Геометрия 9 класс. Конспект по темам: "Векторы: равенство, сложение, разность, умножение"

ВЕКТОРЫ

Геометрия 9 класс (углубленное изучение). Конспект по темам: Понятие вектора и направления. Равенство векторов. Угол между векторами. Сложение векторов. Разность двух векторов. Противоположные векторы. Правило замкнутой цепочки. Умножение вектора на число. Приёмы для группировки векторов.

Понятие вектора и направления.

Вектор — это направленный отрезок, то есть отрезок, имеющий длину и определённое направление. У вектора есть порядок его концов: один из них считается началом вектора, а другой — концом. Например, вектор AB имеет своё начало в точке A и конец в точке B. Часто вектор обозначают одной маленькой буквой, но обязательно ставят над ней стрелку.
Векторы

Абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор.  Модуль вектора обозначают так: ||. Если же вектор обозначен одной маленькой буквой, то его модуль записывают так же, как модуль числа. Например, модуль вектора а обозначают так: |а|.

Вектор обозначают стрелкой, направленной от его начала к концу. При записи направленного отрезка важен порядок его вершин: векторы AB и BA — это разные векторы.

Два вектора, не лежащие на одной прямой, имеют одно направление, если они параллельны друг другу и находятся по одну сторону от прямой, проходящей через их начала. Их называют одинаково направленными или сонаправленными векторами.

Два вектора имеют противоположные направления, если они параллельны друг другу и находятся по разные стороны от прямой, проходящей через их начала. Такие векторы называют противоположно направленными (ВА = –АВ).

Особенностью понятия вектор является то, что все основные определения и свойства, связанные с этим понятием, формулируются почти одинаково как в планиметрии, так и в стереометрии.

Нулевой вектор

Начало вектора может совпадать с его концом. Такой вектор будем называть нулевым вектором или нуль-вектор. Нулевой вектор обозначается нулём со стрелкой (0), но встречается и такое обозначение: АА = 0. О направлении нулевого вектора не говорят. Абсолютная величина (модуль) нулевого вектора считается равной нулю.

Среди векторов нуль-вектор выполняет ту же самую функцию, что и обычный нуль для чисел: прибавление нуль-вектора к любому другому вектору ничего не меняет, то есть для любого вектора а выполняется равенство: а + 0 = а.

Равенство векторов. 

Два вектора называются равными, если они совмещаются параллельным переносом. Это означает, что существует параллельный перенос, который переводит начало и конец одного вектора соответственно в начало и конец другого вектора.

Из данного определения равенства векторов следует, что равные векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине. Обратно: если векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине, то они равны.

Векторы AB и CD равны тогда и только тогда, когда совпадают середины отрезков AD и BC.

Это напоминает ситуацию с дробями: определённое число может представляться разными дробями, например, дроби 1/2, 2/4, 29/58 представляют одно и то же число. Вспомним правило: дроби a/b и c/d равны тогда и только тогда, когда ad = bc.

Угол между векторами. 

Если два вектора имеют разные направления и выходят из одной точки, то они образуют угол с вершиной в этой точке. Сторонами такого угла являются лучи, на которых лежат данные векторы. Чтобы найти угол между векторами, не имеющими общего начала, нужно просто отложить равные им векторы от любой точки. Тогда угол между ними считают равным углу между данными двумя векторами. Можно доказать, что этот угол не зависит от выбора точки, от которой отложены векторы. Угол между векторами может быть острым, прямым или тупым, но не может превосходить 180°. Так же считают, что угол между двумя векторами одного направления условно равен 0°.

Сложение векторов. 

Как правильно сложить два вектора или две стрелки? Проще всего это понять на примере вектора перемещения. Представим, что из точки A сначала мы переместились в точку B, а уже потом из точки B — в точку C. Куда из точки A мы переместились в итоге? Ясно, что мы окажемся в точке С. Значит, сумма векторов AB и BC наших перемещений равна вектору AC. Коротко это можно записать так: AB + BC = AC. Данное правило сложения векторов называют правилом треугольника. Мы примем его без доказательства, как аксиому.

ПРАВИЛО ТРЕУГОЛЬНИКА: Для любых трёх точек A, B и C выполняется равенство: AB + BC = ACДанное равенство верно именно для векторов или направленных отрезков. Для обычных отрезков оно не выполняется, поскольку для них справедливо известное вам неравенство треугольника.
правило треугольника

К этому правилу относится следующая ТЕОРЕМА: Каковы бы ни были точки А, В, С, имеет место векторное равенство АВ + ВС = АС.

В механике часто бывает, что сразу несколько сил действуют на одну точку. Именно такую ситуацию описал Иван Андреевич Крылов в своей знаменитой басне, в которой «Лебедь рвётся в облака, Рак пятится назад, а Щука тянет в воду». Векторы, выходящие из одной точки, неудобно складывать по правилу треугольника. Для этого существует ещё одно правило — правило параллелограмма.

ПРАВИЛО ПАРАЛЛЕЛОГРАММА: Чтобы сложить два вектора, выходящих из одной точки и не лежащих на одной прямой, нужно построить параллелограмм, сторонами которого служат эти векторы. Тогда их суммой будет вектор, идущий из той же точки в противоположную вершину этого параллелограмма.

СВОЙСТВА СЛОЖЕНИЯ ВЕКТОРОВ

  1. Переместительный закон. Для любых двух векторов а и b верно равенство: а + b = b + а.
  2. Сочетательный закон. Для любых трёх векторов а, b и c верно равенство: (а + b) + c = а + (b + c).

Мы сформулировали переместительный и сочетательный законы сложения векторов соответственно для двух и трёх произвольных векторов. На самом деле они верны для любого их количества. То есть в смысле сложения векторы ничем не отличаются от обычных чисел. А вывести это можно из двух данных свойств сложения векторов.

Разность двух векторов. 

Разностью двух векторов а и b называют такой вектор c, для которого c + b = а. Разность векторов записывают так же, как разность чисел: c = аb.
Разность двух векторов
Если векторы а и b выходят из одной точки, то вектор их разности аb соединяет концы двух этих векторов. Посмотрите на рисунок: на нём показаны векторы OA и OB, выходящие из точки O. По правилу треугольника должно быть OB + BA = OA. Это значит, что BA = OAOB. То есть вектор BA равен разности аb векторов а и b.

Правило замкнутой цепочки. 

Если мы вышли из пункта A, побывали в других местах, а потом вернулись обратно в точку A, то результат нашего перемещения должен быть равен нулю. Верно и обратное утверждение, которое называется правилом замкнутой цепочки.

ПРАВИЛО ЗАМКНУТОЙ ЦЕПОЧКИ: Если сумма нескольких векторов равна нулю, то из них можно составить замкнутую цепочку.

 

Умножение вектора на число.

Произведением вектора а на действительное число k ≠ 0 называют такой вектор b, длина которого равна |k| • |а|, причём векторы а и b:
– одинаково направлены при k > 0;
– противоположно направлены при k < 0.

Умножение векторов на числа обладает почти теми же свойствами, что и умножение обычных чисел. Единственная разница между ними состоит в том, что векторы мы пока не будем умножать друг на друга. Наверное, было бы естественно определить произведение двух векторов тоже как вектор. Но, увы, на плоскости невозможно сделать это так, чтобы для данных произведений выполнялись правила раскрытия скобок. Поэтому произведение двух векторов мы с вами определим не как вектор, а как число, но в следующем конспекте.

СВОЙСТВА УМНОЖЕНИЯ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО

  1. Переместительный закон. Для любого вектора а и числа k верно равенство: k • а = а • k.
  2. Сочетательный закон. Для любого вектора а и чисел k и l верно равенство: k • (l • а) = (k • l) • а.
  3. Правило раскрытия скобок. Для любого вектора а и чисел k и l верно равенство: (k + l) • а = k • а + lа.
  4. Правило раскрытия скобок. Для любых векторов а и b и числа k верно равенство: k • (а + b) = k • а + k • b.
  5. Умножение на ноль. Для любого вектора а верно равенство: 0 • а = 0.

Среди свойств умножения вектора на число мы написали не одно, а два правила раскрытия скобок. Дело в том, что входящие в эти произведения множители не равноправны: один из них — вектор, а другой — число.

Приёмы для группировки векторов.

При решении геометрических задач часто помогают специальные приёмы для группировки векторов. И первый из них связан с вектором, идущим из вершины треугольника в середину его противоположной стороны. Такой вектор мы будем называть вектором медианы треугольника.

ВЕКТОР МЕДИАНЫ ТРЕУГОЛЬНИКА: Вектор медианы треугольника равен половине суммы векторов его сторон, выходящих из той же вершины: m = (а + b) / 2.

ВЕКТОР, СОЕДИНЯЮЩИЙ СЕРЕДИНЫ ОТРЕЗКОВ. Вектор, идущий из середины отрезка AB в середину отрезка A1B1 равен половине суммы векторов AA1 и BB1, соединяющих концы этих отрезков: m = (а + b) / 2.

Данное утверждение замечательно своей общностью — для него не имеет никакого значения, как расположены данные отрезки AB и A1B1 они могут пересекаться, могут не иметь общих точек, а могут вообще лежать на одной прямой. Также не имеет значения, пересекаются ли векторы AA1 и BB1. Такая общность очень характерна для утверждений, связанных с векторами.

(с) В учебных целях использованы цитаты из учебных пособий:
— «Математическая вертикаль. Геометрия. 9 класс : учебное пособие / М.А.Волчкевич — 1-е изд. — М.: Просвещение, 2022».
— «Геометрия. 7-9 классы : учеб, для общеобразоват. организаций/ А. В. Погорелов. — 2-е изд. — М. : Просвещение, 2014»

Геометрия 9 класс. Конспект по теме: «Векторы: равенство, сложение, разность, умножение». Выберите дальнейшие действия:

Добавить комментарий

На сайте используется ручная модерация. Срок проверки комментариев: от 1 часа до 3 дней