Геометрия 8 класс (УМК Атанасян и др.). Урок 14. Самостоятельная работа № 5 «Осевая и центральная симметрии» с ответами (3 уровня сложности). Геометрия 8 Атанасян Самостоятельная 5.
Настоящий материал рекомендован для подготовки к контрольной работе № 1 «ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ».
по теме «Осевая и центральная симметрии»
Геометрия 8 Атанасян Самостоятельная 5
СР-5 У1 Вариант 1
№ 1. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О. Е – середина стороны АВ, ∠BAC = 50°. Найдите угол EOD.
Подсказка: а) Докажите, что △АВО равнобедренный и ОЕ в нем медиана, высота и биссектриса.
б) Найдите ∠EOA = 40°, ∠BOA = 80°, ∠AOD = 100°.
в) ∠EOD = ∠EOA + ∠AOD = 140°. См. Рис. 5.170.
ОТВЕТ: 140°.
№ 2. В ромбе ABCD диагонали пересекаются в точке О, ∠A = 31°. Найдите углы треугольника ВОС.
Подсказка: а) ∠A = ∠C = 31°; СО – биссектриса ∠C, ∠OCB = 15°30′;
б) △СОВ – прямоугольный, ∠BOC = 90°, ∠OCB = 15°30′, ∠OBC = 74°30′. См. Рис. 5.171.
ОТВЕТ: 90°, 15°30′, 74°30′.
№ 3. Дан отрезок, равный перпендикуляру, опущенному из вершины некоторого квадрата на диагональ. Постройте этот квадрат.
ОТВЕТ: Диагонали квадрата равны и взаимно перпендикулярны (рис. 5.172), поэтому данный по условию задачи отрезок – это ВО = DO = АО = СО. Поэтому:
а) постройте прямые а и b так, что a ⊥ b, a n b = 0;
б) от точки О на прямых a w b отложите отрезки АО, ВО, СО, DO, равные данному отрезку;
в) соедините точки А, В, С, D отрезками и получите искомый квадрат ABCD.
СР-5 У1 Вариант 2
№ 1. В прямоугольнике МРКН диагонали пересекаются в точке О. Отрезок ОА является высотой треугольника МОР, ∠AOP = 15°. Найдите ∠OHK.
Подсказка: а) Докажите, что △РМО равнобедренный и ОА в нем высота и биссектриса.
б) Найдите ∠POM = 30°, ∠OPM = 75°.
в) Докажите, что ∠OPM = ∠OHK. См. Рис. 5.173.
ОТВЕТ: ∠OHK= 75°.
№ 2. В ромбе МРКН диагонали пересекаются в точке Е. Один из углов треугольника РКЕ равен 16°30′. Найдите углы РКЕ, РКН и угол РМН.
Подсказка: а) ∠PKE = 90° – 16°30′ = 73°30′.
б) ∠PKH= 73°30′ • 2 = 147°.
в) ∠PMH = 147°. См. Рис. 5.174.
ОТВЕТ: 147°.
№ 3. Дан отрезок, равный перпендикуляру, проведенный из точки пересечения диагоналей некоторого квадрата на его сторону. Постройте этот квадрат.
ОТВЕТ: Диагонали квадрата равны (рис. 5.175), точкой пересечения делятся пополам и являются биссектрисами его углов. Можно доказать, что ОЕ = AD/2. Поэтому:
а) постройте прямые а и b так, что а ⊥ b, а ∩ b = А;
б) от точки А на прямых а и b отложите отрезки АВ и AD, равные двум данным по условию задачи отрезкам;
в) через точки А и В постройте прямые, параллельные a и b, точку пересечения обозначьте С;
г) ABCD – искомый квадрат.
СР-5 У2 Вариант 1
№ 1. В прямоугольнике ABCD О – точка пересечения диагоналей, ВН и DE – высоты треугольников АВО и COD соответственно, ∠BOH = 60°, АН = 5 см. Найдите ОЕ.
Подсказка: а) Докажите, что △АВО равносторонний и высота BH является медианой, тогда ОН = 5 см.
б) Докажите, что △ОВН = △ODE и ОН = ОЕ = 5 см. См. Рис. 5.176.
ОТВЕТ: ОЕ = 5 см.
№ 2. В ромбе ABCD диагонали пересекаются в точке О. ОМ, ОК, ОЕ – перпендикуляры, опущенные на стороны АВ, ВС, CD соответственно. Докажите, что ОМ = ОК, и найдите сумму углов МОВ и СОЕ.
Подсказка к решению: а) △АМО = △СКО по гипотенузе и острому углу, следовательно, ОМ = ОК.
б) ∠MOB + ∠COE = ∠MOB + ∠MOA = 90° (докажите, что ∠COE = ∠MOA). См. Рис. 5.177.
№ 3. Внутри данного острого угла постройте квадрат с данной стороной так, чтобы две вершины квадрата принадлежали одной стороне угла, а третья – другой.
ОТВЕТ: PQ – сторона квадрата (рис. 5.178). Постройте прямую а, удаленную от стороны угла на расстояние, равное PQ. (Далее см. рисунок.)
СР-5 У2 Вариант 2
№ 1. В прямоугольнике МРКН О – точка пересечения диагоналей, РА и НВ – перпендикуляры, проведенные из вершин Р и Н к прямой МК. Известно, что МА = ОВ. Найдите угол РОМ.
Подсказка: а) Докажите, что △PAО = △НВО и ОА = ОВ.
б) Докажите, что △MРА = △КНВ и МА = ВК.
в) Докажите, что △РОМ – равносторонний. См. Рис. 5.179.
ОТВЕТ: ∠POM = 60°.
№ 2. В ромбе МРКН диагонали пересекаются в точке О. На сторонах МК, КН, PH взяты точки А, В, С соответственно, АК = КВ = PC. Докажите, что ОА = ОВ, и найдите сумму углов РОС и МОА.
Подсказка: а) △АОК = △ВОК по двум сторонам и углу между ними, тогда ОА = ОВ.
б) ∠POC + ∠MOA = ∠POC + ∠COH = 90° (докажите, что ∠MOA = ∠COH). См. Рис. 5.180.
№ 3. Постройте квадрат по данной диагонали так, чтобы две противоположные вершины этого квадрата лежали на разных сторонах данного острого угла.
ОТВЕТ: PQ – диагональ квадрата (рис. 5.181). Отметьте точку А на одной стороне угла и точку С на другой так, что АС = PQ. (Далее см. рисунок.)
Геометрия 8 Атанасян Самостоятельная 5
СР-5 У3 Вариант 1
№ 1. В прямоугольнике ABCD точки М и К – середины сторон АВ и AD соответственно. На прямой АС взята точка Р, на прямой BD – точка Е, МР ⊥ АС, КЕ ⊥ BD. Известно, что 4КЕ = AD. Найдите отношения сторон АР : PC.
Подсказка: a) 4 • КЕ = AD, тогда 2 КЕ = KD, ∠EDK = 30°.
б) AB = BD : 2 = AC : 2.
b) АМ = АВ : 2 = АС : 4.
г) АР = АМ : 2 = АС : 8. АР : PC = 1 : 7. См. Рис. 5.182.
ОТВЕТ: АР : PC = 1 : 7.
№ 2. В ромбе ABCD угол В тупой. На стороне AD взята точка К, ВК ⊥ AD. Прямые ВК и АС пересекаются в точке О, АС = 2ВК. Найдите угол АОВ.
Подсказка: а) Проведите АЕ ⊥ AD, тогда КВ = АЕ, АС = 2 • АЕ, ∠ACE = 30°.
б) ∠COB = 60°, ∠AOB = 120°. См. Рис. 5.183.
ОТВЕТ: ∠AOB = 120°.
№ 3. Постройте прямоугольник по углу между стороной и диагональю к перпендикуляру, проведенному из вершины прямоугольника к прямой, содержащей эту диагональ.
ОТВЕТ: ∠(hk) – угол между стороной и диагональю, PQ – перпендикуляр, проведенный из вершины прямоугольника к прямой, содержащей диагональ (рис. 5.184).
а) ∠A = ∠(hk).
б) b || а, расстояние между а и b равно PQ.
в) b ∩ с = D.
г) DC ⊥ AD, DC ∩ а = С.
д) СВ ⊥ DC, АВ ⊥ AD, АВ ∩ СВ = В.
е) ABCD – искомый прямоугольник.
СР-5 У3 Вариант 2
№ 1. В прямоугольнике МРКН О – точка пересечения диагоналей. Точки А и В – середины сторон МР и МН соответственно. Точка С делит отрезок МК в отношении 1 : 7, считая от точки М, АС ⊥ МК. Найдите отношение ВО : PH.
Подсказка: а) МС = МК : 8 = МО : 4.
б) Проведите РЕ || АС. По теореме Фалеса МС = СЕ, ME = МО : 2.
в) △МРЕ = △OPE, △РМО – равносторонний, ∠PMO = 60°, ∠PHM = 30°.
г) ВО : НО = 1 : 2, тогда ВО : РН = 1 : 4. См. Рис. 5.185.
ОТВЕТ: ВО : РН = 1 : 4.
№ 2. В ромбе МРНК угол М острый. Отрезок РЕ является перпендикуляром к прямой МК, О – точка пересечения диагоналей, Т – общая точка прямых РЕ и МН, ∠MTP = 120°, ОН = а. Найдите РЕ.
Подсказка: а) Проведите MS ⊥ КМ, РЕ = MS.
б) В △PTH ∠THP = 30°.
в) В △MSH ∠S = 90°, ∠MHS = 30°, МН = 2 • а, тогда MS = а. См. Рис. 5.186.
ОТВЕТ: РЕ = а.
№ 3. Постройте ромб по острому углу и отрезку, длина которого равна расстоянию между прямыми, содержащими противоположные стороны ромба.
ОТВЕТ: ∠(hk) – острый угол ромба; PQ – отрезок, равный расстоянию между противоположными сторонами ромба.
а) ∠(Ab) = ∠A = ∠(hk).
б) с || а, расстояние между а и с равно PQ.
в) b ∩ с = D.
г) АВ = AD, DC = AD, В ∈ а, С ∈ с.
д) ABCD – искомый ромб.
Вы смотрели: Геометрия 8 класс (УМК Атанасян и др.). Урок 14. Самостоятельная работа № 5 «Осевая и центральная симметрии» с ответами (3 уровня сложности). Геометрия 8 Атанасян Самостоятельная 5. Ориентировано на работу с базовым учебником: «Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. 7—9 классы. Учебник для общеобразовательных организаций. М.: Просвещение».
Вернуться в Поурочное планирование по геометрии для 8 класса (УМК Атанасян).
Перейти к Списку самостоятельных работ по геометрии в 8 классе (Оглавление)