Итоговый тест по геометрии за 8 класс с ответами (единый уровень сложности, 2 варианта). УМК Атанасян и др. (Просвещение). Поурочное планирование по геометрии для 8 класса. ПОВТОРЕНИЕ. Урок 69. Геометрия 8 класс Итоговый тест. Смотрите также:

Список контрольных в 8 классе    Итоговая контрольная работа

Итоговый тест
по геометрии за 8 класс

Цель: проверить знания, умения и навыки учащихся по теме.
Тип урока: урок контроля, оценки и коррекции знаний.

Итоговый тест. Вариант 1 (задания)

Итоговый тест. Вариант 2 (задания)

    Геометрия 8 класс Итоговый тест. Ответы

ОТВЕТЫ на Вариант 1

■ А1. Площадь равностороннего треугольника со стороной 6 см равна:
1) 9 см²; 2) 9√3 см²; 3) 18 см²; 4) 18√3 см².
ОТВЕТ: 2) 9√3 см².
Решение. Площадь S любого треугольника можно найти, зная длину двух сторон и величину угла между ними по следующей формуле: S = b * c * sin(α) /2, где b и c — две стороны этого треугольника, а α — угол между этими сторонами. Согласно условию задачи, данный треугольник является равносторонним и длина его сторон составляет 6 см. Все углы этого треугольника также равны между собой и составляют 60°. Следовательно, площадь S данного треугольника составляет:
S = 6 * 6 * sin(60°) / 2 =  36 * (√3/2) / 2 = 9√3 см².

■ А2. Биссектриса угла А параллелограмма ABCD делит сторону ВС на отрезки ВК = 6 см и КС = 3 см. Периметр параллелограмма равен:
1) 18 см; 2) 15 см; 3) 24 см; 4) 30 см.
ОТВЕТ: 4) 30 см.
Решение. Биссектриса АК разделяет прямоугольник на две геометрические фигуры — четырехугольник АКСD и треугольник АВК. Согласно свойствам прямоугольника, этот треугольник — равнобедренный. Следовательно, ВК = АВ = 6 см. ВС = ВК + СК = 6 + 3 = 9 см.
В прямоугольнике, согласно его свойствам, стороны, находящиеся напротив друг друга равны. Следовательно, АВ = СD = 6 см, ВС = АD = 9 см.
Вычисляем периметр (Р) заданного прямоугольника: Р = 2(6 + 9) = 30 см.

■ А3. В равнобедренной трапеции ABCD высота, опущенная из вершины В на большее основание AD, равна 4 см и делит AD на отрезки, равные 5 см и 9 см. Площадь трапеции равна:
1) 36 см²; 2) 72 см²; 3) 18 см²; 4) 38 см².
ОТВЕТ: 1) 36 см².
Решение. Обозначим высоту как ВН. Определим длину большего основания трапеции. АD = АН + DН = 14 см. Проведем вторую высоту трапеции теперь из вершины С, обозначим CM. Так как, по условию трапеция равнобедренная, то прямоугольные треугольники АВН и CDM равны по гипотенузе и острому угла, тогда DМ = АН = 5 см. Отрезок НМ = АD = АН – DМ = 14 – 5 – 5 = 4 см. Четырехугольник ВСМН прямоугольник, тогда ВС = НМ = 4 см. Определим площадь трапеции.
Sтр = (ВС + АD) * ВН / 2 = (4 + 14) * 4 / 2 = 36 см².

■ А4. ABCD – квадрат со стороной 4 см. На сторонах АВ и CD отложены отрезки AM и КС так, что AM = RC = 3 см. Найдите периметр четырехугольника MBKD.
1) 14 см; 2) 12 см; 3) 10 см; 4) 16 см.
ОТВЕТ: 3) 10 см.
Решение. Найдем длины оставшихся частей сторон:
MB = AB — AM = 4 см — 3 см = 1 см
KD = CD — CK = 4 см — 3 см = 1 см
Определим длины сторон четырехугольника MBKD:
MB = 1 см (уже нашли)
BK = BC = 4 см (сторона квадрата)
KD = 1 см (уже нашли)
DM = AD = 4 см (сторона квадрата)
Вычислим периметр: P = MB + BK + KD + DM = 1 см + 4 см + 1 см + 4 см = 10 см.

■ А5. В трапеции ABCD основание ВС перпендикулярно боковой стороне АВ, угол D равен 60°, диагональ АС перпендикулярна стороне CD, равной 8 см. Найдите ВС.
1) 8 см; 2) 12 см; 3) 16 см; 4) 4 см.
ОТВЕТ: 2) 12 см.
Решение. Из вершины С трапеции опустим высоту СН. В образованном прямоугольном треугольнике СНD ∠D = 60⁰, ∠Н = 90⁰, тогда ∠С = 180 – 90 – 60 = 30⁰. Катет ДН лежит против угла 30⁰, а следовательно равен половине длины гипотенузы СD: DН = СD / 2 = 8 / 2 = 4 см.
Рассмотрим прямоугольный △ACD, у которого ∠D = 60⁰, ∠С = 90⁰, тогда ∠А = 180 – 90 – 60 = 30⁰. Катет СD лежит против ∠А равного 30⁰, следовательно он равен половине длины гипотенузы АD. Тогда АD = 2 * СD = 2 * 8 = 16 см. Отрезок АН = АD – DН = 16 – 4 = 12 см. Так как АВСН прямоугольник, то ВС = АН = 12 см.

■ В1. В окружности проведены две хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке К, КС = 6 см, АК = 8 см, ВК + DK = 28 см. Найдите произведение ВК и DK.
ОТВЕТ: 192 см².

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

■ В2. В трапеции ABCD основания ВС и AD равны соответственно 6 см и 10 см. Диагональ АС, равная 32 см, пересекает диагональ BD в точке К. Найдите КС.
ОТВЕТ: 12 см.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

■ ВЗ. В параллелограмме ABCD АВ = 8 см, ВС = 12 см. Точки К и Е лежат соответственно на сторонах ВС и CD так, что СК = 3 см, СЕ = 2 см. Отрезок КЕ пересекает диагональ АС в точке Р. Найдите отношение АР к PC.
ОТВЕТ: 7 : 1.

■ С1. В треугольник АВС со сторонами АВ = 5 см, ВС = 8 см, АС = 9 см вписана окружность, касающаяся стороны АС в точке К. Найдите расстояние от точки К до точки М биссектрисы ВМ.
ОТВЕТ: 6/13 см.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ-2

■ С2. В окружности проведены хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке К, АК = 8 см, CК = 6 см. Площадь треугольника AKD равна 128 см². Найдите площадь треугольника СВК.
ОТВЕТ: S_CBK = 72 см².

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ-1

В треугольниках АКD и СКB: 1) ∠АКD равен ∠ВКС – как вертикальные углы при пересечении прямых АВ и СD; 2) ∠DAК равен ∠ВCК – как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу BD (следствие 1 теоремы о вписанных углах).
Отсюда △АКD ∼ △СКВ (по 1-му признаку подобия треугольников)
Коэффициент подобия k в них найдем отношением сторон, противолежащих равным углам:
k = CК : АК = 6/8 (или 3/4)
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия
S_АКD : S_СВК = k² = (3/4)² = 9/16.
Отсюда S_СВК = 9 * S_АКD / 16 = 9 * 128 / 16 = 1152 / 16 = 72 (см²)

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ-2

ОТВЕТЫ на Вариант 2

■ А1. Площадь равностороннего треугольника, высота которого равна 9 см, равна:
1) 13,5 см²; 2) 13,5√3 см²; 3) 6,75 см²; 4) 6,75√3 см².
ОТВЕТ: 4) 6,75√3 см².

■ А2. Биссектриса угла В параллелограмма ABCD делит сторону AD на отрезки АЕ = 7 см и ED = 4 см. Периметр параллелограмма равен:
1) 28 см; 2) 22 см; 3) 36 см; 4) 30 см.
ОТВЕТ: 3) 36 см.

■ А3. В равнобедренной трапеции ABCD высота, опущенная из вершины В на большее основание AD, равна 6 см и делит AD на отрезки, равные 3 см и 7 см. Площадь трапеции равна:
1) 84 см²; 2) 42 см²; 3) 21 см²; 4) 26 см².
ОТВЕТ: 2) 42 см².

■ А4. ABCD – квадрат со стороной 8 см. На сторонах АВ и CD отложены отрезки AM и КС так, что AM = RC = 6 см. Найдите периметр четырехугольника MBKD.
1) 24 см; 2) 32 см; 3) 28 см; 4) 36 см.
ОТВЕТ: 1) 24 см.

■ А5. В трапеции ABCD основание AD перпендикулярно боковой стороне АВ, угол D равен 60°, диагональ Л С перпендикулярна стороне CD, равной 6 см. Найдите AD.
1) 6 см; 2) 9 см; 3) 12 см; 4) 3 см.
ОТВЕТ: 3) 12 см.

■ В1. В окружности проведены две хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке Е, АЕ = 12 см, СЕ = 8 см, DE – BE = 3 см. Найдите произведение BE и DE.
ОТВЕТ: 54 см.

■ В2. В трапеции ABCD основания ВС и AD равны соответственно 8 см и 12 см. Диагональ BD, равная 25 см, пересекает диагональ АС в точке Е. Найдите BE.
ОТВЕТ: 10 см.

■ В3. В параллелограмме ABCD АВ = 6 см, ВС = 9 см. Точки К и Е лежат соответственно на сторонах ВС и CD так, что СК = 6 см, СЕ = 4 см. Отрезок КЕ пересекает диагональ АС в точке Р. Найдите отношение АР к PC.
ОТВЕТ: 2 : 1.

■ С1. В треугольник АВС со сторонами АВ = 7 см, ВС = 9 см, АС = 10 см вписана окружность, касающаяся стороны АС в точке Е. Найдите расстояние от точки Е до точки К биссектрисы ВК.
ОТВЕТ: 3/8 см.

■ С2. В окружности проведены хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке К, DK = 8 см, BК = 12 см. Площадь треугольника AKD равна 24 см². Найдите площадь треугольника СВК.
ОТВЕТ: S_CBK = 54 см².

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

В треугольниках АКD и СВК: 1) ∠АКD равен ∠ВКС — как вертикальные углы при пересечении прямых АВ и СD. 2) ∠АDК равен ∠СВК — как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу АС (следствие 1 теоремы о вписанных углах).
Тогда треугольники АКD и СВК подобны по двум углам.
Определим коэффициент подобия треугольников: k = DК / ВК = 8 / 12 = 2/3.
Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:
S_AKD / S_CBK = k² = (2/3)² = 4/9.
Отсюда S_CBK = 9 * S_AKD / 4 = 9 * 24 / 4 = 54 (см²).

Вы смотрели: Геометрия 8 класс Итоговый тест. Поурочное планирование по геометрии для 8 класса. УМК Атанасян (Просвещение). Урок 69. Итоговая контрольная работа. Итоговый тест + ОТВЕТЫ. Смотрите также:

• Итоговая контрольная работа за курс 8 класса с ответами
• Список всех контрольных по геометрии в 8 классе
• Список уроков Тематического планирования в 8 классе