№ 1. ∠BOA = 180 – ∠BAO – ∠OBA = 180 – 40 – 90 = 50°. ∠BOA и ∠AOD – смежный, а сумма смежных углов = 180. Значит ∠AOD = 180 – 50 = 130°. Так как треугольник AOD равнобедренный, то ∠OAD = ∠ODA = (180–130)/2 = 50/2 = 25°. Ответ: углы треугольника 25°, 25°, 130°.

№ 2. Возможно два варианта:
А) угол 130° при основании. Тогда 180 – 130 = 50°. 2–й угол при основании тоже = 50°. Значит 180 – 50 – 50 = 80° это угол при вершине.
Б) угол 130° при вершине. Тогда 180 – 130 = 50°.  180 – 50 = 130° – сумма углов при основании. А т.к. они равны, то 130 / 2 = 65°.
Ответ: 80°, 50°, 50° или 50°, 65°, 65°.

№ 3. Внешний угол треугольника = сумме двух углов, не смежных с ним. В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен сумме двух углов при основании, а т.к. эти углы равны, то угол при основании равен половине внешнего угла при вершине (т.е., например, угла, образованного биссектрисой внешнего угла и боковой стороной треугольника). Это внутренние накрест лежащие углы при прямых: основании треугольника и биссектрисе внешнего угла при вершине. Так как эти углы равны, то прямые параллельны.

№ 4. а) Строим треугольник и биссектрису треугольника BDA – BH. Так как ∠А = 45, ∠В = 90, то ∠С = 45 и AB = BC. Значит биссектриса является и высотой и гипотенузой (AD = DC). Из этого следует что ∠BDA = 90, а следовательно угол ∠DBA = 45. Значит катеты треугольника BDA равны: AD = DC = 6, а BH – это высота. Находим BH. 6² = a² + a²  =>  а = 3√2 ≈ 4,24264. Ответ: между 4 и 5.

№ 1. ∠СOD = 180 – ∠CDO – ∠OCD = 180 – 40 – 90 = 50°. ∠COD и ∠AOD – смежный, а сумма смежных углов = 180. Значит ∠AOD = 180 – 50 = 130°. Так как треугольник AOD равнобедренный, то ∠OAD = ∠ODA = (180–130)/2 = 50/2 = 25°. Ответ: углы треугольника 25°, 25°, 130°.

№ 2. Возможно два варианта:
А) угол 130° при основании. Тогда 180 – 130 = 50°. 2–й угол при основании тоже = 50°. Значит 180 – 50 – 50 = 80° это угол при вершине.
Б) угол 130° при вершине. Тогда 180 – 130 = 50°.  180 – 50 = 130° – сумма углов при основании. А т.к. они равны, то 130 / 2 = 65°.
Ответ: 80°, 50°, 50° или 50°, 65°, 65°.

№ 3. Рассмотрим ΔABC: биссектриса BD внешнего угла которого параллельна стороне АС. Углы CBD и АСВ равны как накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых АС и BD секущей ВС, поэтому внешний угол при вершине В треугольника ABC в два раза больше угла С этого треугольника. С другой стороны, указанный внешний угол равен сумме углов А и С треугольника ABC. Следовательно, ∠A = ∠C, а значит, треугольник ABC — равнобедренный.

№ 4.
а) Так как ∠С = 45, ∠В = 90, то ∠А = 45. Следовательно, ΔАВС равнобедренный, а значит биссектриса BD будет также медианой и высотой. Отсюда DC = DA = 8. Далее рассмотрим ΔBCD: ∠C = 45, ∠D = 90, соответственно ∠B = 45, т.е. данный треугольник равнобедренный. Значит расстояние от точки D до середины BC будет медианой, биссектрисой и высотой. Теперь рассмотрим ΔNDC: ∠C = 45, ∠N=90, соответственно ∠CDN = 45, т.е. данный треугольник равнобедренный. По теореме Пифагора DC² = 2 • DN². Отсюда DN ≈ 5,65685… Ответ: между 5 и 6.
б) ΔAMD: ∠М = 90 (DM перпендикулярно AB), ∠А = 45, соответственно ∠ADM = 45, т.е. данный треугольник равнобедренный. По теореме Пифагора AD² = 2 • DM².   DM² = 64/2 = 32. Значит DM = DN. Угол NDM будет смежным с углами NDC=45 и ADM=45. Следовательно, ∠NDM = 90. Из этого по теореме Пифагора 2 • DN² = MN². Вывод: MN² = 64, т.е. MN = 8. Ответ: 8 см.