Геометрия 9 Атанасян Урок 4 «Сумма нескольких векторов». Учебник УМК Атанасян 7-9 классы с 2023 года — §2. Сложение и вычитание векторов. Пункты: 87–88 «Сложение  векторов, правило треугольника для сложения векторов. Законы сложения. Правило параллелограмма».
Вернуться в Поурочное планирование для 9 класса

Геометрия 9 класс. Урок 4.
Атанасян (Просвещение)

Тема урока: Сумма нескольких векторов.
Основные дидактические цели урока: ввести понятие суммы двух и более векторов; научить учащихся строить сумму нескольких векторов, используя правило многоугольника.

I. Организационный момент.

Геометрия 9 Атанасян Урок 4. Мотивация к учебной деятельности.

II. Проверка домашнего задания

(Учитель проверяет решение задач № 951 (б, в). Два ученика заранее записывают решение на доске.)

№ 951 б) Дано: $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ — векторы, причём $\angle ABC = 90^\circ$, $|\vec{AB}| = 6$, $|\vec{BC}| = 8$.
• Сумма длин векторов: $|\vec{AB}| + |\vec{BC}| = 6 + 8 = 14$.
• Длина суммы векторов: $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$ (по правилу треугольника).
Тогда $|\vec{AB} + \vec{BC}| = |\vec{AC}|$.
По теореме Пифагора:
$$
AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10.
$$
Значит, $|\vec{AB} + \vec{BC}| = 10$.

№ 951 в) Дано: те же длины и угол, но рассматриваются векторы $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$.
• Сумма длин векторов: $|\vec{BA}| + |\vec{BC}| = 6 + 8 = 14$ (так как $|\vec{BA}| = |\vec{AB}| = 6$).
• Для нахождения $|\vec{BA} + \vec{BC}|$ используем правило параллелограмма.
Отложим от точки $B$ векторы $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$. Построим параллелограмм $ABCD$, где $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$ — смежные стороны.
Так как $\angle ABC = 90^\circ$, параллелограмм $ABCD$ — прямоугольник.
Тогда диагональ $BD$ — это вектор $\vec{BA} + \vec{BC}$, и её длина равна длине диагонали $AC$:
$ BD = AC = 10. $
Следовательно, $|\vec{BA} + \vec{BC}| = |\vec{BD}| = 10$.

Ответы:
б) $|\vec{AB}| + |\vec{BC}| = 14$; $|\vec{AB} + \vec{BC}| = 10$;
в) $|\vec{BA}| + |\vec{BC}| = 14$; $|\vec{BA} + \vec{BC}| = 10$.

III. Актуализация знаний учащихся

№ 1. Фронтальная работа с классом.

1) Упростите выражение
а) $\vec{AB} + \vec{BC}$
По правилу треугольника: конец первого вектора совпадает с началом второго, сумма — вектор из начала первого в конец второго.
$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.
б) $(\vec{MN} + \vec{NK}) + \vec{KE}$
Сначала упростим сумму в скобках: $\vec{MN} + \vec{NK} = \vec{MK}$.
Затем: $\vec{MK} + \vec{KE} = \vec{ME}$.
Итого: $(\vec{MN} + \vec{NK}) + \vec{KE} = \vec{ME}$.
в) $\vec{MN} + \vec{XY} + \vec{NX}$
Перегруппируем слагаемые, чтобы использовать правило треугольника: $\vec{MN} + \vec{NX} + \vec{XY}$.
$\vec{MN} + \vec{NX} = \vec{MX}$.
$\vec{MX} + \vec{XY} = \vec{MY}$.
Итого: $\vec{MN} + \vec{XY} + \vec{NX} = \vec{MY}$.

2) Найдите вектор $\vec{x}$ из условия
а) $\vec{AB} + \vec{x} = \vec{AK}$
Выразим $\vec{x}$: $\vec{x} = \vec{AK} \mathbin{-} \vec{AB}$.
По правилу вычитания векторов: $\vec{AK} \mathbin{-} \vec{AB} = \vec{BK}$.
Итого: $\vec{x} = \vec{BK}$.
б) $(\vec{PE} + \vec{EF}) + \vec{x} = \vec{PA}$
Упростим левую часть: $\vec{PE} + \vec{EF} = \vec{PF}$.
Уравнение: $\vec{PF} + \vec{x} = \vec{PA}$.
Выразим $\vec{x}$: $\vec{x} = \vec{PA} \mathbin{-} \vec{PF} = \vec{FA}$.
Итого: $\vec{x} = \vec{FA}$.
в) $\vec{MN} + \vec{x} + \vec{NA} = \vec{ME} + \vec{EP}$
Упростим правую часть: $\vec{ME} + \vec{EP} = \vec{MP}$.
Левая часть: $\vec{MN} + \vec{NA} + \vec{x} = \vec{MA} + \vec{x}$.
Уравнение: $\vec{MA} + \vec{x} = \vec{MP}$.
Выразим $\vec{x}$: $\vec{x} = \vec{MP} \mathbin{-} \vec{MA} = \vec{AP}$.
Итого: $\vec{x} = \vec{AP}$.

3) Среди данных сумм найдите равные
Рассмотрим каждую сумму:
• $\vec{EC} + \vec{AB} + \vec{CA} + \vec{BK}$:
$\vec{AB} + \vec{CA} = \vec{CB}$; $\vec{EC} + \vec{CB} = \vec{EB}$; $\vec{EB} + \vec{BK} = \vec{EK}$.
Итого: $\vec{EK}$.
• $\vec{AB} + \vec{DA}$:
Перегруппируем: $\vec{DA} + \vec{AB} = \vec{DB}$.
Итого: $\vec{DB}$.
• $\vec{EC} + \vec{AB} + \vec{CA} + \vec{BK}$ (повтор):
Как выше, $\vec{EK}$.
• $\vec{DM} + \vec{KB} + \vec{MK}$:
$\vec{DM} + \vec{MK} = \vec{DK}$; $\vec{DK} + \vec{KB} = \vec{DB}$.
Итого: $\vec{DB}$.
• $\vec{CE} + \vec{KD} + \vec{EK}$:
$\vec{CE} + \vec{EK} = \vec{CK}$; $\vec{CK} + \vec{KD} = \vec{CD}$.
Итого: $\vec{CD}$.
• $\vec{MK} + \vec{NM} + \vec{EN}$:
$\vec{NM} + \vec{MK} = \vec{NK}$; $\vec{EN} + \vec{NK} = \vec{EK}$.
Итого: $\vec{EK}$.
Равные суммы:
• $\vec{EC} + \vec{AB} + \vec{CA} + \vec{BK}$ и $\vec{MK} + \vec{NM} + \vec{EN}$ (обе равны $\vec{EK}$);
• $\vec{AB} + \vec{DA}$ и $\vec{DM} + \vec{KB} + \vec{MK}$ (обе равны $\vec{DB}$).

№ 2. Индивидуальная работа по карточкам — дифференцированная работа

(Три ученика получают карточки разного уровня сложности и работают самостоятельно у доски).

I уровень сложности.
1) Постройте вектор с = а + b (рис. 9.19), пользуясь правилом: а) треугольника; б) параллелограмма.

2) Упростите выражение: а) АВ + ВС; б) MN + KE + NK.
3) Найдите вектор х из условия: а) MK + х = ME; б) x + BC = DC.

II уровень сложности.
1) Отметьте точку М и постройте вектор MN, равный а + b, используя правило параллелограмма, и вектор МК, равный b + с, используя правило треугольника (рис. 9.20).
2) Упростите выражение: а) АВ + BE + EK; б) АР + МВ + РМ + ВЕ.
3) ABCD – параллелограмм. Докажите, что AM + DB + MD + ВС = АВ + AD.

III уровень сложности.
1) Дано: а, b, с (рис. 9.21). Постройте сумму векторов (а + b) + с.
2) Упростите выражение PQ + EF + АЕ + FK + QA.
3) Найдите вектор x из условия КМ + RN + MQ + х + NK = RQ.
4) Дано: ABCD и DCFE – параллелограммы (рис. 9.22). Найдите сумму векторов АВ + AD + СВ + FС + FE + CD.

Геометрия 9 Атанасян Урок 4

ОЖИДАЕМЫЕ РЕШЕНИЯ.

I уровень сложности
1) Постройте вектор $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$
а) Правило треугольника: отложите $\vec{a}$, затем от его конца отложите $\vec{b}$. Вектор $\vec{c}$ — из начала $\vec{a}$ в конец $\vec{b}$.
б) Правило параллелограмма: отложите $\vec{a}$ и $\vec{b}$ из одной точки, достройте параллелограмм. Диагональ из общей точки — вектор $\vec{c}$.
2) Упростите выражение
а) $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.
б) $\vec{MN} + \vec{KE} + \vec{NK}$: перегруппируем: $\vec{MN} + \vec{NK} + \vec{KE} = \vec{MK} + \vec{KE} = \vec{ME}$.
3) Найдите вектор $\vec{x}$
а) $\vec{MK} + \vec{x} = \vec{ME}$ → $\vec{x} = \vec{ME} \mathbin{-} \vec{MK} = \vec{KE}$.
б) $\vec{x} + \vec{BC} = \vec{DC}$ → $\vec{x} = \vec{DC} \mathbin{-} \vec{BC} = \vec{DC} + \vec{CB} = \vec{DB}$.

II уровень сложности
1) Постройте векторы
• $\vec{MN} = \vec{a} + \vec{b}$ по правилу параллелограмма: из точки $M$ отложите $\vec{a}$ и $\vec{b}$, достройте параллелограмм, диагональ — $\vec{MN}$.
• $\vec{MK} = \vec{b} + \vec{c}$ по правилу треугольника: из $M$ отложите $\vec{b}$, из его конца — $\vec{c}$, $\vec{MK}$ — из $M$ в конец $\vec{c}$.
2) Упростите выражение
а) $\vec{AB} + \vec{BE} + \vec{EK} = \vec{AE} + \vec{EK} = \vec{AK}$.
б) $\vec{AP} + \vec{MB} + \vec{PM} + \vec{BE}$: перегруппируем: $\vec{AP} + \vec{PM} + \vec{MB} + \vec{BE} = \vec{AM} + \vec{MB} + \vec{BE} = \vec{AB} + \vec{BE} = \vec{AE}$.
3) Докажите, что $\vec{AM} + \vec{DB} + \vec{MD} + \vec{BC} = \vec{AB} + \vec{AD}$
Преобразуем левую часть:
$\vec{AM} + \vec{MD} = \vec{AD}$; $\vec{DB} + \vec{BC} = \vec{DC}$.
Левая часть: $\vec{AD} + \vec{DC} = \vec{AC}$.
Правая часть: $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$ (по правилу параллелограмма в параллелограмме $ABCD$).
Равенство доказано: $\vec{AC} = \vec{AC}$.

III уровень сложности
1) Постройте сумму векторов $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c}$
Сначала постройте $\vec{a} + \vec{b}$ (по правилу треугольника или параллелограмма), затем к результату прибавьте $\vec{c}$ по правилу треугольника.
2) Упростите выражение $\vec{PQ} + \vec{EF} + \vec{AE} + \vec{FK} + \vec{QA}$
Перегруппируем: $\vec{PQ} + \vec{QA} + \vec{AE} + \vec{EF} + \vec{FK} = \vec{PA} + \vec{AE} + \vec{EF} + \vec{FK} = \vec{PE} + \vec{EF} + \vec{FK} = \vec{PF} + \vec{FK} = \vec{PK}$.
3) Найдите вектор $\vec{x}$ из условия $\vec{KM} + \vec{RN} + \vec{MQ} + \vec{x} + \vec{NK} = \vec{RQ}$
Упростим левую часть: $\vec{KM} + \vec{MQ} = \vec{KQ}$; $\vec{KQ} + \vec{NK} = \vec{NQ} + \vec{KN}$ (неудобно).
Лучше: $\vec{KM} + \vec{MQ} = \vec{KQ}$; $\vec{KQ} + \vec{NK} = \vec{NQ} + \vec{KN}$ — перегруппируем иначе.
$\vec{KM} + \vec{MQ} = \vec{KQ}$; $\vec{KQ} + \vec{NK} = \vec{NQ} + \vec{KN}$ — ошибка.
Правильно: $\vec{KM} + \vec{MQ} = \vec{KQ}$; $\vec{KQ} + \vec{NK} = \vec{NK} + \vec{KQ} = \vec{NQ}$.
Теперь: $\vec{NQ} + \vec{RN} + \vec{x} = \vec{RQ}$.
$\vec{RN} + \vec{NQ} = \vec{RQ}$.
Уравнение: $\vec{RQ} + \vec{x} = \vec{RQ}$ → $\vec{x} = \vec{0}$.
4) Дано: $ABCD$ и $DCFE$ — параллелограммы. Найдите сумму векторов $\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{CB} + \vec{FC} + \vec{FE} + \vec{CD}$
В параллелограмме $ABCD$: $\vec{AB} = \vec{DC}$, $\vec{AD} = \vec{BC}$.
В параллелограмме $DCFE$: $\vec{DC} = \vec{FE}$, $\vec{FC} = \vec{ED}$.
Подставим:
$\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{CB} + \vec{FC} + \vec{FE} + \vec{CD} = \vec{DC} + \vec{BC} + (-\vec{BC}) + \vec{ED} + \vec{DC} + (-\vec{DC}) = \vec{DC} + \vec{ED} = \vec{EC}$.
Итого: $\vec{EC}$.

Геометрия 9 Атанасян Урок 4

IV. Изучение нового материала

Чтобы сложить несколько векторов, не обязательно складывать их попарно — можно применить правило многоугольника. Суть его проще показать на рисунках из учебника.

Рис. 291. Берём произвольную точку \(A\) и откладываем от неё первый вектор \(\vec{AB} = \vec{a}\). От конца этого вектора (точки \(B\)) откладываем второй вектор \(\vec{BC} = \vec{b}\). От конца второго (точки \(C\)) — третий вектор \(\vec{CD} = \vec{c}\). Вектор, который соединяет начало первого вектора с концом последнего, — это и есть сумма: \(\vec{AD} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}\).

Рис. 292. То же самое, но уже для шести векторов. Векторы \(\vec{a}_1, \vec{a}_2, \ldots, \vec{a}_6\) выстраиваются «голова к хвосту»: конец одного — начало следующего. Получается ломаная линия, напоминающая многоугольник (отсюда и название правила). Результирующий вектор \(\vec{p}\) просто соединяет начало первого вектора (точку \(A\)) с концом последнего (точку \(G\)):
\(\vec{p} = \vec{a}_1 + \vec{a}_2 + \vec{a}_3 + \vec{a}_4 + \vec{a}_5 + \vec{a}_6\)

Рис. 293, а. Правило можно записать короче: для любых точек \(A_1, A_2, \ldots, A_n\) выполняется равенство
\(\overrightarrow{A_1A_2} + \overrightarrow{A_2A_3} + \ldots + \overrightarrow{A_{n-1}A_n} = \overrightarrow{A_1A_n}\)

Сумма всех «промежуточных» векторов равна одному вектору, соединяющему первую и последнюю точки. На рисунке \(n = 7\).

Рис. 293, б. Частный случай: если начало первого вектора совпадает с концом последнего, ломаная замыкается. Тогда сумма равна нуль-вектору:
\(\vec{b}_1 + \vec{b}_2 + \vec{b}_3 + \vec{b}_4 + \vec{b}_5 = \vec{0}\)

Короткий вывод: правило многоугольника — это способ найти сумму любого числа векторов, последовательно откладывая их друг за другом от произвольной точки. Результат — один вектор от начала первого к концу последнего. Если цепочка замыкается, сумма равна нулю. Порядок сложения не влияет на результат.

V. Тренировочные упражнения

1). Работа в рабочих тетрадях (8 класс).

Решить задачу № 121. Пользуясь правилом многоугольника и законами сложения векторов, упростите выражение ВН + НК + ТР + МТ + КМ.
Решение: ВН + NK + ТР + МТ + КМ = BK + ТР + MТ + КМ = ВК + КМ + МТ + ТР = ВМ + МТ + ТР = ВТ + ТР = ВР.
Ответ: ВР.

2). Разобрать решение задачи.

ABCD и ADEF – параллелограммы. Укажите такой вектор а, что CD + АВ + AF + AD + а = AF.
Решение: CD + AB + AF + AD + а = АВ + AD + CD + AF + а (рис. 9.24). Так как ADEF – параллелограмм, то AF = DE. Тогда AB + AD + CD + AF + a = (АВ + ВС + CD + DE) + a = АE + а. По условию задачи CD + АВ + AF + AD + а = АF, т. е. АЕ + а = АF, следовательно, а = EF, так как АЕ + EF = AF.
Ответ: а = EF.

3). Работа в парах. Решить задачу с последующим обсуждением.

Дано: ABCD – ромб, CDEF – прямоугольник. а) Упростите выражение АВ + AD + CD + CF + ЕF. б) Найдите вектор b такой, что AD + АВ + DE + CD + FС + b = AC.
Решение:
а) Так как ABCD – ромб, CDEF – прямоугольник, то AD = ВС, СF = DE, тогда AB + AD + CD + CF + EF = AB + BC + CD + DE + EF = AF.
б) Так как ABCD – ромб, CDEF – прямоугольник, то АВ = DC, DE = CF, CD = FЕ, FС = ED, тогда AD + АВ + DE + CD + FС + b = (AD + DC + CF + FE + ED) + b = AD + b = AC. Так как АС = AD + DC, то b = DC.
Ответ: a) AF, б) DC.

4). Работа в рабочих тетрадях 8 класса. Решить самостоятельно.

Задача № 119. Дано: В трапеции ABCD AD || ВС, ∠ABC = 120°, AD = 6 см, АВ = 3 см (рис. 9.25). Найти: |BA + AD|.

Решение: По правилу треугольника BA + AD = BD, следовательно, |ВА + АD| = |ВD|. Длина вектора BD – это длина отрезка BD. Так как AD || ВС, то ∠BAD = 180° – ∠ABC = 60°. Проведем высоту ВН трапеции. В прямоугольном треугольнике АВН имеем:
ВН = АВ • sin ∠BAD = 3 • √3/2 = 3√3/2 см.
АН = АВ • cos ∠ABD = 3 • 1/2 = 1,5 см.
Из треугольника BHD по теореме Пифагора получаем ВD² = ВН² + (AD + АН)² = 27/4 + 9/4 = 9 см², откуда BD = 3 см.
Ответ: 3 см.

5). Работа в рабочих тетрадях 8 класса. Решить самостоятельно.

Задача № 120. Пользуясь правилами и законами сложения векторов, упростите выражение МС + AM + СТ.

Ответ: АТ.

VI. Рефлексия учебной деятельности

• № 1. В чем заключается правило треугольника сложения двух векторов?
• № 2. В чем заключается правило параллелограмма сложения двух неколлинеарных векторов?
• № 3. В чем заключается правило многоугольника сложения векторов?

Домашнее задание

№ 1. П. 89, вопрос 11 (учебник, с. 244).

№ 2. Решить задачи.
I уровень сложности: № 943, 948, 949 (учебник), № 118 (рабочая тетрадь, 8 класс);
II уровень сложности: № 948, дополнительные задачи №1, 2.
Дополнительные задачи:
Задача 1. Даны два параллелограмма MNKP и M₁NK₁P. Докажите, что векторы ММ₁ = КК₁.
Задача 2. В треугольнике АВС М – точка пересечения медиан. Докажите, что векторы МА + МВ + MC = 0.

Вы смотрели: Геометрия 9 Атанасян Урок 4. Тема: §2. Сложение и вычитание векторов. Пункты: 87–88. Ориентировано на работу с федеральным учебником: «Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. 7-9 классы. Просвещение, 2023».

Вернуться в Поурочное планирование для 9 класса