Геометрия 7 класс (УМК Атанасян и др. — Просвещение). Урок 21. Решение задач на применение третьего признака равенства треугольников. Самостоятельная работа № 6 с ответами и подсказками к решению (3 уровня сложности по 2 варианта в каждом). Геометрия 7 Атанасян Самостоятельная 6.

Геометрия 7. Контрольные работы    Геометрия 7. Самостоятельные работы

Геометрия 7 класс. Урок 21.
Самостоятельная работа № 6 (задания)

Основная дидактическая цель урока: совершенствовать навыки решения задач на применение второго признака равенства треугольников. Перед решением задач необходимо повторить конспекты: «Треугольник. Равенство треугольников», «ЗАДАЧИ на Признаки равенства треугольников».

   I уровень сложности (легкий)

Вариант 1 (уровень 1)

1. Дано: АВ = СD, ВС = DA, ∠C = 40° (рис. 2.157).
   Доказать: ΔABD = ΔCDB. Найти: ∠A.
2. На боковых сторонах равнобедренного треугольника АВС отложены равные отрезки ВМ и BN. BD – медиана треугольника. Докажите, что MD = ND.
3. В треугольниках АВС и А₁В₁С₁ АВ = А₁В₁, ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁. Точки D и D₁ лежат соответственно на сторонах АС и А₁С₁, причем CD = C₁D₁. Докажите, что ΔBDC = ΔB₁D₁C₁. Сравните отрезки BD и B₁D₁.

Вариант 2 (уровень 1)

1. Дано: AD = АВ, CD = CB, D= 120° (рис. 2.158).
   Доказать: ΔDAC = ΔBAC. Найти: ∠B.
2. На боковых сторонах равнобедренного треугольника АВС отложены равные отрезки ВМ и BN. BD – высота треугольника. Докажите, что MD = ND.
3. В треугольниках АВС и А₁В₁С₁ АВ = A₁B₁, АС = A₁C₁, ∠A = ∠A₁. Точки D и D₁ лежат соответственно на сторонах АС и A₁C₁, ∠DBC = ∠D₁B₁C₁. Докажите, что ΔBDC = ΔB₁D₁C₁. Сравните углы ВDC и B₁C₁D₁.

 II уровень сложности (средний)

Вариант 1 (уровень 2)

1. Дано: АВ = СD, ВС = AD (рис. 2.159). Доказать: ∠A = ∠C.
2. На боковых сторонах равнобедренного треугольника АВС с основанием АС отложены равные отрезки AM и CN. BD, медиана ΔAВС, пересекает отрезок MN в точке О. Докажите, что ВО – медиана ΔMBN.
3. В треугольниках АВС и А₁В₁С₁ АВ = A₁B₁, ∠А = ∠A₁, ∠B = ∠B₁. На сторонах ВС и В₁С₁ отмечены точки D и D₁ так, что ∠CAD = ∠C₁A₁D₁. Докажите, что: а) ΔADC = ΔA₁D₁C₁; б) ΔADB = ΔA₁D₁B₁.

Вариант 2 (уровень 2)

1. Дано: АВ = AD, ВС = DC (рис. 2.162). Доказать: ∠B = ∠D.
2. Дан равнобедренный ΔАВС с основанием АС и высотой BD. На лучах ВА и ВС вне треугольника АВС отложены равные отрезки AM и CN. Луч BD пересекает отрезок MN в точке О. Доказать, что ВО – высота ΔMBN.
3. В треугольниках DEC и D₁E₁C₁ DE = D₁E₁, ∠D = ∠D₁, ∠E = ∠E₁. На сторонах DE и D₁E₁ отмечены точки P и P₁ так, что ∠DCP = ∠D₁C₁P₁. Докажите, что: a) ΔDCP = ΔD₁C₁P₁; б) ΔCPE = ΔC₁P₁E₁.

   III уровень сложности (сложный)

Вариант 1 (уровень 3)

1. Дано: АВ = CD, АС = BD (рис. 2.165). Доказать: ∠CAD = ∠BDA.
2. ΔMNP – равнобедренный с основанием МР, точка К – середина отрезка МР, ME = PF. Докажите, что луч KN – биссектриса угла EKF (рис. 2.166).
3. В равнобедренном треугольнике АВС точка D – середина основания АС. На лучах АВ и СВ вне треугольника АВС отмечены точки М и N соответственно – так, что ВМ = BN. Докажите, что ΔBDM = ΔBDN.

Вариант 2 (уровень 3)

1. Дано: АВ = CD, АС = BD (рис. 2.168). Доказать: ∠ACB = ∠DBC.
2. ΔMNP – равнобедренный с основанием МР, точка К – середина отрезка МР, ∠MKE = ∠PKF. Докажите, что ΔNЕК = ΔNFK (рис. 2.169).
3. В равнобедренном треугольнике АВС точка D – середина основания АС. На лучах АВ и СВ вне АВС отмечены точки М и N соответственно, так, что ∠BDM =∠BDN. Докажите, что ΔBDM = ΔBDN.

Самостоятельная работа № 6
Указания к решению и ОТВЕТЫ

С-6. I уровень сложности (ответы)

Докажите самостоятельно.

Геометрия 7 Атанасян Самостоятельная 6

С-6. II уровень сложности (ответы)

Задания и Ответы на Вариант 1 (уровень 2)

№ 1. Дано: АВ = СD, ВС = AD (рис. 2.159). Доказать: ∠A = ∠C.
Докажите самостоятельно.

№ 2. На боковых сторонах равнобедренного треугольника АВС с основанием АС отложены равные отрезки AM и CN. BD, медиана ΔAВС, пересекает отрезок MN в точке О. Докажите, что ВО – медиана ΔMBN.

Доказательство:
1) ΔАВС – равнобедренный с основанием АС, и медиана BD является его биссектрисой (рис. 2.160).
2) ΔMBN – равнобедренный с основанием MN, так как МВ = BN (МВ = ВА– МА; BN = ВС – МС, ВА = ВС, МА = NC). BD – биссектриса ΔMBN, и по свойству биссектрисы равнобедренного треугольника она является медианой, т. е. ВО – медиана ΔMBN.

№ 3. В треугольниках АВС и А₁В₁С₁  АВ = A₁B₁, ∠А = ∠A₁, ∠B = ∠B₁. На сторонах ВС и В₁С₁ отмечены точки D и D₁ так, что ∠CAD = ∠C₁A₁D₁.
Докажите, что: а) ΔADC = ΔA₁D₁C₁; б) ΔADB = ΔA₁D₁B₁.

Доказательство:
а) ΔАВС = ΔА₁В₁С₁ по стороне и прилежащим к ней углам (АВ = A₁B₁, ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁ по условию задачи) (рис. 2.161). ΔADC = ΔA₁D₁C₁ по стороне и прилежащим к ней углам (АС = А₁С₁, ∠C = ∠C₁ из равенства треугольников АВС и А₁В₁С₁, ∠CAD = ∠C₁A₁D₁ по условию задачи).
б) Так как ΔADC = ΔA₁D₁C₁, то DC = D₁C₁, следовательно, равны отрезки BD и B₁D₁ (ВС = В₁С₁ из равенства треугольников АВС и А₁В₁С₁).  Так как АВ = А₁В₁, ∠B = ∠B₁ из равенства треугольников АВС и А₁В₁С₁ и BD = В₁D₁, то ΔABD = ΔA₁B₁D₁ по двум сторонам и углу между ними.

Задания и Ответы на Вариант 2 (уровень 2)

№ 1. Дано: АВ = AD, ВС = DC (рис. 2.162). Доказать: ∠B = ∠D.
Докажите самостоятельно.

№ 2. Дан равнобедренный ΔАВС с основанием АС и высотой BD. На лучах ВА и ВС вне треугольника АВС отложены равные отрезки AM и CN. Луч BD пересекает отрезок MN в точке О. Доказать, что ВО – высота ΔMBN.

Доказательство:
1) ΔАВС – равнобедренный с основанием АС, и высота BD, проведенная из его вершины к основанию, является и его биссектрисой, т. е. ВО – биссектриса ∠ABC и ∠MBN тоже (рис. 2.163).
2) ΔMBN – равнобедренный с основанием MN (ВМ = ВА + AM, BN = ВС + CN; так как ВА = ВС и АМ = CN, то ВМ = BN). В равнобедренном ΔMBN биссектриса ВО, проведенная из его вершины к основанию, является и его высотой.

№ 3. В треугольниках DEC и D₁E₁C₁ DE = D₁E₁, ∠D = ∠D₁, ∠E = ∠E₁. На сторонах DE и D₁E₁ отмечены точки P и P₁ так, что ∠DCP = ∠D₁C₁P₁. Докажите, что: a) ΔDCP = ΔD₁C₁P₁; б) ΔCPE = ΔC₁P₁E₁.

Доказательство:
а) ΔDEC = ΔD₁E₁C₁ по стороне и прилежащим к ней углам (DE = D₁E₁, ∠D = ∠D₁, ∠E = ∠E₁) (рис. 2.164).
Так как ΔDEC = ΔD₁E₁C₁, то DC = D₁C₁. Тогда ΔDCP= ΔD₁C₁P₁ по стороне и прилежащим к ней углам (DC = D₁C₁, ∠D = ∠D₁, ∠PCD= ∠P₁C₁D₁).
б) Так как ΔDEC = ΔD₁E₁C₁, тo EC = E₁C₁, ∠ECD = ∠E₁C₁D₁.
Так как ∠ECD = ∠E₁C₁D₁, ∠PCD = ∠P₁C₁D₁, a ∠ECP = ∠ECD – ∠DCP, ∠E₁C₁P₁ = ∠E₁C₁D₁ – ∠D₁C₁P₁, ∠ECP = ∠E₁C₁P₁.
Так как ЕС = E₁C₁ ∠E = ∠E₁, ∠ECP = ∠E₁C₁P₁, то ΔPEC = ΔP₁E₁C₁ по стороне и прилежащим к ней углам.

Геометрия 7 Атанасян Самостоятельная 6.

   С-6. III уровень сложности (ответы)

Задания и Ответы на Вариант 1 (уровень 3)

№ 1. Дано: АВ = CD, АС = BD (рис. 2.165). Доказать: ∠CAD = ∠BDA.
Докажите самостоятельно.

№ 2. ΔMNP – равнобедренный с основанием МР, точка К – середина отрезка МР, ME = PF. Докажите, что луч KN – биссектриса угла EKF (рис. 2.166).

Доказательство: ΔМЕК = ΔPFK по двум сторонам и углу между ними (ME = FP, МК = КР по условию задачи, ∠M = ∠P как углы при основании равнобедренного ΔMNP). Следовательно, КЕ= KF.
ΔKEN = ΔKFN по трем сторонам (КЕ = KF; KN – общая сторона; NE = NF, так как NE = MN – ME, NF = PN – PF, a MN = PN, ME = PF). Следовательно, ∠EKN = ∠FKN.
Так как ∠EKN = ∠FKN, то KN – биссектриса угла ∠EKF.

№ 3. В равнобедренном треугольнике АВС точка D – середина основания АС. На лучах АВ и СВ вне треугольника АВС отмечены точки М и N соответственно – так, что ВМ = BN. Докажите, что ΔBDM = ΔBDN.

Доказательство: Так как D – середина основания равнобедренного ΔАВС с основанием АС, то BD – медиана, а значит, и биссектриса ΔАВС. Следовательно, ∠ABD = ∠CBD (рис. 2.167).
∠NBA = ∠CBM как вертикальные.
∠NBD = ∠NBA + ∠ABD, a ∠MBD = ∠MBC + ∠CBD. Так как ∠ABD = ∠CBD, ∠MBC = ∠NBA, то ∠NBD = ∠MBD.
ΔNBD = ΔMBD по двум сторонам и углу между ними (NB = МВ; BD – общая сторона; ∠NBD = ∠MBD).

Задания и Ответы на Вариант 2 (уровень 3)

№ 1. Дано: АВ = CD, АС = BD (рис. 2.168). Доказать: ∠ACB = ∠DBC.
Докажите самостоятельно.

№ 2. ΔMNP – равнобедренный с основанием МР, точка К – середина отрезка МР, ∠MKE = ∠PKF. Докажите, что ΔNЕК = ΔNFK (рис. 2.169).

Доказательство: ΔМЕК = ΔPFK по стороне и прилежащим к ней углам (МК = КР, так как К – середина МР; ∠MKE = ∠PKF по условию задачи; ∠M = ∠P как углы при основании равнобедренного ΔMNP).
Так как ΔМЕК = ΔPFK, то ME = PF, следовательно, EN = FN (EN = MN – ME, FN = PN – PF, a MN = FN как боковые стороны равнобедренного треугольника).
Так как ΔМЕК = ΔPFK, то КЕ = KF.  ΔNEK = ΔNFK по трем сторонам (NK – общая сторона, NE = EF, ЕК = ЕК).

№ 3. В равнобедренном треугольнике АВС точка D – середина основания АС. На лучах АВ и СВ вне АВС отмечены точки М и N соответственно, так, что ∠BDM =∠BDN. Докажите, что ΔBDM = ΔBDN.

Доказательство: Так как D – середина основания АС равнобедренного ΔАВС, то BD – медиана и биссектриса ΔАВС. Следовательно, ∠ABD = ∠CBD (рис. 2.170).
∠NBA = ∠CBM как вертикальные. Поэтому ∠NBD = ∠MBD (∠NBD = ∠NBA + ∠ABD, ∠MBD = ∠MBC + ∠CBD, a ∠NBA = ∠CBM, ∠ABD = ∠CBD).
ΔBDM = ΔBDN по стороне и прилежащим к ней углам (BD – общая сторона, ∠NBD = ∠MBD, ∠BDM = ∠BDN).

Вы смотрели: Геометрия 7 класс (УМК Атанасян и др. — Просвещение). Урок 21. Решение задач на применение третьего признака равенства треугольников. Самостоятельная работа № 6 с ответами и решениями (3 уровня сложности по 2 варианта в каждом). Геометрия 7 Атанасян Самостоятельная 6. Ориентировано на работу с базовым учебником: «Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. 7—9 классы. Учебник для общеобразовательных организаций. М.: Просвещение».

Геометрия 7. Поурочные планы   Геометрия 7. Самостоятельные работы