Геометрия 7 класс (УМК Атанасян и др. — Просвещение). Урок 26. Решение задач на применение признаков равенства треугольников.. Самостоятельная работа № 7 с частичными ответами (3 уровня сложности по 2 варианта в каждом). Геометрия 7 Атанасян Самостоятельная 7.

Геометрия 7. Контрольные работы    Геометрия 7. Самостоятельные работы

Геометрия 7 класс. Урок 26.
Самостоятельная работа № 7 (задания)

Основная дидактическая цель урока: совершенствовать навыки решения задач на применение признаков равенства треугольников и свойств равнобедренного треугольника; отработать навыки решения задач на построение с помощью циркуля и линейки.

   I уровень сложности (легкий)

Вариант 1 (уровень 1)

1. Дано: О – середина АВ, О – середина DC. ∠OAD = 112°, ВС = 1 см (рис. 2.204). Найти: ∠OBC, AD.
2. Луч AD – биссектриса угла А. На сторонах угла А отмечены точки В и С так, что ∠ADC = ∠ADB. Докажите, что АВ = АС.
3. Начертите равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС. С помощью циркуля и линейки проведите медиану ВВ₁ к боковой стороне АС.

Вариант 2 (уровень 1)

1. Дано: MD = DE, KD = DP, ∠MKD = 63°, DM = 4 см (рис. 2.205). Найти: ∠DPE, DE.
2. На сторонах угла D отмечены точки М и К так, что DM = DK. Точка Р лежит внутри угла D, и РК = РМ. Докажите, что луч DP – биссектриса угла MDK.
3. Начертите равнобедренный треугольник АВС с основанием АС и острым углом В. С помощью циркуля и линейки проведите высоту из вершины А.

 II уровень сложности (средний)

Вариант 1 (уровень 2)

1. Известно, что в треугольниках АВС и А₁В₁С₁ ∠A = ∠A₁, АВ = А₁В₁, АС = А₁С₁. На сторонах ВС и В₁С₁ отмечены точки К и К₁, такие, что СК = С₁К₁. Докажите, что ΔАВК = ΔА₁В₁К₁.
2. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС биссектрисы АА₁ и СС₁ пересекаются в точке О. Докажите, что прямая ВО перпендикулярна к прямой АС.
3. Начертите равнобедренный тупоугольный треугольник АВС с основанием ВС и тупым углом А. С помощью циркуля и линейки проведите:
   а) высоту треугольника АВС из вершины угла В;
   б) медиану треугольника АВС к стороне АВ;
   в) биссектрису треугольника АВС из угла А.

Вариант 2 (уровень 2)

1. Известно, что в треугольниках АВС и А₁В₁С₁ ∠B = ∠B₁, АВ = А₁В₁, ВС = В₁С₁. На сторонах АС и А₁С₁ отмечены точки D и D₁, так, что AD = A₁D₁. Докажите, что ΔBDC = ΔB₁D₁C₁.
2. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС медианы BD и СE, проведенные к боковым сторонам, пересекаются в точке М. Докажите, что прямые AM и ВС перпендикулярны.
3. Начертите равнобедренный остроугольный треугольник MNK с основанием МК и острым углом N. С помощью циркуля и линейки проведите:
   а) медиану треугольника MNK к стороне MN;
   б) биссектрису треугольника MNK из угла К;
   в) высоту треугольника MNK из вершины М.

Геометрия 7 Атанасян Самостоятельная 7

   III уровень сложности (самый сложный)

Вариант 1 (уровень 3)

1. Дано: АВ = CD, ВК = DM, AM = СК (рис. 2.208). Докажите, что ΔADM = ΔСВК.
2. В равнобедренном треугольнике АВС на основании АС взяты точки D и Е так, что AD = СЕ. Докажите, что ΔABE= ΔCBD.
3. В равнобедренном треугольнике АВС на боковых сторонах АВ и СВ взяты соответственно точки М и N так, что ВМ = BN. Отрезки AN и СМ пересекаются в точке Е. Докажите, что ЕВ – биссектриса угла MEN.

Вариант 2 (уровень 3)

1. Дано: BE = ЕК = KD, АЕ = СК, ВС = AD (рис. 2.209). Докажите, что АВ = CD.
2. В равнобедренном треугольнике АВС на боковых сторонах АВ и СВ взяты соответственно точки D и Е так, что AD = СЕ. Отрезки АЕ и CD пересекаются в точке О. Докажите, что ВО – биссектриса угла АВС.
3. В равнобедренном треугольнике АВС на основании АС взяты точки М и N так, что ∠АВМ = ∠CBN. Докажите, что ΔABN = ΔСВМ.

Самостоятельная работа № 7
Указания к решению некоторых задач

2-й уровень. Вариант 1. Задание № 2.

В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС биссектрисы АА₁ и СС₁ пересекаются в точке О. Докажите, что прямая ВО перпендикулярна к прямой АС.

Доказательство:
1) ΔАА₁С = ΔСС₁А по стороне и прилежащим к ней углам (АС – общая сторона; ∠A₁AC = ∠C₁CA, так как АА₁ и СС₁ – биссектрисы равных углов; ∠C₁AC = ∠A₁CA как углы при основании равнобедренного треугольника), следовательно, ∠OA₁C= ∠OC₁A, СА₁ = АС₁ (рис. 2.206).
2) ΔАС₁О = ΔСА₁О по стороне и прилежащим к ней углам (АС₁ = СА₁; ∠C₁AO = ∠A₁CO; ∠OC₁A = ∠OA₁). Следовательно, С₁О = А₁С.
3) ΔВС₁О = ΔВА₁О по трем сторонам (ВО – общая сторона; С₁О = А₁О; ВС₁ = ВА₁, так как АВ = ВС и АС₁ = СА₁), следовательно, ∠C₁BO = ∠A₁BO, т. е. ВО – биссектриса угла С₁ВА₁.
4) Если ВО – биссектриса угла С₁ВА₁, то BQ – биссектриса ∠ABC, и по свойству биссектрисы равнобедренного треугольника BQ – высота, т. е. BQ ⊥ АС.

Геометрия 7 Атанасян Самостоятельная 7

2-й уровень. Вариант 2. Задание № 2.

В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС медианы BD и СE, проведенные к боковым сторонам, пересекаются в точке М. Докажите, что прямые AM и ВС перпендикулярны.

Доказательство:
1) ΔBDC = ΔСЕВ по двум сторонам и углу между ними (ВС – общая сторона; BE = DC, так как DC = АС/2, BE = АВ/2, а АС = АВ как боковые стороны равнобедренного треугольника; ∠BCD = ∠CBE как углы при основании равнобедренного треугольника). Следовательно, ∠BDC = ∠CEB и ∠DBC = ∠ECB (рис. 2.207).
2) ∠EBM = ∠EBC – ∠DBC, ∠DCM= ∠DCB – ∠ECB. Так как ∠EBC = ∠DCB, a ∠DBC = ∠ECB, то ∠EBM = ∠DCM.
3) ΔEBM = ΔDCM по стороне и прилежащим к ней углам (BE = CD, ∠EBM = ∠DCM; ∠BEM = ∠CDM), значит, EM = DM.
4) ΔЕМА = ΔDMA по трем сторонам (АЕ = AD, ЕМ = DM, AM – общая сторона), следовательно, ∠EAM = ∠DAM, что означает, что AM – биссектриса ∠BAC, а АР – биссектриса и высота ΔАВС, т. е. АР ⊥ ВС, и AM ⊥ ВС.

3-й уровень. Вариант 1. Задание № 1.

Дано: АВ = CD, ВК = DM, AM = СК (рис. 2.208). Докажите, что ΔADM = ΔСВК.

Доказательство:
1) AM = СК, но AM = АК + КМ, СК = СМ + МК, значит, СМ = АК.
2) ΔDCM = ΔВАК по трем сторонам (CD = АВ, DM = ВК, СМ = АК), следовательно, ∠CMD = ∠AKB.
3) ∠CMD = 180° – ∠AMD, ∠AKB = 180° – ∠CKB, но ∠CMD – ∠AKB, значит, ∠AMD = ∠CKB.
4) ΔADM = ΔCBK по двум сторонам и углу между ними (DM = ВК, AM = СК, ∠AMD = ∠CKB).

Вы смотрели: Геометрия 7 класс (УМК Атанасян и др. — Просвещение). Урок 26. Решение задач на применение признаков равенства треугольников. Самостоятельная работа № 7 с частичными ответами (3 уровня сложности по 2 варианта в каждом). Геометрия 7 Атанасян Самостоятельная 7. Ориентировано на работу с базовым учебником: «Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. 7—9 классы. Учебник для общеобразовательных организаций. М.: Просвещение».

Геометрия 7. Поурочные планы   Геометрия 7. Самостоятельные работы