Контрольная работа № 1 по геометрии в 8 классе «Четырехугольники» с ответами УМК Атанасян (средний уровень). Урок 16 поурочного планирования по геометрии. Геометрия 8 Атанасян К-1 Уровень 2 (средний). Цитаты использованы в учебных целях.
Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

Другие варианты контрольной № 1 в 8 классе:

К-1 Уровень 1 + Решения   К-1 Уровень 3 + Ответы

Контрольная работа № 1

Уровень 2 (средний). Геометрия 8 класс

К-1 Уровень 2 Вариант 1 (задания)

1. Периметр параллелограмма 50 см. Одна из его сторон на 5 см больше другой. Найдите длины сторон параллелограмма.
2. Найдите угол между диагоналями прямоугольника, если каждая из них делит угол прямоугольника в отношении 4 : 5.
3. Найдите углы параллелограмма, если одна из его диагоналей является высотой и равна одной из его сторон.
4. В трапеции ABCD диагональ BD перпендикулярна боковой стороне АВ, ∠ADB = ∠BDC = 30°. Найдите длину AD, если периметр трапеции 60 см.
5. * В параллелограмме ABCD биссектрисы углов АВС и BCD пересекаются в точке M₁. На прямых АВ и CD взяты точки К и Р так, что А – В – К, D – С – Р. Биссектрисы углов КВС и ВСР пересекаются в точке М₂, М₁М₂ = 8 см. Найдите AD.

К-1 Уровень 2 Вариант 2 (задания)

1. Периметр параллелограмма 60 см. Одна из его сторон на 6 см меньше другой. Найдите длины сторон параллелограмма.
2. Угол между диагоналями прямоугольника равен 80°. Найдите угол между диагональю и меньшей стороной прямоугольника.
3. Найдите углы параллелограмма, если одна из его диагоналей является высотой и равна половине неперпендикулярной к ней стороны параллелограмма.
4. В трапеции ABCD диагональ АС перпендикулярна боковой стороне CD и является биссектрисой угла А. Найдите длину АВ, если периметр трапеции равен 35 см, ∠D = 60°.
5. * В параллелограмме ABCD AD = 6 см. Биссектрисы углов АВС и BCD пересекаются в точке M₁. На прямых АВ и CD взяты точки К и Р так, что А – В – К, D – С – Р. Биссектрисы углов КВС и ВСР пересекаются в точке М₂. Найдите М₁М₂.

Задания, решения и ответы
на контрольную № 2 уровень 2

Ответы на Вариант 1

№ 1. Периметр параллелограмма 50 см. Одна из его сторон на 5 см больше другой. Найдите длины сторон параллелограмма.
Правильный ответ: 10 см, 15 см, 10 см, 15 см.
РЕШЕНИЕ: Пусть х см – одна из сторон параллелограмма, тогда другая сторона равна (х + 5) см. Так как противолежащие стороны параллелограмма равны, а периметр равен 50 см, то х + (х + 5) + х + (х + 5) = 50, откуда х = 10, т. е. стороны параллелограмма равны 10 см, 15 см, 10 см, 15 см.

№ 2. Найдите угол между диагоналями прямоугольника, если каждая из них делит угол прямоугольника в отношении 4 : 5.
Правильный ответ: 80°.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Каждый угол прямоугольника равен 90°. Диагональю он делится в отношении 4 : 5, т.е. на углы 40° и 50°:
1) 90° : (4 + 5) * 4 = 40°;
2) 90° : (4 + 5) * 5 = 50°.
Диагонали прямоугольника равны, точкой пересечения делятся по полам и со сторонами прямоугольника образуют равнобедренные треугольники, сумма углов которых 180°.
Углы треугольника, образованного половинами диагоналей с боковой стороной, равны 40°, 40° и угол между диагоналями 180° – 2 • 40° = 100°.
Углы треугольника, образованного половинами диагоналей с большей стороной, равны 50°, 50° и угол между диагоналями 80°.

ОТВЕТ : Диагонали прямоугольника при пересечении образуют углы 100° и 80°. Обычно указывается меньший угол, т.е. 80°.

№ 3. Найдите углы параллелограмма, если одна из его диагоналей является высотой и равна одной из его сторон.
Правильный ответ: 45°, 135°, 45°, 135°.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Диагональ BD является высотой и равна сторонам AD и ВС (рис. 5.195). Тогда △ABD – прямоугольный и равнобедренный, ∠BAD = ∠ABD = 90° : 2 = 45°. Так как BD ⊥ ВС, то ∠ABC = 45° + 90° = 135°. В параллелограмме противолежащие углы равны, тогда ∠C = ∠A = 45°, ∠ADC = ∠ABC= 135°.

№ 4. В трапеции ABCD диагональ BD перпендикулярна боковой стороне АВ, ∠ADB = ∠BDC = 30°. Найдите длину AD, если периметр трапеции 60 см.
Правильный ответ: AD = 24 см.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

а) ∠BDA = ∠CBD = 30° как накрест лежащие при параллельных прямых AD и ВС и секущей BD. ∠CBD = ∠CDB = 30°, поэтому △BCD – равнобедренный с основанием BD, т. е. ВС = CD.
б) В △ABD ∠ABD = 90°, ∠BDA = 30°, тогда ∠BAD = 60°, а в трапеции ABCD ∠BAD = ∠CDA = 60°, т. е. она равнобедренная и АВ = CD.
в) В △ABD AD = 2 • АВ, так как ∠ADB = 30°, ∠ABD = 90°.
г) Р_ABCD = АВ + ВС + CD + AD = 60 см, но так как АВ = ВС = CD, a AD = 2 • АВ, то АВ + АВ + АВ + 2 • АВ = 60 см, откуда АВ = 12 см, AD = 24 см.

№ 5*. В параллелограмме ABCD биссектрисы углов АВС и BCD пересекаются в точке M₁. На прямых АВ и CD взяты точки К и Р так, что А – В – К, D – С – Р. Биссектрисы углов КВС и ВСР пересекаются в точке М₂, М₁М₂ = 8 см. Найдите AD.
Правильный ответ: AD = 8 см.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

а) Биссектрисы соседних углов параллелограмма перпендикулярны, поэтому ∠BM₁C = 90°.
б) ∠KBC и ∠PCB – односторонние при параллельных прямых АВ и CD и секущей ВС, поэтому биссектрисы углов КВС и РСВ перпендикулярны, т. е. ∠BM₂C= 90°.
в) ∠ABC и ∠KBC, ∠DCB и ∠PCB – смежные, биссектрисы смежных углов перпендикулярны, поэтому ∠M₂BM₁ = 90°, ∠M₂CM₁ = 90°.
г) В четырехугольнике ВМ₂СМ₁ все углы прямые, поэтому ВМ₂СМ₁ – прямоугольник и его диагонали равны, т. е. ВС = М₁М₂ = 8 см, AD = ВС = 8 см как противолежащие стороны параллелограмма. 

Ответы на Вариант 2

№ 1. Периметр параллелограмма 60 см. Одна из его сторон на 6 см меньше другой. Найдите длины сторон параллелограмма.
Правильный ответ: 18 см, 12 см, 18 см, 12 см.
РЕШЕНИЕ: Пусть x см – одна из сторон параллелограмма, тогда другая сторона равна (x – 6) см. Так как противолежащие стороны параллелограмма равны, а периметр равен 60 см, тогда x + (x – 6) + x + (x – 6) = 60, откуда x = 18, т. е. стороны параллелограмма равны 18 см, 12 см, 18 см, 12 см.

№ 2. Угол между диагоналями прямоугольника равен 80°. Найдите угол между диагональю и меньшей стороной прямоугольника.
Правильный ответ: 50°.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

△АОВ – равнобедренный (рис. 5.198), так как АО = AC/2 = BD/2 = ВО, тогда углы при основании АВ равны, т. е. ∠OBA = ∠OAB = (180° – 80°)/2 = 50°. Таким образом, угол между диагональю и меньшей стороной прямоугольника равен 50°.

№ 3. Найдите углы параллелограмма, если одна из его диагоналей является высотой и равна половине неперпендикулярной к ней стороны параллелограмма.
Правильный ответ: 30°, 30°, 150°, 150°.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Диагональ BD ⊥ AD и BD = AB/2, тогда в прямоугольном △ABD ∠A = 30°, ∠ABD = 90° – 30° = 60° (рис. 5.199). Так как BD ⊥ AD, AD || ВС, то BD ⊥ ВС, т. е. ∠DBC = 90°, тогда ∠ABC = 60° + 90° = 150°. В параллелограмме противолежащие утлы равны, тогда ∠A = ∠C = 30°, ∠ADC = ∠ABC = 150°.

№ 4. В трапеции ABCD диагональ АС перпендикулярна боковой стороне CD и является биссектрисой угла А. Найдите длину АВ, если периметр трапеции равен 35 см, ∠D = 60°.
Правильный ответ: AB = 7 см.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

а) В △ACD ∠ACD = 90°, ∠D = 60°, тогда ∠CAD = 30° и CD = АD/2.
б) Так как АС – биссектриса ∠BAD, a ∠CAD = 30°, то ∠BAD = 60°, тогда трапеция ABCD – равнобедренная, т. е. АВ = CD.
в) ∠CAD = ∠BCA = 30° как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей АС, тогда △АВС – равнобедренный, т. е. АВ = ВС.
г) Р_ABCD = АВ + ВС + CD + AD = 35. Так как АВ = ВС = CD = АD/2, то АВ + АВ + АВ + 2 • АВ = 35, откуда АВ = 7 см.

№ 5*. В параллелограмме ABCD AD = 6 см. Биссектрисы углов АВС и BCD пересекаются в точке M₁. На прямых АВ и CD взяты точки К и Р так, что А – В – К, D – С – Р. Биссектрисы углов КВС и ВСР пересекаются в точке М₂. Найдите М₁М₂.
Правильный ответ: М₁М₂ = 6 см.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

а) Биссектрисы соседних углов параллелограмма перпендикулярны, поэтому ∠BM₁C = 90°.
б) ∠KBC и ∠PCB – односторонние при параллельных прямых АВ и CD и секущей ВС, поэтому биссектрисы углов КВС и РСВ перпендикулярны, т. е. ∠BM₂C = 90°.
в) ∠ABC и ∠KBC, ∠DCB и ∠PCB – смежные, биссектрисы смежных углов перпендикулярны, поэтому ∠M₂BM₁ = 90°, ∠M₂CM₁ = 90°.
г) В четырехугольнике ВМ₂СМ₁ все углы прямые, значит, ВМ₂СМ₁ – прямоугольник и его диагонали равны, т. е. ВС = М₁М₂.
д) В параллелограмме ABCD ВС = AD, а так как AD = 6 см, ВС = М₁М₂, то М₁М₂ = 6 см.

Другие варианты контрольной № 1 в 8 классе:

К-1 Уровень 1 + Решения   К-1 Уровень 3 + Ответы

Вы смотрели: Контрольная работа № 1 по геометрии в 8 классе с ответами УМК Атанасян Просвещение (Уровень 2-й) «Четырехугольники». Урок 16 поурочного планирования по геометрии. Геометрия 8 Атанасян К-1 Уровень 2 (средний).

Смотреть Список всех контрольных по геометрии в 8 классе УМК Атанасян.

В учебных целях использованы цитаты из учебного пособия «Поурочные разработки по геометрии. 8 класс / Гаврилова Н.Ф. — М.: ВАКО», которое используется в комплекте с учебником «Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. 7—9 классы. Учебник для общеобразовательных организаций. М.: Просвещение».