Итоговая контрольная работа по геометрии за 8 класс с ответами (единый уровень сложности, 2 варианта). УМК Атанасян и др. (Просвещение). Поурочное планирование по геометрии для 8 класса. ПОВТОРЕНИЕ. Урок 69. Геометрия 8 класс Контрольная № 6 (итоговая за год). Смотрите также:
Цель: проверить знания, умения и навыки учащихся по теме. Тип урока: урок контроля, оценки и коррекции знаний.
Контрольная № 6. Вариант 1 (задания)
Контрольная № 6. Вариант 2 (задания)
ОТВЕТЫ и РЕШЕНИЯ на Вариант 1
№ 1. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10 см, а его основание 12 см. Найдите его площадь.
ОТВЕТ: 48см2.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
№ 2. Биссектриса угла А параллелограмма ABCD делит сторону ВС на отрезки ВК и КС, равные соответственно 8 см и 4 см. Найдите периметр параллелограмма.
ОТВЕТ: 40 см.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
№ 3. В трапеции ABCD углы А и В прямые. Диагональ АС – биссектриса угла А и равна 6 см. Найдите площадь трапеции, если угол CDA равен 60°.
Правильный ОТВЕТ: 18 + 3√3см2. Ответ от автора пособия: 18 + 3√2 см2. Мы не нашли подтверждение данного ответа, поэтому считаем, что допущена опечатка. Если у вас есть решение, подтверждающее именно такой ответ, то напишите его в комментариях ниже.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
AC биссектриса, значит ∠BAC = ∠CAD = 45°
В ΔBAC ∠B прямой, ∠BAC=45°, значит ∠BCA тоже 45°. Значит ΔABC равнобедренный: AB = BC = x
По теореме Пифагора: AC² = BA² + BC²
36 = x² + x² ⇒ 2x² = 36 ⇒ x² = 18 ⇒ x = 3√2
Следовательно, AB = BC = 3√2.
Из точки C опустим перпендикуляр. CH перпендикулярен AD, CH = AB = 3√2
Из ΔCHD ⇒ tg ∠HDC = CH / HD.
tg 60° = 3√2 / HD ⇒ HD = 3√2 / tg 60° = 3√2 / √3 = 3√6 / 3 = √6.
AD = BC + HD = 3√2 + √6.
S = (BC + AD) • CH / 2 = ((3√2 + 3√2 + √6) • 3√2) / 2 =
= ((6√2 + √6) • 3√2) / 2 = (18 • 2 + 3√12) / 2 = (18 • 2 + 3 • 2√3) / 2 = 18 + 3√3. Ответ: 18 + 3√3.
№ 4. В окружности проведены две хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке К, КС = 6 см, АК = 8 см, ВК + DK = 28 см. Найдите длины ВК и DK.
ОТВЕТ: 16 см и 12 см.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть краткое РЕШЕНИЕ
№ 5. Квадрат со стороной 8 см описан около окружности. Найдите площадь прямоугольного треугольника с острым углом 30°, вписанного в данную окружность.
ОТВЕТ: 8√3 см2. Краткое решение. Диаметр окружности равен стороне квадрата, то есть D = 8. Если в эту окружность вписан прямоугольный треугольник с углом 30 градусов, то гипотенуза у него — диаметр D = 8, один из катетов в 2 раза меньше, то есть 4, а второй катет находится по теореме Пифагора √[8^2 — 4^2] = 4√3.
Площадь треугольника равна (4 • 4 • √3) / 2 = 8√3 (см2).
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть подробное РЕШЕНИЕ
Геометрия 8 класс Контрольная № 6
ОТВЕТЫ и РЕШЕНИЯ на Вариант 2
№ 1. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 13 см, а его медиана, проведенная к основанию, равна 5 см. Найдите площадь и периметр треугольника.
ОТВЕТ: площадь 60см2, периметр 50 см.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
АВ и ВС — боковые стороны. ВН — высота. АВ = ВС = 13 см. ВН = 5 см.
В прямоугольном треугольнике НВС по теореме Пифагора НС = √[BC2 – BH2] = √[132 – 52] = 12 см.
Медиана в равнобедренном треугольнике является также высотой, которая делит противоположную сторону на равные отрезки ==> АС = 2НС = 24 см.
Периметр = АВ + ВС + АС = 13 + 13 + 24 = 50 см.
Площадь = 1/2 • ВН • АС = 1/2 • 5 • 24 = 60 см2.
№ 2. Диагонали ромба равны 8 см и 6 см. Найдите периметр и площадь ромба.
ОТВЕТ: периметр 24 см и площадь 20см2. Краткое решение. S = 1/2 * 6 * 8 = 24 см². Чтобы найти периметр, надо найти сторону (по т.Пифагора): √[(6/2)²+(8/2)²] = 5 см. Р = 5 * 4 = 20 см.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть подробное РЕШЕНИЕ
№ 3. В равнобедренной трапеции ABCD диагональ АС перпендикулярна боковой стороне CD. Найдите площадь трапеции, если угол CAD равен 30°, AD = 12 см.
ОТВЕТ: 27√3см2.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
№ 4. В окружности проведены две хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке М, МВ = 10 см, AM = 12 см, DC = 23 см. Найдите длины СМ и DM.
ОТВЕТ: 8 см и 15 см. Примечание к ответу. • Если CM = 15 см, то DM = 23−15 = 8 см. • Если CM = 8 см, то DM = 23−8 = 15 см. Оба варианта верны, так как CM и DM — это просто обозначения отрезков, и их можно поменять местами.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ-1
Из теоремы (Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды) получаем: АМ * МВ = СМ * СD. Подставляем и находим: 12 * 10 = СМ * СD ==> СМ * СD = 120. (1)
Так как DС = 23, то мы DC можем представить как CM + DM = 23. Отсюда DM = 23 — CM. (2)
Теперь второе (2) выражение подставляем в первое (1): CM * (23 — CM) = 120.
120 = 23CM — CM² ==> CM² — 23CM + 120 = 0
Решая квадратное уравнение мы получаем: CM = 15 см, а DM = 8 см. Как вариант, в начале решения СМ можно было обозначить как х, а DM = 23 — х. Как это решать смотрите в следующем спойлере.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ-2
№ 5. Прямоугольный треугольник с катетом 4 см вписан в окружность. Найдите площадь правильного шестиугольника, описанного около данной окружности.
Правильный ОТВЕТ: 16√3см2. Примечание к заданию. Скорее всего автор пособия или издательство допустили тут очередную опечатку! Для решении данного задания нужно знать 2-й катет или считать треугольник равнобедренным. Ответ от автора пособия:8√3 см2. Мы не нашли подтверждение данного ответа, поэтому считаем, что допущена опечатка. Если у вас есть решение, подтверждающее именно такой ответ, то напишите его в комментариях ниже.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ-1
Дано: ΔАВС вписан в окружность, ∠С = 90°, СА = СВ = 4 см, правильный шестиугольник описан около данной окружности. Найти: S (правильного шестиугольника). Решение: ΔАВС — прямоугольный (∠С = 90°), значит опирается на дугу в 180°, следовательно АВ — диаметр.
Найдем гипотенузу АВ по т. Пифагора AB = √[42 + 42] = 4√2 (см).
Поэтому r = AB/2 = 2√2.
Шестиугольник описан около данной окружности, значит для него r является радиусом вписанной окружности.
r = (a√3)/2 ⇒ а = 2r/√3 = (2•2√2)/√3 = 4√2/√3 (см).
Площадь шестиугольника правильного через сторону и радиус вписанной окружности: S = 3aR.
S = 3(4√2/√3)(2√2) = √3•4•2•2 = 16√3 (см2)
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ-2
ВНИМАНИЕ!
Для всех. кто считает, что данная итоговая работа не подходит для аттестации знаний за 8 класс по геометрии, так как содержит опечатки, требования знаний, которые ещё не проходили, отсутствие проверки знаний по актуальной версии учебника геометрии, то мы для Вас сделали подборку разных ИТОГОВЫХ контрольных за курс 8 класса по геометрии с ответами от популярных авторов учебных пособий. Мы нашли 11 учебных пособий, в которых есть от 2 до 6 вариантов работ, от 3 до 10 заданий. Ссылка тут:
В-1.
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10 см, а его основание 12 см. Найдите его площадь.
Биссектриса угла А параллелограмма ABCD делит сторону ВС на отрезки ВК и КС, равные соответственно 8 см и 4 см. Найдите периметр параллелограмма.
В трапеции ABCD углы А и В прямые. Диагональ АС — биссектриса угла А и равна 6 см. Найдите площадь трапеции, если угол CDA равен 60°.
В окружности проведены две хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке К, КС = 6 см, АК = 8 см, ВК + DK = 28 см. Найдите длины ВК и DK.
Квадрат со стороной 8 см описан около окружности. Найдите площадь прямоугольного треугольника с острым углом 30°, вписанного в данную окружность.
КР-6, В-2, задание 5. Данное задание для 9 класса. В 8 классе не проходят правильные многоугольники и формулу вычисления стороны правильного многоугольника через радиус вписанной в него окружности. Это изучают в 9 классе, глава XII, параграф 1 учебника.
Еще раз обращаю Ваше внимание на задачу 5 второго варианта. Первая половина решения — это 8 класс, а вторая — 9 класс. Как восьмикласснику решить эту задачу?
Дано: ΔАВС вписан в окружность, ∠С = 90°, СА = СВ = 4 см, правильный шестиугольник описан около данной окружности.
Найти: S (правильного шестиугольника).
Решение: ΔАВС — прямоугольный (∠С = 90°), значит опирается на дугу в 180°, следовательно АВ — диаметр.
Найдем гипотенузу АВ по т. Пифагора AB = √[42 + 42] = 4√2 (см).
Поэтому r = AB/2 = 2√2.
А дальше решение по программе 9 класса, в 8 классе это не изучали:
Шестиугольник описан около данной окружности, значит для него r является радиусом вписанной окружности.
r = (a√3)/2 ⇒ а = 2r/√3 = (2•2√2)/√3 = 4√2/√3 (см).
Площадь шестиугольника правильного через сторону и радиус вписанной окружности: S = 3aR.
S = 3(4√2/√3)(2√2) = √3•4•2•2 = 16√3 (см2)
Опубликованы задания из печатного пособия. Связи с автором у нас нет. Добавили ссылку на обзор ещё 10 учебных пособий с итоговыми контрольными по геометрии зв 8 класс. Возможно там будут варианты получше.
В первом задании 1 варианта ответ 8, т.к биссектриса так же и медиана, тогда она делит их на две части по 6, и по теореме пифагора 10 в квадрате — 6 в квадрате = 64
Корень равен 8.
21 Комментарии
В-1.
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10 см, а его основание 12 см. Найдите его площадь.
Биссектриса угла А параллелограмма ABCD делит сторону ВС на отрезки ВК и КС, равные соответственно 8 см и 4 см. Найдите периметр параллелограмма.
В трапеции ABCD углы А и В прямые. Диагональ АС — биссектриса угла А и равна 6 см. Найдите площадь трапеции, если угол CDA равен 60°.
В окружности проведены две хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке К, КС = 6 см, АК = 8 см, ВК + DK = 28 см. Найдите длины ВК и DK.
Квадрат со стороной 8 см описан около окружности. Найдите площадь прямоугольного треугольника с острым углом 30°, вписанного в данную окружность.
почему в 3 задании 1 варианта ответ 18 + 3√2см2 а не 18 + 3√3см2
Перепроверили. Опечатка в печатном пособии. Добавлено решение этой задачи.
Где вы её нашли.
можете объясниь 1 вариант 4 задание откуда (3/4 )?
8*BK = 6*DK
BK = (6*DK)/8 = (6/8)*DK = (3/4)*DK
2вариане 1 задание ответ 50см P и 60см2 S
Спасибо, добавлено к ответу.
а можете объяснить в 1 варианте номер 2 как у нас получилось 40?
ВС = ВК + КС = 8 + 4 = 12 см.
Периметр = 2·(ВС+АВ) = 2·(12+8) = 2·20 = 40 см.
Добавлено решение в тетради.
Интересно. У меня получилось 18 + 6 корень из 3
Здравствуйте а где ответы на задание 1 ,2 В-1 и 1,2,3,4 В-2
такой же вопрос
Меня интересует почему в 1первого варианта 48 см в квадратных, а не 96см?
Р = 10+10+12 = 32.
S = 1/2аh.
h = 8 (находим по теореме Пифагора)
S = 1/2*12*8 = 48 (см^2)
КР-6, В-2, задание 5. Данное задание для 9 класса. В 8 классе не проходят правильные многоугольники и формулу вычисления стороны правильного многоугольника через радиус вписанной в него окружности. Это изучают в 9 классе, глава XII, параграф 1 учебника.
Еще раз обращаю Ваше внимание на задачу 5 второго варианта. Первая половина решения — это 8 класс, а вторая — 9 класс. Как восьмикласснику решить эту задачу?
Дано: ΔАВС вписан в окружность, ∠С = 90°, СА = СВ = 4 см, правильный шестиугольник описан около данной окружности.
Найти: S (правильного шестиугольника).
Решение: ΔАВС — прямоугольный (∠С = 90°), значит опирается на дугу в 180°, следовательно АВ — диаметр.
Найдем гипотенузу АВ по т. Пифагора AB = √[42 + 42] = 4√2 (см).
Поэтому r = AB/2 = 2√2.
А дальше решение по программе 9 класса, в 8 классе это не изучали:
Шестиугольник описан около данной окружности, значит для него r является радиусом вписанной окружности.
r = (a√3)/2 ⇒ а = 2r/√3 = (2•2√2)/√3 = 4√2/√3 (см).
Площадь шестиугольника правильного через сторону и радиус вписанной окружности: S = 3aR.
S = 3(4√2/√3)(2√2) = √3•4•2•2 = 16√3 (см2)
Опубликованы задания из печатного пособия. Связи с автором у нас нет. Добавили ссылку на обзор ещё 10 учебных пособий с итоговыми контрольными по геометрии зв 8 класс. Возможно там будут варианты получше.
В первом задании 1 варианта ответ 8, т.к биссектриса так же и медиана, тогда она делит их на две части по 6, и по теореме пифагора 10 в квадрате — 6 в квадрате = 64
Корень равен 8.
Нашли высоту треугольника, равную 8, а дальше по формуле находим S треугольника.
SΔ=1/2*12*8=1/2*96=48см²
Ответ: SΔ=48см²
А можно ответ 3 задания 2 варианта