Геометрия 9 Атанасян Урок 3. Тема: §2. Сложение и вычитание векторов. Пункты: 87–88 «Сложение векторов, правило треугольника для сложения векторов. Законы сложения. Правило параллелограмма». Ориентировано на работу с федеральным учебником: «Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. 7-9 классы. Просвещение, 2023». Задания даны с избытком и могут быть использованы на 2 урока!
Вернуться в Поурочное планирование для 9 класса
Геометрия 9 класс. Урок 3.
Атанасян (Просвещение)
Основные дидактические цели урока: ввести понятия суммы двух векторов на примере правила треугольника; рассмотреть законы сложения векторов и правило параллелограмма; научить учащихся строить сумму двух данных векторов, используя правила треугольника и параллелограмма; ввести понятие суммы двух и более векторов; научить учащихся строить сумму нескольких векторов, используя правило многоугольника.
I. Организационный момент.
Геометрия 9 Атанасян Урок 3. Мотивация к учебной деятельности.
II. Проверка домашнего задания
(Учитель проверяет решение домашнего задания. Один ученик заранее записывает решение на доске.)
III. Определение темы урока
(Учитель рисует векторы а, b и точку А на карте какой–либо местности. Ученики решают задачу.)
Задача. Из пункта А выехал мотоциклист со скоростью, равной длине вектора а, и в направлении, совпадающем с направлением вектора а. Через час он свернул в направлении, совпадающем с направлением вектора b, и со скоростью, равной длине вектора b. Определите расположение мотоциклиста на местности через 2 ч пути. (Учитель определяет тему и цель урока.)
IV. Работа по теме «сумма двух векторов»
Ввести понятие суммы двух векторов (правило треугольника). Законы сложения векторов: переместительный и сочетательный закон. Сложение векторов по правилу параллелограмма.
1) Работа в рабочих тетрадях 8 класса (стр.54-56). Решить устно задачу № 115. Используя правило треугольника, найдите сумму векторов: a) РМ и МТ; б) СН и НС; в) АВ и 0; г) 0 и СЕ.
Решение:
a) РМ + МТ = РТ;
б) СН + НС = СС = 0;
в) АВ + 0 = АВ + ВВ = АВ;
г) 0 + СЕ = СС + СЕ = СЕ.
Ответ: а) РТ; б) 0; в) АВ, г) СЕ.
2) Самостоятельное решение задач. Решить задачу № 116 с последующим обсуждением. Используя правило треугольника, постройте векторы ОА = а + b и СВ = а + b. Определите вид четырехугольника ОАВС.
Решение: Отложим от точки О вектор ОМ = а и от точки М – вектор МА = b (рис. 9.16), тогда ОА = ОМ + МА.
Аналогично строим СК = а и КВ = b, тогда СВ = СК + КВ. Так как ОА = а + b и СВ = а + b, то ОА = СВ. Следовательно, ОА || СВ и ОА = СВ, поэтому четырехугольник ОАВС – параллелограмм.
Ответ: Четырехугольник ОАВС – параллелограмм.
3) Задача № 951 (б, в) из учебника.
б) |АВ| + |BC| = 6 + 8 = 14.
|АВ + BC| =|AC| = АС = 10.
По теореме Пифагора АС = √[АВ2 + АС2].
в) |BA| + |BC| = 6 + 8 = 14.
По правилу параллелограмма ВА + ВС = BD, где ABCD – параллелограмм (рис. 9.17). В параллелограмме ABCD – ∠B = 90°, значит, ABCD – прямоугольник, тогда диагонали АС и BD данного прямоугольника равны, т. е. BD= АС =10. Поэтому |BA + BC| = |BD| = 10.
Ответ: б) |AB|+|BС| = 14; |AB + BC| = 10; в) |BA| + |BС| = 14; |BA + BC| = 10.
4) Задача № 117 из рабочей тетради 8 класса.
Используя правило параллелограмма, построим векторы ОР = х + у и СТ = у + х. Докажем, что ОС = РТ.
Решение: Отложим от точки О векторы ОА = х и ОВ = у (рис. 9.18). Построим точку Р так, чтобы четырехугольник ОАРВ был параллелограммом, тогда по правилу параллелограмма ОР = х + у. Отложим от точки С векторы СМ = у и СЕ = х. Построим параллелограмм СМТЕ. Тогда по правилу параллелограмма СТ = у + х. Так как ОР = х + у, СТ = у + х и х + у = у + х (переместительный закон сложения векторов), то ОР = СТ. Следовательно, четырехугольник ОРТС – параллелограмм, а потому ОС = РТ, что и требовалось доказать.
5) Индивидуальная работа по карточкам (дифференцированная работа).
(Три ученика получают карточки разного уровня сложности и работают самостоятельно у доски.)
I уровень сложности.
1) Постройте вектор с = а + b (рис. 9.19), пользуясь правилом: а) треугольника; б) параллелограмма.
2) Упростите выражение: а) АВ + ВС; б) MN + KE + NK.
3) Найдите вектор х из условия: а) MK + х = ME; б) x + BC = DC.
II уровень сложности.
1) Отметьте точку М и постройте вектор MN, равный а + b, используя правило параллелограмма, и вектор МК, равный b + с, используя правило треугольника (рис. 9.20).
2) Упростите выражение: а) АВ + BE + EK; б) АР + МВ + РМ + ВЕ.
3) ABCD – параллелограмм. Докажите, что AM + DB + MD + ВС = АВ + AD.
III уровень сложности.
1) Дано: а, b, с (рис. 9.21). Постройте сумму векторов (а + b) + с.
2) Упростите выражение PQ + EF + АЕ + FK + QA.
3) Найдите вектор x из условия КМ + RN + MQ + х + NK = RQ.
4) Дано: ABCD и DCFE – параллелограммы (рис. 9.22). Найдите сумму векторов АВ + AD + СВ + FС + FE + CD.
Геометрия 9 Атанасян Урок 3
V. Работа по теме «сумма более двух векторов»
Работа в группах. (Учитель делит класс на группы. Каждая группа получает задание. По окончании работы представители групп объясняют решение, в обсуждении решения участвует весь класс.)
Задание. Постройте сумму векторов a, b, с, d, изображенных на рис. 9.23.
Вывод. Чтобы построить сумму нескольких векторов, нужно построить сумму двух первых векторов, к полученному вектору прибавить третий вектор и т. д. Это правило сложения векторов называется правилом многоугольника.
1). Работа в рабочих тетрадях (8 класс). Решить задачу № 121. Пользуясь правилом многоугольника и законами сложения векторов, упростите выражение ВН + НК + ТР + МТ + КМ.
Решение: ВН + NK + ТР + МТ + КМ = BK + ТР + MТ + КМ = ВК + КМ + МТ + ТР = ВМ + МТ + ТР = ВТ + ТР = ВР.
Ответ: ВР.
2). Разобрать решение задачи. ABCD и ADEF – параллелограммы. Укажите такой вектор а, что CD + АВ + AF + AD + а = AF.
Решение: CD + AB + AF + AD + а = АВ + AD + CD + AF + а (рис. 9.24). Так как ADEF – параллелограмм, то AF = DE. Тогда AB + AD + CD + AF + a = (АВ + ВС + CD + DE) + a = АE + а. По условию задачи CD + АВ + AF + AD + а = АF, т. е. АЕ + а = АF, следовательно, а = EF, так как АЕ + EF = AF.
Ответ: а = EF.
3). Работа в парах. Решить задачу с последующим обсуждением.
Дано: ABCD – ромб, CDEF – прямоугольник. а) Упростите выражение АВ + AD + CD + CF + ЕF. б) Найдите вектор b такой, что AD + АВ + DE + CD + FС + b = AC.
Решение:
а) Так как ABCD – ромб, CDEF – прямоугольник, то AD = ВС, СF = DE, тогда AB + AD + CD + CF + EF = AB + BC + CD + DE + EF = AF.
б) Так как ABCD – ромб, CDEF – прямоугольник, то АВ = DC, DE = CF, CD = FЕ, FС = ED, тогда AD + АВ + DE + CD + FС + b = (AD + DC + CF + FE + ED) + b = AD + b = AC. Так как АС = AD + DC, то b = DC.
Ответ: a) AF, б) DC.
4). Работа в рабочих тетрадях 8 класса. Решить самостоятельно.
Задача № 119. Дано: В трапеции ABCD AD || ВС, ∠ABC = 120°, AD = 6 см, АВ = 3 см (рис. 9.25). Найти: |BA + AD|.
Решение: По правилу треугольника BA + AD = BD, следовательно, |ВА + АD| = |ВD|. Длина вектора BD – это длина отрезка BD. Так как AD || ВС, то ∠BAD = 180° – ∠ABC = 60°. Проведем высоту ВН трапеции. В прямоугольном треугольнике АВН имеем:
ВН = АВ • sin ∠BAD = 3 • √3/2 = 3√3/2 см.
АН = АВ • cos ∠ABD = 3 • 1/2 = 1,5 см.
Из треугольника BHD по теореме Пифагора получаем ВD2 = ВН2 + (AD + АН)2 = 27/4 + 9/4 = 9 см2, откуда BD = 3 см.
Ответ: 3 см.
5). Работа в рабочих тетрадях 8 класса. Решить самостоятельно.
Задача № 120. Пользуясь правилами и законами сложения векторов, упростите выражение МС + AM + СТ.
Ответ: АТ.
VI. Рефлексия учебной деятельности
- В чем заключается правило сложения векторов (правило треугольника)?
- Сформулируйте законы сложения векторов.
- В чем заключается правило параллелограмма сложения двух неколлинеарных векторов?
- В чем заключается правило многоугольника сложения векторов?
Домашнее задание
- П. 87-89 (учебник, с.230-233), вопросы 7–11 (учебник, с. 244).
- Решить задачу № 117, 118 (рабочая тетрадь, 8 класс).
- Решить задачи № 941, 943, 947 (б), 948, 949, 951 (б, в) из учебника.
- Решить дополнительные задачи:
Задача 1. Даны два параллелограмма MNKP и M1NK1P. Докажите, что ММ1 = КК1.
Задача 2. В треугольнике АВС М – точка пересечения медиан. Докажите, что МА + МВ + MC = 0.
Домашнее задание дано с избытком и может быть разделено на 2 урока.
Вы смотрели: Геометрия 9 Атанасян Урок 3. Тема: §2. Сложение и вычитание векторов. Пункты: 87–88. Ориентировано на работу с федеральным учебником: «Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. 7-9 классы. Просвещение, 2023».