Геометрия 8 класс (УМК Атанасян и др. — Просвещение). Урок 4. Самостоятельная работа № 1 «Многоугольники» с ответами (3 уровня сложности по 2 варианта в каждом). Геометрия 8 Атанасян Самостоятельная 1.

Самостоятельные работы    Контрольные работы

Геометрия 8 класс. Урок 4.
Самостоятельная № 1 «Многоугольники»

   I уровень сложности (задания)

   II уровень сложности (задания)

   III уровень сложности (задания)

ОТВЕТЫ на самостоятельную № 1

   I уровень сложности (ответы)

Ответы на У-1 Вариант 1

№ 1. Найдите сумму углов выпуклого двенадцатиугольника.
ОТВЕТ: 180° • (12 – 2) = 1800°.

№ 2. В выпуклом пятиугольнике две стороны равны, третья сторона на 3 см больше, а четвертая – в 2 раза больше первой стороны, пятая – на 4 см меньше четвертой. Найдите стороны пятиугольника, если известно, что его периметр равен 34 см.
ОТВЕТ: 5 см, 5 см, 8 см, 10 см, 6 см.
Указание к решению: (рис. 5.17) x + x + x + 3 + 2x + 2x – 4 = 34; х = 5.

Ответы на У-1 Вариант 2

№ 1. Найдите сумму углов выпуклого тринадцатиугольника.
ОТВЕТ: 180° • (13 – 2) = 1980°.

№ 2. В выпуклом шестиугольнике три стороны равны, четвертая – в 2 раза больше первой стороны, пятая – на 3 см меньше четвертой, а шестая – на 1 см больше второй. Найдите стороны шестиугольника, если известно, что его периметр равен 30 см.
ОТВЕТ: 4 см, 4 см, 4 см, 8 см, 5 см, 5 см.
Указание к решению: (рис. 5.18) x + x + x + 2x + 2x – 3 + x + 1 =30; x = 4.

   II уровень сложности (ответы)

Ответы на У-2 Вариант 1

№ 1. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если сумма его углов равна 2160°?
ОТВЕТ: 14 сторон.
Указание к решению: 180° • (n – 2) = 2160°.
n = 2160° : 180° + 2 = 12 + 2 = 14.

№ 2. Выпуклый четырехугольник ABCD имеет две пары равных между собой смежных сторон: АВ = AD, ВС = CD, О – точка пересечения диагоналей четырехугольника. Сравните периметры пятиугольников ABCOD и ABOCD.
ОТВЕТ: периметры равны.
Указание к решению. (рис. 5.19) Доказать: 1) Δ АВС = Δ ADC; 2) Δ АВО = Δ АDО; 3) P_ABCOD = P_ABOCD.

Ответы на У-2 Вариант 2

№ 1. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если сумма его углов равна 2520°?
ОТВЕТ: 16 сторон.
Указание к решению: 180° • (n – 2) = 2520°.
n = 2520° : 180° + 2 = 14 + 2 = 16.

№ 2. Диагональ АС невыпуклого четырехугольника ABCD разделяет этот четырехугольник на два треугольника, причем АВ > ВС, АВ = AD, DC = CD, а прямые, содержащие диагонали четырехугольника, пересекаются в точке О. Сравните периметры пятиугольников BCODA и DCOBA.
ОТВЕТ: периметры равны.
Указание к решению: (рис. 5.20) P_BCODA = BC + CO + OD + DA + AB = BC + 2AD + CO + OD.
P_DCOBA = DC + CO + OB + BA + AD = BC + 2AD + CO + OB, так как AB=AD и DC=BC (по условию).
Так как ΔABC = ΔACD (по трем сторонам), то ∠BAC = ∠CAD.
ΔBOA = ΔDOA по двум сторонам и углу между ними (BA=AD, AO — общая, ∠BAO = ∠OAD),
поэтому OB = OD, следовательно P_BCODA = P_DCOBA.

Геометрия 8 Атанасян Самостоятельная 1

   III уровень сложности (решения и ответы)

Ответы на У-3 Вариант 1

№ 1. Каждый угол выпуклого многоугольника равен 162°. Найдите число сторон этого многоугольника.
Решение: 180° • (n – 2) : n = 162°.
Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна 180°(n─2).
Если каждый угол равен 162°, то сумма углов равна 162° • n.
Приравниваем: 162n = 180(n─2)
162n = 180n ─ 360
360 = 18n
n = 20
Ответ: 20 сторон.

№ 2. В выпуклом шестиугольнике ABCDEF все стороны равны. Большая диагональ, проведенная из вершины А, параллельна стороне ВС, ∠BAD = ∠CDА. Сравните периметры пятиугольников ABDEF и ACDEF.
Дано: шестиугольник ABCDEF; AD || BC; ∠BAD = ∠CDA; AB = BC = CD = DE = EF = FA.
Примечание. Большая диагональ из A — это AD (в шестиугольнике ABCDEF вершины идут по порядку, значит, большая диагональ из A — к D или E; «большая» — скорее всего AD, так как AE короче).
Решение. Так как AD || BC и AB = CD, четырёхугольник ABCD — равнобедренная трапеция (AB = CD, AD || BC).
В равнобедренной трапеции диагонали равны: AC = BD.
Также из равенства углов BAD и CDA и параллельности AD || BC можно получить равенство некоторых других отрезков.
Пятиугольники: ABDEF (без вершины C) и ACDEF (без вершины B).
Периметр ABDEF = AB + BD + DE + EF + FA.
Периметр ACDEF = AC + CD + DE + EF + FA.
Но AB = CD (все стороны равны), AC = BD (из равнобедренной трапеции).
Значит, AB + BD = CD + AC (потому что AB = CD, BD = AC).
В периметре ABDEF: AB + BD + (DE + EF + FA).
В периметре ACDEF: AC + CD + (DE + EF + FA).
Первые два слагаемых в сумме равны в обоих случаях, остальные три слагаемых одинаковы. Следовательно, периметры равны, Р_ABDEF = Р_ACDEF.
Ответ: Периметры равны.

Альтернативное решение. (Рис. 5.21) Доказать: 1) ΔАВD = ΔDCА; 2) Р_ABDEF = Р_ACDEF.

Ответы на У-3 Вариант 2

№ 1. Каждый угол выпуклого многоугольника равен 165°. Найдите число сторон этого многоугольника.
Решение: 180° • (n – 2) : n = 165°.
Сумма внутренних углов = 180(n─2).
Каждый угол 165°, значит сумма 165n.
165n = 180(n─2)
165n = 180n ─ 360
360 = 15n
n = 24
Ответ: 24 стороны.

№ 2. В выпуклом пятиугольнике ABCDE все стороны имеют равные длины. Диагональ, проведенная из вершины А, параллельна стороне ED, ∠ЕАС = ∠DCA. Сравните периметры четырехугольников ЕАВС и DCBA.
Дано: пятиугольник ABCDE; AC || ED; ∠EAC = ∠DCA; B = BC = CD = DE = EA.
Примечание. Диагональ из A — это AC или AD? «Диагональ, проведенная из вершины А, параллельна стороне ED» — сторона ED соединяет вершины E и D, значит, из A параллельна ED может быть только диагональ AC (потому что AD не параллельна ED в правильном пятиугольнике, но здесь не обязательно правильный, но по условию AC || ED).
Решение: Так как AC || ED и AE = CD, четырёхугольник ACDE — равнобедренная трапеция (AE = CD, AC || ED).
В равнобедренной трапеции диагонали равны: AD = CE.
Четырёхугольники: EABC (вершины E, A, B, C) и DCBA (вершины D, C, B, A).
Периметр EABC = EA + AB + BC + CE.
Периметр DCBA = DC + CB + BA + AD.
Но EA = DC (все стороны равны), AB = BC = CB = BA (одинаково), CE = AD (из равнобедренной трапеции).
Значит, EA + CE = DC + AD (так как EA = DC, CE = AD).
Остальные стороны AB и BC одинаковы в обоих четырёхугольниках.
Следовательно, периметры равны, Р_ЕАВС = Р_DCBA.
Ответ: Периметры равны.

Альтернативное решение. (Рис. 5.22) Доказать: 1) ΔАЕС = ΔСDА; 2) Р_ЕАВС = Р_DCBA.

Вы смотрели: Геометрия 8 класс (УМК Атанасян и др. — Просвещение). Урок 4. Самостоятельная работа № 1 «Многоугольники» с ответами (3 уровня сложности по 2 варианта в каждом). Геометрия 8 Атанасян Самостоятельная 1. Ориентировано на работу с базовым учебником: «Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. 7—9 классы. Учебник для общеобразовательных организаций. М.: Просвещение». В учебных целях использованы цитаты из пособия «Поурочные разработки по геометрии. 7 класс / Гаврилова Н.Ф. — М.: ВАКО».

Вернуться в Поурочное планирование по геометрии для 8 класса (УМК Атанасян).

Перейти к Списку самостоятельных работ по геометрии в 8 классе (Оглавление)