Геометрия 7 класс Урок 3. Тема урока: §3. Сравнение отрезков и углов. Пункты: 5–6. Ориентировано на работу с базовым учебником: «Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. 7—9 классы. М.: Просвещение».
Вернуться в Поурочное планирование для 7 класса

Геометрия 7 класс Урок 3.
§ 2. Сравнение отрезков и углов

Основные дидактические цели урока: ввести понятия равенства геометрических фигур, середины отрезка и биссектрисы угла; научить сравнивать отрезки и углы.

Планируемые результаты:

• предметные: научиться сравнивать отрезки и углы, находить середину отрезка и биссектрису угла;
• метапредметные: развивать навыки анализа, сравнения, обобщения;
• личностные: формировать интерес к изучению геометрии, понимание её практической значимости.

I. Организационный момент. Проверка домашнего задания

(Учитель и ученики приветствуют друг друга, выявляются отсутствующие) 

№ 1. Теоретический опрос по предыдущим урокам:
1. Назовите основные геометрические фигуры на плоскости.
2. Что такое планиметрия?
3. Как можно обозначить прямую?
4. Что называется отрезком?
5. Сколько общих точек могут иметь две прямые?
6. Сколько прямых можно провести через любые две точки плоскости?
7. Объясните, что такое луч. Как обозначаются лучи?
8. Какая фигура называется углом? Объясните, что такое вершина и стороны угла.
9. Какой угол называется развернутым?
10. Сколько неразвернутых углов образуется при пересечении трёх прямых, проходящих через одну точку? (Ответ: двенадцать углов.)

№ 2. Проверка основного домашнего задания (2 уровня)

№ 3. Проверка дополнительных задач.

II. Мотивация к учебной деятельности

Два факта для мотивации:

1. Факт из астрономии: Чтобы определить расстояние до звёзд, астрономы используют метод параллакса, который основан на измерении углов. Точность измерения углов до долей секунды позволяет учёным определять расстояния до ближайших звёзд с погрешностью менее 10%. Без умения сравнивать и измерять углы мы бы не знали, насколько далеко от нас находятся другие звёздные системы.
2. Факт из архитектуры: При строительстве Эйфелевой башни (высота 300 м) инженеры столкнулись с задачей: все четыре опоры башни должны стоять под одинаковым углом к земле, чтобы нагрузка распределялась равномерно. Отклонение угла даже на 0,5° привело бы к перекосу конструкции и угрозе обрушения. Именно поэтому сравнение углов и отрезков — одна из важнейших задач в строительстве и проектировании.

Вступительное слово учителя:
— Сегодня мы научимся сравнивать геометрические фигуры. Это умение пригодится вам не только на уроках, но и в жизни: от ремонта квартиры до проектирования зданий.

III. Работа по теме урока

Оборудование для работы в группах:

• 2 прямоугольника (разных по размеру);
• 2 треугольника на листе бумаги;
• рис. 24, 25, 26, 27, 29 из учебника (с. 11–12);
• линейка без делений;
• шарнирная модель угла;
• рисунки с углами (в том числе равными).

Задания для групп (по учебнику):

1. Сравните два прямоугольника. (Ответ: наложением.)
2. Сравните треугольники. (Ответ: скопировать на кальку и наложить.)
3. Какие две фигуры называются равными? (Ответ: те, которые совмещаются наложением.)
   — Обратитесь к рис. 24 (учебник, с. 11).
4. Сравните отрезки с помощью линейки без делений (рис. 25, учебник, с. 12).
   — Выполните записи с использованием знаков <, >, =.
5. Что такое середина отрезка? (рис. 26, учебник, с. 12).
   — Точка С — середина отрезка АВ. Что можно записать? (Ответ: AC = CB, AB = 2AC = 2CB.)
6. Сравните углы без транспортира (рис. 27, учебник, с. 12).
   — Используйте шарнирную модель угла. Выполните записи с использованием знаков <, >, =.
7. Что такое биссектриса угла?
   — Обратитесь к определению в учебнике (с. 13): «Луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла, называется биссектрисой угла».
   — Рассмотрите рис. 29 (учебник, с. 13).

IV. Закрепление изученного материала

(Рекомендуется дифференцированная работа.)

👉 I уровень сложности (базовый). Решить задачи из учебника:

• № 22 (с. 13) — сравнение отрезков;
• № 24 (с. 13) — сравнение углов;
• № 25 (с. 14) — биссектриса угла.
  

Задача 22.
Дано: Точка $O$ — середина отрезка $AB$.
Решение:
а) Рассмотрим отрезки $OA$ и $OB$:
1. По определению середины отрезка, точка $O$ делит отрезок $AB$ на два равных отрезка: $OA = OB$.
2. Равные отрезки можно совместить наложением.
б) Рассмотрим отрезки $OA$ и $AB$:
1. Так как $O$ — середина $AB$, то $AB = OA + OB = OA + OA = 2 \cdot OA$.
2. Следовательно, $AB$ в два раза длиннее $OA$, то есть $AB > OA$.
3. Отрезки разной длины нельзя совместить наложением.
Ответ:
а) Да, отрезки $OA$ и $OB$ можно совместить наложением;
б) Нет, отрезки $OA$ и $AB$ нельзя совместить наложением.

Задача 24.
Дано: Луч $OC$ делит угол $AOB$ на два угла.
Решение:
1. Если луч $OC$ делит угол $AOB$, то он проходит внутри этого угла и разбивает его на два угла: $\angle AOC$ и $\angle COB$.
2. По аксиоме измерения углов: $\angle AOB = \angle AOC + \angle COB$.
3. Так как $\angle COB > 0^\circ$, то $\angle AOB > \angle AOC$.
Ответ: $\angle AOB > \angle AOC$.

Задача 25.
Дано: Луч $l$ — биссектриса угла $hk$.
Решение:
а) Рассмотрим углы $hl$ и $lk$:
1. По определению биссектрисы, луч $l$ делит угол $hk$ на два равных угла: $\angle hl = \angle lk$.
2. Равные углы можно совместить наложением.
б) Рассмотрим углы $hl$ и $hk$:
1. Угол $hk$ состоит из двух углов: $\angle hk = \angle hl + \angle lk$.
2. Так как $\angle lk > 0^\circ$, то $\angle hk > \angle hl$.
3. Углы разной величины нельзя совместить наложением.
Ответ:
а) Да, углы $hl$ и $lk$ можно совместить наложением;
б) Нет, углы $hl$ и $hk$ нельзя совместить наложением.

👉 II уровень сложности (повышенный). Решить самостоятельно дополнительные задачи с последующим обсуждением за 3–5 мин до конца урока.

Задача 1. На прямой а от точки А отложены два отрезка АВ и АС, причем АВ < АС < 1,99АВ. Сравните отрезки ВС и АВ (рис. 1.33).
{Ответ: а) АС < 1,99АВ, АС < АВ + 0,99АВ, тогда ВС < 0,99АВ, следовательно, ВС < АВ; б) АВ – часть ВС, поэтому ВС < АВ.)

Задача 2. На рис. 1.34 ∠AOC = ∠BOD, ОМ и ON – биссектрисы углов АОВ и COD. Сравните углы MON и АОС.
{Ответ: ∠AOB = ∠COD, так как ∠AOC = ∠BOD, a ∠BOC – общая часть углов АОС и BOD.)

V. Рефлексия учебной деятельности

❓ Вопросы для рефлексии:
1. Какими способами можно сравнить две геометрические фигуры?
2. Какие фигуры называются равными?
3. Какая точка называется серединой отрезка?
4. Что называют биссектрисой угла?
5. Продолжите утверждение: «Если OA — биссектриса угла AOB, то…»

Ожидаемые ОТВЕТЫ:

1. Способы сравнения геометрических фигур: наложение; измерение длин сторон/величин углов и сопоставление результатов; использование признаков равенства (для треугольников и др. фигур).
2. Фигуры называются равными, если их можно совместить наложением (соответствующие элементы равны).
3. Точка называется серединой отрезка, если она лежит на отрезке и делит его на два равных отрезка.
4. Биссектрисой угла называют луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла.
5. «Если $OA$ — биссектриса угла $AOB$, то $\angle AOA_1 = \angle A_1OB$ (где $A_1$ — точка на биссектрисе) или $\angle AOA_1 = \angle A_1OB = \frac{1}{2}\angle AOB$».

Домашнее задание

1. § 3 (учебник, с. 11–14), вопросы 9–13 для повторения (с. 26).
2. Решить задачи.
   I уровень сложности: № 18, 19, 22, 23 (рабочая тетрадь);
   II уровень сложности: № 21, 23, 26 (учебник) + Дополнительная задача: OC — луч, принадлежащий внутренней области угла AOB. Как нужно провести луч OD, чтобы ∠AOD = ∠COB? Покажите на рисунке возможные варианты.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть задания из РАБОЧЕЙ ТЕТРАДИ

 

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть задания из УЧЕБНИКА

Геометрия 7 класс Урок 3

Решения домашних заданий

Задача 18 (рабочая тетрадь, стр. 8)
Дано:
• Точки $K$, $M$, $P$ лежат на луче с началом в точке $A$.
• Точка $M$ лежит между $A$ и $P$ ($A$–$M$–$P$).
• Точка $K$ лежит между $A$ и $M$ ($A$–$K$–$M$).
Решение:
1. Сделаем чертёж:
$A$ — начало луча, далее по порядку идут $K$, $M$, $P$:
$A$——$K$——$M$——$P$.
1. По условию $A$–$M$–$P$, поэтому отрезок $AM$ — часть отрезка $AP$. Значит, $AM < AP$.
2. Аналогично $A$–$K$–$M$, поэтому отрезок $AK$ — часть отрезка $AM$. Значит, $AK < AM$.
3. Из $AK < AM$ и $AM < AP$ следует, что $AK < AP$.
Ответ: $AK < AP$.

Задача 19 (рабочая тетрадь, стр. 9)
а) Дано:
На прямой последовательно расположены точки $A$, $C$, $B$, $D$. Из чертежа видно, что $AC = CB = BD$ (отрезки между соседними точками равны).
Решение:
1. Сравним $AB$ и $CD$:
• $AB = AC + CB = 1 + 1 = 2$ условные единицы.
• $CD = CB + BD = 1 + 1 = 2$ условные единицы.
Следовательно, $AB = CD$.
1. Сравним $AB$ и $BD$:
• $AB = 2$ условные единицы.
• $BD = 1$ условная единица.
Следовательно, $AB > BD$.
1. Сравним $AC$ и $CD$:
• $AC = 1$ условная единица.
• $CD = 2$ условные единицы.
Следовательно, $AC < CD$.
1. Выясним, какая из точек — $B$ или $C$ — служит серединой отрезка $AD$:
• $AD = AC + CB + BD = 1 + 1 + 1 = 3$ условные единицы.
• Середина отрезка $AD$ должна делить его на два равных отрезка по $1{,}5$ условные единицы.
• Точка $C$: $AC = 1$, $CD = 2$ — не середина.
• Точка $B$: $AB = 2$, $BD = 1$ — не середина.
Ни одна из точек $B$ или $C$ не является серединой отрезка $AD$.

б) Дано:
Нужно отметить на прямой $AD$ точку $M$ так, чтобы точка $C$ была серединой отрезка $DM$.
Решение:
1. Чтобы $C$ была серединой $DM$, должно выполняться: $DC = CM$.
2. Из чертежа $DC = CB + BD = 1 + 1 = 2$ условные единицы.
3. Значит, $CM$ также должно быть равно $2$ условным единицам.
4. Откладываем от точки $C$ в сторону, противоположную $D$, отрезок $CM = 2$ условные единицы. Точка $M$ окажется левее точки $A$ (так как $AC = 1$, а нужно $2$).

Ответ:
а) $AB = CD$, $AB > BD$, $AC < CD$; ни точка $B$, ни точка $C$ не являются серединой отрезка $AD$.
б) Точка $M$ расположена на прямой $AD$ так, что $C$ — середина $DM$, при этом $CM = DC = 2$ условные единицы.

Задача 22 (рабочая тетрадь, стр. 10)
Дано:
Луч $AM$ делит угол $BAC$ на два угла.
Решение:
1. Сделаем чертёж: угол $BAC$ с вершиной $A$, внутри него проведён луч $AM$.
2. Углы $BAM$ и $BAC$ имеют общую сторону $AB$.
3. Луч $AM$ делит угол $BAC$ на два угла ($BAM$ и $MAC$), поэтому луч $AM$ проходит внутри угла $BAC$.
4. Значит, угол $BAM$ — часть угла $BAC$, поэтому $\angle BAM < \angle BAC$.
Ответ: $\angle BAM < \angle BAC$.

Задача 23 (рабочая тетрадь, стр. 10)
Дано:
Три луча $h$, $k$ и $m$ исходят из точки $O$, луч $h$ является продолжением луча $k$.
Решение:
1. Сделаем чертёж: лучи $k$ и $h$ образуют прямую (так как $h$ — продолжение $k$), луч $m$ проведён в другую сторону от этой прямой.
2. По условию луч $h$ является продолжением луча $k$, значит, угол $hk$ — развёрнутый ($180^\circ$).
3. Угол $km$ — неразвёрнутый (меньше $180^\circ$), поэтому он составляет часть угла $hk$.
4. Следовательно, $\angle hk > \angle km$.
Ответ: $\angle hk > \angle km$.

Геометрия 7 класс Урок 3

Задача 21 (учебник, стр. 13)
Дано:
• На луче с началом $O$ отмечены точки $A$, $B$, $C$.
• Точка $B$ лежит между $O$ и $A$.
• Точка $A$ лежит между $O$ и $C$.
Решение:
1. Запишем порядок точек на луче: $O$——$B$——$A$——$C$.
2. Сравним отрезки $OB$ и $OA$: так как $B$ лежит между $O$ и $A$, отрезок $OB$ — часть отрезка $OA$, значит, $OB < OA$.
3. Сравним отрезки $OC$ и $OA$: так как $A$ лежит между $O$ и $C$, отрезок $OA$ — часть отрезка $OC$, значит, $OC > OA$.
4. Сравним отрезки $OB$ и $OC$: точка $B$ лежит между $O$ и $C$, значит, $OB$ — часть отрезка $OC$, следовательно, $OB < OC$.
Ответ: $OB < OA$, $OC > OA$, $OB < OC$.

Задача 23 (учебник, стр. 13)
Дано:
• На рисунке 30 точки $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ расположены на одной прямой.
• Отрезки $AB$, $BC$, $CD$, $DE$ равны между собой. Обозначим длину каждого из них как $x$.
Решение:
а) Найдём середины указанных отрезков:
• Отрезок $AC$: $AC = AB + BC = x + x = 2x$. Середина отрезка $AC$ — это точка, делящая его на два отрезка по $x$. Такой точкой является $B$.
• Отрезок $AE$: $AE = AB + BC + CD + DE = x + x + x + x = 4x$. Середина отрезка $AE$ делит его на два отрезка по $2x$. Отсчитав от $A$ два отрезка по $x$, попадаем в точку $C$. Значит, середина $AE$ — точка $C$.
• Отрезок $CE$: $CE = CD + DE = x + x = 2x$. Середина отрезка $CE$ делит его на два отрезка по $x$. Отсчитав от $C$ один отрезок $x$, попадаем в точку $D$. Значит, середина $CE$ — точка $D$.
б) Найдём отрезок, серединой которого является точка $D$:
• Точка $D$ делит отрезок $CE$ на два равных отрезка $CD$ и $DE$ (по условию они равны). Значит, $D$ — середина $CE$.
в) Найдём отрезки, серединой которых является точка $C$:
• Точка $C$ делит отрезок $BD$ на два равных отрезка $BC$ и $CD$. Значит, $C$ — середина $BD$.
• Точка $C$ делит отрезок $AE$ на два равных отрезка $AC$ и $CE$ (так как $AC = 2x$, $CE = 2x$). Значит, $C$ — середина $AE$.
Ответ:
а) Середина $AC$ — точка $B$, середина $AE$ — точка $C$, середина $CE$ — точка $D$.
б) Отрезок $CE$.
в) Отрезки $BD$ и $AE$.

Задача 26 (учебник, стр. 14)
Дано:
• На рисунке 31 из точки $O$ выходят лучи $OA$, $OB$, $OC$, $OD$, $OE$, $OF$.
• Углы, обозначенные цифрами 1, 2, 3, 4, 5, равны между собой. Обозначим величину каждого такого угла как $\alpha$.
Решение:
а) Найдём биссектрисы указанных углов:
• Угол $AOC$: $\angle AOC = \angle 1 + \angle 2 = \alpha + \alpha = 2\alpha$. Биссектриса делит угол пополам, то есть на два угла по $\alpha$. Луч $OB$ делит $\angle AOC$ на $\angle 1$ и $\angle 2$, которые равны $\alpha$. Значит, биссектриса $\angle AOC$ — луч $OB$.
• Угол $BOF$: $\angle BOF = \angle 2 + \angle 3 + \angle 4 + \angle 5 = \alpha + \alpha + \alpha + \alpha = 4\alpha$. Биссектриса должна делить его на два угла по $2\alpha$. Луч $OD$ делит $\angle BOF$ на $\angle BOD = \angle 2 + \angle 3 = 2\alpha$ и $\angle DOF = \angle 4 + \angle 5 = 2\alpha$. Значит, биссектриса $\angle BOF$ — луч $OD$.
• Угол $AOE$: $\angle AOE = \angle 1 + \angle 2 + \angle 3 + \angle 4 = \alpha + \alpha + \alpha + \alpha = 4\alpha$. Биссектриса должна делить его на два угла по $2\alpha$. Луч $OC$ делит $\angle AOE$ на $\angle AOC = \angle 1 + \angle 2 = 2\alpha$ и $\angle COE = \angle 3 + \angle 4 = 2\alpha$. Значит, биссектриса $\angle AOE$ — луч $OC$.
б) Найдём все углы, биссектрисой которых является луч $OC$:
• Луч $OC$ делит угол $AOD$ на $\angle AOC = 2\alpha$ и $\angle COD = \angle 3 = \alpha$. Они не равны, значит, $OC$ не биссектриса $\angle AOD$.
• Луч $OC$ делит угол $BOD$ на $\angle BOC = \angle 2 = \alpha$ и $\angle COD = \angle 3 = \alpha$. Они равны, значит, $OC$ — биссектриса $\angle BOD$.
• Луч $OC$ делит угол $AOE$ на $\angle AOC = 2\alpha$ и $\angle COE = 2\alpha$. Они равны, значит, $OC$ — биссектриса $\angle AOE$.
• Луч $OC$ делит угол $BOE$ на $\angle BOC = \alpha$ и $\angle COE = 2\alpha$. Они не равны, значит, $OC$ не биссектриса $\angle BOE$.
Сравним углы $BOC$ и $BOD$:
• $\angle BOC = \angle 2 = \alpha$.
• $\angle BOD = \angle 2 + \angle 3 = \alpha + \alpha = 2\alpha$.
• Так как $\alpha < 2\alpha$, то $\angle BOC < \angle BOD$.
Ответ:
а) Биссектриса $\angle AOC$ — луч $OB$, биссектриса $\angle BOF$ — луч $OD$, биссектриса $\angle AOE$ — луч $OC$.
б) Углы, биссектрисой которых является луч $OC$: $\angle BOD$, $\angle AOE$.
Сравнение: $\angle BOC < \angle BOD$.

Вы смотрели: Геометрия 7 класс Урок 3. Тема урока: §3. Сравнение отрезков и углов. Пункты: 5–6. Ориентировано на работу с базовым учебником: «Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. 7—9 классы. Просвещение». В учебных целях использованы цитаты из пособия «Поурочные разработки по геометрии. 7 класс / Гаврилова Н.Ф.».

Вернуться в Поурочное планирование для 7 класса