их стало: на первом складе – х – 7 штук, на втором складе – 2х + 17 штук и на третьем складе – 3х – 16 штук. После этого на втором складе стало столько же компьютеров, сколько на первом и третьем складах вместе. Поэтому получаем уравнение: 2х + 17 = (х – 7) + (3х – 16), или 2х + 17 = 4х – 23, или 40 = 2х, откуда х = 20. Следовательно, на складах было: на первом – 20 компьютеров, на втором – 2 • 20 = 40 компьютеров, на третьем – 3 • 20 = 60 компьютеров.
Ответ: 20 компьютеров, 40 компьютеров, 60 компьютеров.

№ 4. Пусть собственная скорость катера х км/ч, скорость течения реки у км/ч. По течению реки, двигаясь со скоростью х + у км/ч, катер за 5 ч проплыл расстояние 5(х + у) км. Против течения реки, двигаясь со скоростью х– у км/ч, катер за 8 ч проплыл расстояние 8(х – у) км. По условию эти расстояния одинаковы. Поэтому получаем уравнение: 5(х + у) = 8(х – у), или 5х + 5у = 8х – 8у, или 5у + 8у = 8х – 5х, или 13у = 3х, откуда х = 13у/3 = 4 ¹/₃ у. Следовательно, собственная скорость катера больше скорости течения реки в 4 ¹/₃ раза.
Ответ: в 4 ¹/₃ раза.

№ 5. Пусть уравнение (х + 3)(х + 4)(х + 5) = 31 имеет целый корень х. Тогда числа х + 3, х + 4, х + 5 – целые и последовательные. Среди трех последовательных целых чисел обязательно одно делится на 2 и одно – на 3 (например, числа 7, 8, 9), поэтому произведение таких чисел без остатка делится на 2 • 3 = 6. Следовательно, левая часть уравнения кратна 6. В правой части уравнения стоит число 31, которое делится на 6 с остатком 1. Получаем противоречие. Поэтому данное уравнение не может иметь целых корней.
Ответ: доказано.

№ 6. Уравнение а • х = 5 + 2х запишем в виде а • х – 2х = 5 или (а – 2) • х = 5. При а ≠ 2 это уравнение имеет корень х = 5/(а–2). Чтобы такой корень был целым числом, надо, чтобы целое число а – 2 было делителем числа 5 (т. е. ±1, ±5). Итак, рассмотрим четыре случая:
1) а – 2 = 1 (т. е. а = 3), тогда х = 5/1 = 5;
2) а – 2 = –1 (т. е. а = 1), тогда х = 5/(–1) = –5;
3) а – 2 = 5 (т. е. а = 7), тогда х = 5/5 = 1;
4) а – 2 = – 5 (т. е. а = –3), тогда х = 5/(–5) = –1.
Ответ: при а = 3 х = 5, при а = 1 х = –5, при а = 7 х = 1, при а = –3 х = –1.

ОТВЕТЫ на Вариант 6

№ 1. При решении уравнения |х–2| + |х–5| = 3 учтем геометрический смысл модуля. Величина |х – 2| – расстояние от числах до числа 2 на координатной прямой, величина |х – 5| – расстояние от числа х до числа 5. Тогда геометрический смысл данного уравнения таков: сумма расстояний от числа х до чисел 2 и 5 должна равняться 3.

На рисунке видно, что для чисел 2 ≤ х ≤ 5 такое условие выполняется. Таким образом, решение данного уравнения – любое число х из промежутка 2 ≤ х ≤ 5.
Ответ: 2 ≤ х ≤ 5.

№ 2. Если коэффициент при х в уравнении (а – 2)(а + 3) • х = а + 3 не равен нулю (т. е. (а – 2)(а + 3) ≠ 0 или а ≠ 2 и а ≠ –3), то уравнение имеет единственный корень х = (а+3)/((а–2)(а + 3)) = 1/(а–2).
Подставим значение а = 2 в данное уравнение и получим (2 – 2)(2 + 3) • х = 2 + 3 или 0 • х = 5. Такое уравнение решений не имеет. Подставим значение а = – 3 в данное уравнение и получим (–3 – 2)(–3 + 3) • х = –3 + 3 или 0 • х = 0. Любое число х является решением данного уравнения.
Ответ: при а ≠ 2 и а ≠ –3 х = 1/(а–2), при а = 2 решений нет, при а = –3 х – любое число.

№ 3. Так как число компьютеров на складах относится как 2 : 1 : 3, то на первом складе находится 2х штук, на втором – х штук и на третьем – 3х штук. В соответствии с условиями задачи после продажи и поступления компьютеров на склады их стало: на первом складе – 2х – 9 штук, на втором – х + 32 штук и на третьем складе – 3х – 27 штук. После этого на втором складе стало столько же компьютеров, сколько на первом и третьем складах вместе. Поэтому получаем уравнение: х + 32 = (2х – 9) + + (3х – 27), или х + 32 = 5х – 36, или 68 – 4х, откуда х = 17. Следовательно, на складах было: на первом – 2 • 17 = 34 компьютера, на втором – 17 компьютеров, на третьем – 3 • 17 = 51 компьютер.
Ответ: 34 компьютера, 17 компьютеров, 51 компьютер.

№ 4. Пусть собственная скорость катерах км/ч, скорость течения реки у км/ч. По течению реки, двигаясь со скоростью х + у км/ч, катер за 6 ч проплыл расстояние 6(х + у) км. Против течения реки, двигаясь со скоростью х – у км/ч, катер за 9 ч проплыл расстояние 9(х – у) км. По условию эти расстояния одинаковы. Поэтому получаем уравнение: 6(х + у) = 9(х – у), или 6х + 6у = 9х – 9у, или 6у + 9у = 9х – 6х, или 15у = 3х, откуда х = 15у/3 = 5у. Следовательно, собственная скорость катера больше скорости течения реки в 5 раз.
Ответ: в 5 раз.

№ 5. Пусть уравнение (х + 1)(х + 2)(х + 3) = 25 имеет целый корень х, тогда числа х + 1, х + 2, х + 3 – целые и последовательные. Среди трех последовательных целых чисел обязательно одно делится на 2 и одно – на 3 (например, числа 13, 14, 15), поэтому произведение таких чисел без остатка делится на 2 • 3 = 6. Следовательно, левая часть уравнения кратна 6. В правой части уравнения стоит число 25, которое делится на 6 с остатком 1. Получаем противоречие. Поэтому данное уравнение не может иметь целых корней.
Ответ: доказано.

№ 6. Уравнение а • х = 7 + 3х запишем в виде а • х – Зх = 7 или (а – 3) • х = 7. При а ≠ 3 это уравнение имеет корень х = 7/(а – 3). Чтобы такой корень был целым числом, надо, чтобы целое число а – 3 было делителем числа 7 (т. е. ±1, ±7). Итак, рассмотрим четыре случая:
1) а – 3 = 1 (т. е. а = 4), тогда х = 7/1 = 7;
2) а – 3 = –1 (т. е. а = 2), тогда х = 7/(–1) = –7;
3) а – 3 = 7 (т. е. а = 10), тогда х = 7/7 = 1;
4) а – 3 = –7 (т. е. а = –4), тогда х = 7/(–7) = –1.
Ответ: при а = 4 х = 7, при а = 2 х = –7, при а = 10 х = 1, при а = –4 х = –1.

Контрольная работа составлена в шести вариантах (варианты 1,2 – самые простые, варианты 3, 4 – средней сложности, варианты 5, 6 – самые сложные). Степень сложности меняется не слишком резко, поэтому можно рекомендовать следующий критерий оценки: при выполнении вариантов 1, 2 оценка «3» ставится за любые три решенные задачи, оценка «4» – за четыре задачи и оценка «5» – за пять задач. Одна задача дает учащимся некоторую свободу выбора. При тех же критериях оценки за решение задач вариантов 3, 4 к набранным баллам добавляются дополнительно 0,5 балла, за решение задач вариантов 5,6 – дополнительно 1 балл (т. е. оценка «5» выставляется уже за четыре задачи). Все задачи в варианте примерно равноценны. Возможно, несколько труднее для учеников задачи 5, 6.

Перед проведением контрольной работы учащихся целесообразно ознакомить с критериями оценки и разной сложностью вариантов. Выбор вариантов может быть осуществлен учителем или предоставлен ученикам (в этом случае предполагается наличие копировальной техники в школе и избыточное количество заданий). При наличии такой техники в классе на стенде (после контрольной) может быть вывешено решение всех задач шести вариантов. Разумеется, разобрать такое количество задач на уроке невозможно (да и не нужно).

К-2 Уровень 1 + Ответы   К-2 Уровень 2 + Ответы

Вы смотрели: Контрольная работа № 2 по алгебре 7 класс «Уравнения с одной переменной» с ответами по УМК Макарычев. Глава I. ВЫРАЖЕНИЯ. ТОЖДЕСТВА. УРАВНЕНИЯ. Урок № 22 поурочного планирования — Алгебра 7 Макарычев К-2 Уровень 3 (варианты 5, 6).

Смотреть Список контрольных по алгебре в 7 классе по УМК Макарычев (Оглавление)