Поурочные планы по алгебре 9 класс Макарычева. Урок № 13 — «Учебник п.7. Свойства чётности и нечётности функций». Календарное и тематическое планирование учебного процесса 2025/2026 по новой ФОП ООО. Цитаты из учебного пособия использованы в учебных целях. Код материалов: Алгебра 9 класс Урок 13.
Вернуться к Списку уроков.
Алгебра 9 класс. Урок № 13.
Учебник п.7. Свойства чётности и нечётности функций
Тема урока: Учебник п.7. Свойства чётности и нечётности функций
1. Организационный этап
(Учитель и ученики приветствуют друг друга, выявляются отсутствующие. Проверяется выполнение домашнего задания)
2. Актуализация опорных знаний.
Анализ контрольной работы. Основные виды ошибок
3. Мотивационный этап.
- Симметрия графиков чётных и нечётных функций — не просто красивое свойство: инженеры и физики используют её, чтобы вдвое сократить расчёты при моделировании колебаний, волн и нагрузок на конструкции — достаточно просчитать одну «половину» системы, а вторую получить по симметрии.
- В криптографии и теории чисел чётность — один из простейших, но мощнейших инструментов проверки: например, по чётности суммы цифр можно мгновенно отсечь заведомо неверные варианты в задачах на делимость, а в алгоритмах хеширования бит чётности помогает обнаруживать ошибки передачи данных.
Алгебра 9 класс Урок 13
4. Изучение нового материала
п. 7 (с. 33—35) Понятия чётной и нечётной функций
5. Тренировочные упражнения
№№ 98 а; 99 а, б, г; 101 а, в; 103 а; 104 а.
Повторение: 109 а
№ 98. а) Перечислим свойства функции по графику на рисунке 12.
1. Область определения: по графику видно, что функция задана на отрезке от $-6$ до $6$, то есть $D(y) = [-6; 6]$.
2. Область значений: минимальное значение функции — $-5$, максимальное — $4$, значит, $E(y) = [-5; 4]$.
3. Нули функции: график пересекает ось $Ox$ в точках $x = -3$ и $x = 2$.
4. Промежутки знакопостоянства:
• $y > 0$ при $x \in (-3; 2)$;
• $y < 0$ при $x \in [-6; -3) \cup (2; 6]$.
5. Промежутки возрастания и убывания:
• функция возрастает на $[-6; 1]$;
• функция убывает на $[1; 6]$.
6. Точка максимума: $x = 1$, $y(1) = 4$.
7. Точки минимума: на концах отрезка $x = -6$ и $x = 6$, $y(-6) = -4$, $y(6) = -5$.
8. Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.
9. Чётность/нечётность: график не симметричен относительно оси $Oy$ и начала координат, значит, функция ни чётная, ни нечётная.
Ответ: свойства перечислены выше.
№ 99. а) $y = x^2 + 3x \mathbin{-} 25$
1. Это квадратичная функция, она определена при любых действительных значениях $x$.
2. Следовательно, область определения — все действительные числа.
Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
№ 99. б) $y = \sqrt{5 \mathbin{-} 3x}$
1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $5 \mathbin{-} 3x \geq 0$.
2. Решим неравенство: $-3x \geq -5$, откуда $x \leq \frac{5}{3}$.
Ответ: $D(y) = \left(-\infty; \frac{5}{3}\right]$.
№ 99. г) $y = \frac{x + 1}{x^2 + 1}$
1. Знаменатель $x^2 + 1$ всегда положителен при любых действительных $x$, так как $x^2 \geq 0$, значит, $x^2 + 1 \geq 1$.
2. Деление на ноль невозможно, но в данном случае знаменатель никогда не обращается в ноль.
3. Следовательно, функция определена при всех действительных $x$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
№ 101. а) $y = 7x^2 \mathbin{-} 6x \mathbin{-} 1$
1. Нули функции — это значения $x$, при которых $y = 0$, то есть $7x^2 \mathbin{-} 6x \mathbin{-} 1 = 0$.
2. Найдём дискриминант: $D = (-6)^2 \mathbin{-} 4 \cdot 7 \cdot (-1) = 36 + 28 = 64$.
3. Корни уравнения: $x_1 = \frac{6 + \sqrt{64}}{2 \cdot 7} = \frac{6 + 8}{14} = \frac{14}{14} = 1$; $x_2 = \frac{6 \mathbin{-} 8}{14} = \frac{-2}{14} = -\frac{1}{7}$.
Ответ: $x = 1$ и $x = -\frac{1}{7}$.
№ 101. в) $y = \frac{2x + 3}{9 \mathbin{-} 4x^2}$
1. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
2. Приравняем числитель к нулю: $2x + 3 = 0$, откуда $x = -\frac{3}{2}$.
3. Проверим знаменатель при этом значении: $9 \mathbin{-} 4 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)^2 = 9 \mathbin{-} 4 \cdot \frac{9}{4} = 9 \mathbin{-} 9 = 0$.
4. Знаменатель обращается в ноль, значит, $x = -\frac{3}{2}$ не входит в область определения функции.
5. Следовательно, у функции нет нулей.
Ответ: нулей нет.
№ 103. а) $f(x) = 6 \mathbin{-} 5x^2 + x^4$
1. Чтобы доказать чётность, нужно показать, что $f(-x) = f(x)$.
2. Найдём $f(-x)$: $f(-x) = 6 \mathbin{-} 5(-x)^2 + (-x)^4 = 6 \mathbin{-} 5x^2 + x^4$.
3. Получили, что $f(-x) = f(x)$, значит, функция чётная.
Ответ: функция чётная.
№ 104. а) $f(x) = x + \frac{1}{x}$
1. Чтобы доказать нечётность, нужно показать, что $f(-x) = -f(x)$.
2. Найдём $f(-x)$: $f(-x) = (-x) + \frac{1}{-x} = -x \mathbin{-} \frac{1}{x} = -\left(x + \frac{1}{x}\right)$.
3. Получили, что $f(-x) = -f(x)$, значит, функция нечётная.
Ответ: функция нечётная.
6. Закрепление знаний
- Какая функция называется:
— чётной;
— нечётной? - Приведите примеры чётной и нечётной функций.
Чётная функция — это функция $y = f(x)$, которая удовлетворяет двум условиям:
1. Её область определения симметрична относительно нуля (то есть если $x$ входит в область определения, то и $-x$ тоже).
2. Для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.
Геометрически это означает, что график чётной функции симметричен относительно оси $Oy$.
Нечётная функция — это функция $y = f(x)$, для которой также требуется симметричная относительно нуля область определения, и при этом для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.
Геометрически график нечётной функции симметричен относительно начала координат (то есть при повороте на $180^\circ$ вокруг точки $(0; 0)$ он совпадает сам с собой).
Примеры чётных функций:
• $f(x) = x^2$. Проверим: $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$ — функция чётная.
• $f(x) = \cos x$. Известно, что $\cos(-x) = \cos x$, значит, косинус — чётная функция.
• $f(x) = |x|$. Модуль числа не меняется при смене знака аргумента: $|-x| = |x|$, поэтому функция чётная.
Примеры нечётных функций:
• $f(x) = x^3$. Проверим: $f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)$ — функция нечётная.
• $f(x) = \sin x$. Известно, что $\sin(-x) = -\sin x$, значит, синус — нечётная функция.
• $f(x) = \frac{1}{x}$. Проверим: $f(-x) = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x} = -f(x)$ — функция нечётная.
7. Домашнее задание
п. 7 (с. 33—35)
№№ 98 б; 99 в; 101 б, г; 104 б; 109 б.
Вы смотрели: Урок по алгебре 9 класс УМК Макарычев. Календарное и тематическое планирование учебного процесса 2025/2026 по новой ФОП ООО (согласно приказа Минпросвещения РФ от 09.10.2024 г. № 704). Код материалов: Алгебра 9 класс Урок 13.
