Геометрия 7 класс Урок 2. Тема урока: §2. Луч и угол. Ориентировано на работу с базовым учебником: «Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. 7—9 классы. М.: Просвещение».
Вернуться в Поурочное планирование для 7 класса

Геометрия 7 класс Урок 2.
§ 2. Луч и угол.

Пункты учебника: 3. Луч. 4. Угол. Практические задания (11–20). Предметное содержание: Простейшие геометрические объекты: лучи и углы. Характеристика деятельности обучающегося: Объяснять что такое луч, угол, распознавать виды углов. Формулировать основные понятия и определения.

Основные дидактические цели урока: повторить, что такое луч, начало луча, угол, его стороны и вершины; ввести понятие внутренней и внешней областей неразвернутого угла; научить обозначать лучи и углы различными способами.

Ход урока

I. Организационный момент. Мотивация к учебной деятельности

II. Проверка домашнего задания

1. Провести теоретический опрос по вопросам 1–3.
2. Ответить на вопросы.
   – Как называется прием для «проведения» длинных отрезков прямых на местности?
   – Для чего и как он используется?
3. Проверить тетради учащихся, выполнявших домашнее задание I уровня сложности: № 1–4 (рабочая тетрадь).
4. Проверить письменную часть домашнего задания учащихся, выполнявших задания II уровня сложности: № 3, 4 и дополнительной задачи. (Три ученика заранее записывают решение на доске.)
5. Проверить устно задачу № 7.

№ 3. Проведите три прямые так, чтобы каждые две из них пересекались. Обозначьте все точки пересечения этих прямых. Сколько получилось точек? Рассмотрите все возможные случаи.
ОТВЕТ: (рис. 1.10)
a) а ∩ b = О, b ∩ с = О, с ∩ а = О. Получилась одна точка пересечения.
b) а ∩ b = М, b ∩ с = К, с ∩ а = Р. Получились три точки пересечения.

№ 4. Отметьте точки А, В, С, D так, чтобы точки А, В, С лежали на одной прямой, а точка D не лежала на ней. Через каждые две точки проведите прямую. Сколько получилось прямых?
ОТВЕТ: 4 прямые: АС, BD, CD, AD (рис. 1.11).

Дополнительная задача из ДЗ. Сколько различных прямых можно провести через четыре точки? Рассмотрите все случаи и сделайте рисунки.
ОТВЕТ: Через четыре точки можно провести одну, четыре или шесть прямых (рис. 1.12).

№ 7. На рисунке 14 изображена прямая, на ней отмечены точки А, В, С и D. Назовите все отрезки: а) на которых лежит точка С; б) на которых не лежит точка В.
ОТВЕТ: На рисунке всего 6 отрезков: АВ, АС, AD, ВС, BD, CD.
а) точка С лежит на отрезках АС, AD, ВС, BD, CD.
б) точка В не лежит на отрезке CD.

III. Актуализация знаний обучающихся

(Учитель делит класс на группы для решения задач в зависимости от уровня усвоения темы предыдущего урока.)

Задание для первой группы: индивидуальная работа в рабочих тетрадях.
(Четыре ученика решают задачи № 5–8 и сдают тетради на проверку до начала изучения нового материала.)

• Задача № 5. Прямые m и n пересекаются в точке С, а точка Н, отличная от точки С, лежит на прямой m. Лежит ли точка Н на прямой n? Ответ объясните.
  Решение: Н ∉ n, так как по условию задачи прямые m и n имеют общую точку С, а двух общих точек две пересекающиеся прямые иметь не могут.
  (Ответ: Точка Н не лежит на прямой п.)
• Задача № 6. Отметьте на прямой МК (рис. 1.13) две точки: точку А, лежащую на отрезке МК, и точку В, которая не лежит на отрезке МК. Какая из точек – А или В – лежит между точками М и К?
  (Ответ: Между точками М и К лежит точка А.)
• Задача № 7. Пересекаются ли на рис. 1.14: а) отрезки ЕН и АВ, ЕН и ВС, НК и АВ; б) отрезок ЕН и прямая ВС, отрезок НК и АВ?
  (Ответ: а) Отрезки ЕН и АВ пересекаются; отрезки ЕН и ВС не пересекаются; б) Отрезок ЕН и прямая ВС пересекаются; отрезок НК и прямая АВ не пересекаются.)
• Задача № 8. Выпишите все отрезки, изображенные на рисунке к задаче № 7:
  а) на которых точка В лежит, но не является их концом;
  б) концом которых является точка В.
  (Ответ: а) АС, ОС; б) ВС, ВО, АВ.)
  

Задание для второй группы: математический диктант с последующей проверкой. (Учащиеся записывают Ответы в тетрадях, которые проверяют сами в конце диктанта по Ответам одного из учеников.)

• а) Назовите все отрезки (рис. 1.15).
  (Ответ: АВ, BD, AD, DC, ВС, DM, AM.)
• б) Назовите все прямые.
  (Ответ: AD, ВС.)
• в) Какие точки принадлежат прямой AD, а какие не принадлежат? Ответ запишите, используя математические символы.
  (Ответ: A, D, M ∈ прямой AD; В, Е, С ∉ прямой AD.)
• г) Какие точки принадлежат отрезку BD, а какие не принадлежат? Ответ запишите, используя математические символы.
  (Ответ: В, D ∈ отрезку BD; А, М, Е, С ∉ отрезку BD.)
• д) Укажите такую точку, которая принадлежит и прямой ВС, и прямой AM. Как еще можно назвать указанную точку?
  (Ответ: D, D – точка пересечения прямых ВС, AM.)

Задание для третьей группы: самостоятельное решение задач повышенного уровня сложности. (Учащиеся по желанию сдают тетради на проверку в конце урока.)

• № 1. Сколько точек надо взять между точками А и В (рис. 1.16), чтобы вместе с отрезком АВ получилось шесть различных отрезков?
  (Ответ: 2 точки: С и D. Получаются отрезки АВ, АС, AD, CD, СВ, DB.)
• № 2. Сколько точек пересечения могут иметь четыре попарно пересекающиеся прямые? Для каждого случая сделайте рисунок.
  (Ответ: рис. 1.17: а) 6 точек пересечения; б) 4 точки пересечения; в) 1 точка пересечения.)
  

Геометрия 7 класс Урок 2

IV. Работа по теме урока

(Тема «Луч и угол» рассматривалась в курсе математики 5–6 классов. В ходе решения задач учитель постепенно вводит новые понятия.)

1. Решить задачи 1, 5, 8. (Один ученик работает у доски, остальные – в тетрадях.)
2. Решить устно задачи 2, 3, 4, 6.

• Задача 1. Начертите прямую а и отметьте на ней точку О. Как называется часть прямой, состоящая из всех точек, лежащих по одну сторону от точки О? Как называется точка О?
  (Ответ: Луч, О – начало луча.) На доске и в тетрадях учащихся рисунок (рис. 1.18).
• Задача 2. Назовите лучи, изображенные на рис. 1.19.
  (Ответ: Лучи а, АВ, АС, ЕК.)
  (Учителю необходимо обратить внимание учащихся на то, что в случае обозначения луча двумя большими латинскими буквами первая буква обозначает начало луча, а вторая – какую-нибудь точку на луче.)
  
• Задача 3. Сколько лучей, выходящих из точки А, изображено на рис. 1.20? Какие лучи совпадают? Какие лучи вместе с их общим началом составляют прямую?
  (Ответ: 3 луча: АК, АВ, АЕ; совпадают лучи АВ и АЕ, AD и АС; прямую, вместе с их общим началом, составляют лучи АК и АЕ, ВК и BE.)
• Задача 4.
  – Как называется фигура, изображенная на рис. 1.21? (Угол.)
  – Из каких геометрических фигур состоит угол? (Угол – это геометрическая фигура, состоящая из точки и исходящих из нее двух лучей.)
  – Как называется точка, из которой исходят данные лучи? Как она обозначена на рисунке? (Вершина угла, точка О.)
  – Как называются лучи, исходящие из вершины угла? Назовите указанные лучи на рисунке. (Стороны угла, ОА и ОВ.)
  – Как обозначается угол, изображенный на рисунке? (АОВ.)
  – Угол можно обозначить еще одним способом: ab, где лучи а, b – стороны угла.
• Задача 5. Начертите развернутый и неразвернутый углы. Чем они отличаются друг от друга?
  (Ответ: Стороны развернутого угла с вершиной угла составляют одну прямую, каждая сторона развернутого угла является продолжением другой стороны.)
• Задача 6.
  На сколько частей делится плоскость сторонами угла? (На две.)
  У неразвернутого угла стороны делят плоскость на внутреннюю и внешнюю область данного угла. У развернутого угла любая из двух частей может считаться его внутренней областью. (На доске и в тетрадях учащихся рис. 1.22, рис. 1.23.)
  
• Задача 7. По рис. 1.24 назовите точки, принадлежащие:
  а) внешней области угла;
  б) внутренней области угла;
  в) сторонами угла.
  (Ответ: a) D, Р, N; б) Е, К, М; в) А, В, О, С.)
• Задача 8. Начертите угол MNK и проведите луч NE, исходящий из вершины данного угла и проходящий внутри угла. На сколько углов поделил этот луч данный угол? Сколько всего углов получилось?
  (Ответ: Луч поделил данный угол на два угла (рис. 1.25). Всего получилось 3 угла: MNK, MNE, ENK.)

V. Закрепление изученного материала

(Закрепление изученного материала целесообразно организовать дифференцированно. Изучение нового материала построено таким образом, что большинству учащихся можно предложить задания II уровня сложности для самостоятельного решения.)

I уровень сложности
(Учащиеся, недостаточно усвоившие новый материал, решают задачи № 9–12 (рабочая тетрадь) при консультативной помощи учителя.)

II уровень сложности
1. Решить задачи № 8, 9, 10, 12 (учебник).
2. Решить дополнительные задачи.

Доп. задача 1. Дан неразвернутый угол АВС. Проведите лучи с началом в точке В так, чтобы образовалось шесть углов, один из которых был бы развернутым.
(Ответ: Проведены лучи BD и ВК (рис. 1.26). Образовались углы: ∠ABD, ∠ABC, ∠ABK, ∠DBC, ∠DBK, ∠CBK; ∠ABK – развернутый).

Доп. задача 2. Сколько неразвернутых углов образуют три прямые?
(Ответ: Возможны различные случаи в зависимости от расположения прямых (рис. 1.27): а) 12 неразвернутых углов: ∠AOB, ∠BOC, ∠COD, ∠DOE, ∠EOF, ∠FOA, ∠AOC, ∠BOD, ∠COE, ∠DOF, ∠EOA, ∠FOB; б) 12 неразвернутых углов; в) 8 неразвернутых углов; г) ни одного неразвернутого угла.)

VI. Рефлексия учебной деятельности

❓ Вопрос 1. Как называется часть прямой, состоящая из всех точек, лежащих по одну сторону от заданной точки? Какая точка называется началом луча?
Ожидаемый ответ: Эта часть прямой называется лучом. Заданная точка, от которой исходит луч, называется началом луча.

❓ Вопрос 2. Как называется фигура, состоящая из точки и исходящих из нее двух лучей?
Ожидаемый ответ: Эта фигура называется углом.

❓ Вопрос 3. Как называется точка, из которой исходят данные лучи? Как называются лучи, исходящие из вершины угла?
Ожидаемый ответ: Точка, из которой исходят лучи, называется вершиной угла. Лучи, исходящие из вершины угла, называются сторонами угла.

❓ Вопрос 4. Какой угол называется развёрнутым?
Ожидаемый ответ: Угол называется развёрнутым, если обе его стороны лежат на одной прямой. Можно сказать, что каждая сторона развёрнутого угла является продолжением другой стороны.

❓ Вопрос 5. На сколько частей делится плоскость сторонами угла? Как называются эти части плоскости?
Ожидаемый ответ: Стороны угла делят плоскость на две части. Если угол неразвёрнутый, то одна часть называется внутренней областью угла, а другая — внешней областью угла.

Домашнее задание

1. Учебник: §2. Луч и угол. Пункты 3-4.
2. Решить задачи.
   I уровень сложности: задачи № 13–16 (рабочая тетрадь);
   II уровень сложности: № 14, 16, 17 (учебник).
3. Решить дополнительные задачи на доп.оценку № 75, 76.
   

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть § 2 учебника

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть § 2 рабочей тетради

Решения домашнего задания

Задача 13 (рабочая тетрадь, стр. 7)
Дано:
• Точка $O$ — начало лучей $h$ и $p$.
• Угол $kp$ должен быть развёрнутым (то есть равным $180^\circ$).
• На рисунке уже изображён луч $k$ с началом в точке $O$.
Решение:
1. Чтобы угол $kp$ был развёрнутым, лучи $k$ и $p$ должны быть противоположными, то есть лежать на одной прямой и быть направленными в противоположные стороны. Значит, луч $p$ нужно провести как продолжение луча $k$ за точку $O$.
2. Луч $h$ можно провести в любом другом направлении (не совпадающем с прямой $kp$), чтобы образовались дополнительные углы.
3. Теперь перечислим все получившиеся углы:
• $\angle kp$ — развёрнутый угол ($180^\circ$);
• $\angle kh$ — угол между лучами $k$ и $h$;
• $\angle ph$ — угол между лучами $p$ и $h$.
Ответ: $\angle kp$, $\angle kh$, $\angle ph$.

Задача 14 (рабочая тетрадь, стр. 7)
Дано:
• Угол с вершиной $M$ и сторонами, проходящими через точки $D$ и $B$.
• Точки: $A$, $C$, $D$, $K$.
Решение:
1. На сторонах угла $M$ лежат точки, которые находятся непосредственно на лучах, образующих угол. Это точки $D$ и $B$.
2. Внутри угла $M$ лежит точка, которая находится в области между сторонами угла. Это точка $C$.
3. Вне угла $M$ лежит точка, которая не принадлежит ни сторонам, ни внутренней области угла. Это точка $K$.
Ответ:
• На сторонах угла $M$ лежат точки $D$, $B$;
• Внутри угла $M$ лежит точка $C$;
• Вне угла $M$ лежит точка $K$.

Задача 15 (рабочая тетрадь, стр. 7)
Дано:
• Угол $ABC$ с вершиной $B$.
• Лучи $BM$ и $BK$, исходящие из точки $B$.
Решение:
1. Луч делит угол на два угла, если он:
1) исходит из вершины угла;
2) проходит внутри угла.
1. Рассмотрим луч $BM$: он исходит из вершины $B$ и проходит внутри угла $ABC$, значит, делит его на два угла: $\angle ABM$ и $\angle MBC$.
2. Рассмотрим луч $BK$: он также исходит из вершины $B$, но проходит вне угла $ABC$, поэтому не делит его на два угла.
Ответ: Луч $BM$ делит угол $ABC$ на два угла.

Задача 16 (рабочая тетрадь, стр. 8)
Дано:
• Угол $MKT$ с вершиной $K$.
Решение:
№ 1. Чтобы луч $KO$ делил угол $MKT$ на два угла, он должен исходить из вершины $K$ и проходить внутри угла $MKT$. Например, можно провести его между лучами $KM$ и $KT$.
№ 2. Чтобы луч $KC$ не делил угол $MKT$ на два угла, он должен либо не исходить из вершины $K$, либо проходить вне угла $MKT$. Например, можно провести его так, чтобы он находился снаружи угла (например, в противоположную сторону от внутренней области угла).
Ответ:
• Луч $KO$ проведён внутри угла $MKT$ — делит его на два угла.
• Луч $KC$ проведён вне угла $MKT$ — не делит его на два угла.

Задача № 14 (учебник, с. 11)
Условие: Начертите три луча h, k и l с общим началом. Назовите все углы, образованные данными лучами.
Ожидаемый ответ: При трех лучах с общим началом образуются три угла:
• ∠hk (между лучами h и k)
• ∠kl (между лучами k и l)
• ∠lh (между лучами l и h)

Задача № 16 (учебник, с. 11)
Условие: Начертите неразвёрнутый угол. Отметьте точки А, В, М и N так, чтобы все точки отрезка АВ лежали внутри угла, а все точки отрезка MN лежали вне угла.
Ожидаемый ответ:
• Отрезок АВ должен быть расположен целиком внутри угла (обе точки А и В и все точки между ними находятся во внутренней области угла).
• Отрезок MN должен быть расположен целиком вне угла (обе точки М и N и все точки между ними находятся во внешней области угла).

Задача № 17 (учебник, с. 11)
Условие: Начертите неразвёрнутый угол АОВ и проведите: а) луч ОС, который делит угол АОВ на два угла; б) луч OD, который не делит угол АОС на два угла.
Ожидаемый ответ:
• а) Луч ОС должен проходить внутри угла АОВ, исходя из вершины О. Тогда он разделит угол АОВ на два угла: ∠АОС и ∠СОВ.
• б) Луч OD должен проходить вне угла АОС (например, быть продолжением луча ОА или ОС, или проходить во внешней области угла АОС), тогда он не будет делить угол АОС на два угла.

Задача № 75 (учебник, с. 26)
Условие: Отметьте четыре точки так, чтобы никакие три не лежали на одной прямой. Через каждую пару точек проведите прямую. Сколько получилось прямых?
Ожидаемый ответ: Получится 6 прямых.
Обоснование: Каждая из 4 точек соединяется с тремя другими, но каждая прямая считается дважды (например, прямая АВ и ВА — это одна и та же прямая). Поэтому количество прямых равно:
4 · 3 : 2 = 6

Задача № 76 (учебник, с. 26)
Условие: Даны четыре прямые, каждые две из которых пересекаются. Сколько точек пересечения имеют эти прямые, если через каждую точку пересечения проходят только две прямые?
Ожидаемый ответ: Получится 6 точек пересечения.
Обоснование: Каждая из 4 прямых пересекается с тремя другими, но каждая точка пересечения считается дважды (например, пересечение прямых a и b — это та же точка, что и пересечение b и a). Поэтому количество точек пересечения равно:
4 · 3 : 2 = 6

Вы смотрели: Геометрия 7 класс Урок 2. Тема урока: §2. Луч и угол. Ориентировано на работу с базовым учебником: «Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. 7—9 классы. Просвещение». В учебных целях использованы цитаты из пособия «Поурочные разработки по геометрии. 7 класс / Гаврилова Н.Ф. — М.: «.

Вернуться в Поурочное планирование для 7 класса