Конспект "Арифметическая прогрессия" - УчительPRO

Арифметическая прогрессия

Код ОГЭ по математике: 4.2.1. Арифметическая прогрессия. Формула общего члена арифметической прогрессии. 4.2.2. Формула суммы первых нескольких членов арифметической прогрессии



Определения и обозначения

Определение. Арифметической прогрессией называют последовательность, каждый член которой, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему члену одного и того же числа.

В арифметической прогрессии разность между любыми двумя соседними членами одна и та же. Эту разность называют разностью арифметической прогрессии и обозначают буквой d. Правило, по которому образуются члены арифметической прогрессии, можно записать в виде рекуррентной формулы:

аn+1an = d.    Или иначе: an+1 = an + d.

Пример 1. В арифметической прогрессии 1; 3; 5; 7; 9; 11; … разность положительна: d = 3 – 1 = 2. В этой последовательности каждый следующий член больше предыдущего; такую последовательность называют возрастающей.

Пример 2. В арифметической прогрессии 100; 90; 80; 70; 60; … разность отрицательна: d = 90 – 100 = –10. Каждый следующий член этой последовательности меньше предыдущего, и поэтому последовательность называют убывающей.

Пример 3. Последовательность 5; 5; 5; 5; 5; … , все члены которой равны между собой, тоже является арифметической прогрессией, так как разность между любыми двумя её членами одна и та же: d = 5 – 5 = 0.

Свойство арифметической прогрессии. Любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов:

 

Формулы n–го члена арифметической прогрессии

Формула nго члена арифметической прогрессии (аn), первый член которой равен а1 и разность равна d:

аn = а1 + d(n – 1).

Формула содержит четыре переменные. Если известны значения трёх из них, то можно вычислить и значение четвёртой. Убедитесь в этом, решив следующие четыре задачи (в каждом случае укажите, какие переменные известны, и получите ответ):

  1. В арифметической прогрессии а1 = 2 и d = 3. Найдите а65. (Ответ: 194.)
  2. В арифметической прогрессии а86 = 100 и d = 4. Найдите а1. (Ответ: 440.)
  3. В арифметической прогрессии а1 = 65 и а21 = 55. Найдите d. (Ответ: 6.)
  4. В арифметической прогрессии а1 = 1 и d=4. Найдите номер члена, равного 397. (Ответ: 100.)

Пример 4. Дана арифметическая прогрессия: 1,5; 4,5; 7,5; 10,5; … . Начиная с какого номера члены этой прогрессии превосходят 1000?

В данной прогрессии а1 = 1,5 и d = 4,5 1,5 = 3. Составим формулу n–го члена: аn = 1,5 + 3(n 1), т.е. аn = 3n 1,5.

Найдём значения n, при которых выполняется условие аn > 1000. Для этого решим неравенство 3n 1,5 > 1000; n > 333. Таким образом, члены данной прогрессии превосходят 1000, начиная с члена, номер которого равен 334. (Для самопроверки можно вычислить а334: имеем a334 = 3 • 334 1,5 = 1000,5).

Пример 5. В арифметической прогрессии a15 = 40, а20 = 5. Найдём a30.

Способ 1. Выразив а15 и a20 через а1 и d, составим систему уравнений:

Решив её, найдём, что а1 = 138, d = –7. (Получите этот результат самостоятельно.) Воспользовавшись формулой n–го члена, найдём a30, a именно: а30 = 138 – 7 • 29 = –65.

Способ 2. Выразим а20 через а15 и d: a20 = а15 + 5d. Подставив значения а20 и а15, получим: 5 = 40 + 5d, откуда d = –7. Теперь найдём а30. Это можно сделать, например, так:
а30 = а20 + 10d = 5 – 7 • 10 = –65.

При решении задачи вторым способом мы воспользовались приёмом, основанным на следующим утверждении: если последовательность (аn) арифметическая прогрессия, то для любых натуральных n и m верно равенство:

аn = аm + (n – m)d.

Если вы эту формулу забудете, то в каждом конкретном случае можно выразить один член прогрессии через другой, выполнив несложные преобразования. Например, выразим а20 через а5:
а20 = а1 + 19d = (a1 + 4d) + 15d = а5 + 15d.

 

Изображение членов арифметической прогрессии
точками на координатной плоскости

Члены числовой последовательности можно изображать точками на координатной плоскости. Для этого по горизонтальной оси откладывают номер члена, a по вертикальной соответствующий член последовательности.

арифметическая прогрессия

Если последовательность арифметическая прогрессия, то точки, изображающие её члены, лежат на одной прямой. Дело в том, что зависимость nго члена арифметической прогрессии от номера члена n является линейной. В самом деле:

an = a1 + d(n – 1) = dn + (a1 – 1).

Например, если в арифметической прогрессии а1 = 1 и d = 3, то аn = 1 + 3(n – 1), т.е. аn = 3n – 2. Значит, точки, изображающие члены этой прогрессии, лежат на прямой y = 3x – 2 (см. рис.).

Изменение членов арифметической прогрессии происходит равномерно: с каждым шагом по горизонтальной оси изображающие их точки поднимаются или опускаются на одно и то же число единиц вдоль вертикальной оси.

 

Формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии

Если известны первый и последний из суммируемых членов, то удобно пользоваться формулой

Пример 6. Найдём сумму всех натуральных чисел от 1 до 1000.

Слагаемые в сумме 1 + 2 + 3 + … + 1000 образуют арифметическую прогрессию. Подставив в формулу суммы а1 = 1, аn = 1000, n = 1000, получим:

Формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии можно записать в другом виде, выразив Sn через а1, d и n:

Пример 7. Найдём сумму всех двузначных чисел, кратных 3.

Последовательность 12; 15; 18; … ; 99 является арифметической прогрессией, в которой а1 = 12, аn = 99, d= 3. Найдём номер последнего члена. Подставив в формулу аn = а1 + d(n – 1) указанные значения, получим уравнение 99 = 12 + 3(n 1). Решив его, найдём, что n = 30. Теперь можно вычислить искомую сумму:

 


Это конспект по математике на тему «Арифметическая прогрессия». Выберите дальнейшие действия:

Добавить комментарий

На сайте используется ручная модерация. Срок проверки комментариев: от 1 часа до 3 дней