Геометрия 9 Атанасян Урок 6 «Произведение вектора на число». Учебник УМК Атанасян 7-9 классы с 2023 года — § 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач. КТП: 2 часа в неделю / 68 часов в год.
Вернуться в Поурочное планирование для 9 класса

Геометрия 9 класс. Урок 6.
УМК Атанасян с 2023 года

Тема урока: Произведение вектора на число.
Основные дидактические цели урока: ввести понятия умножения вектора на число; познакомить учащихся со свойствами умножения вектора на число.

I. Организационный момент.
Мотивация к учебной деятельности

II. Актуализация знаний учащихся

Теоретический опрос. (Пять учеников решают задачи у доски.)
Рис. 9.32. Найти:
а) $\vec{a}+\vec{b}$, используя правило треугольника;
б) $\vec{c}+\vec{d}$, используя правило параллелограмма;
в) $\vec{c}-\vec{b}$, используя теорему о разности двух векторов;
г) $\vec{d}-\vec{a}$, используя правило вычитания векторов;
д) $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}$, используя правило многоугольника.

III. Повторение

1. Проверка домашнего задания

(Учитель проверяет решение задачи № 124. Один ученик вслух читает задачу и ее решение. Учащиеся слушают, обсуждают, исправляют ошибки.)

Задача № 124. Докажите: Для любых трех точек $X$, $Y$, $Z$ верно равенство
$$\overrightarrow{XY} — \overrightarrow{ZY}= \overrightarrow{XY}+ \overrightarrow{YZ}.$$
Доказательство: По теореме о разности векторов $\vec{a}- \vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$, поэтому $\overrightarrow{XY}- \overrightarrow{ZY}= \overrightarrow{XY}+ (-\overrightarrow{ZY}).$ Запись $- \overrightarrow{ZY}$ означает «вектор, противоположный вектору $\overrightarrow{ZY}$», т.е. $-\overrightarrow{ZY}= \overrightarrow{YZ}$. Следовательно, $\overrightarrow{XY}- \overrightarrow{ZY}= \overrightarrow{XY}+ (- \overrightarrow{ZY})= \overrightarrow{XY}+ \overrightarrow{YZ},$ что и требовалось доказать.

(Учитель проверяет решение задачи № 953. Один ученик готовит решение на доске.)

Задача № 953.
$\vec{p}= \overrightarrow{XY}+ \overrightarrow{ZX}+ \overrightarrow{YZ}= \overrightarrow{XY}+ \overrightarrow{YZ}+ \overrightarrow{ZX}= \overrightarrow{XX}= \vec{o}$.
$\vec{q}=( \overrightarrow{XY}– \overrightarrow{ZX})+ \overrightarrow{YZ}= \overrightarrow{XY}+(– \overrightarrow{ZX})+ \overrightarrow{YZ}= (\overrightarrow{XY}+ \overrightarrow{YZ})+ \overrightarrow{ZX}=$
$= \overrightarrow{XY}+ \overrightarrow{YX}= \overrightarrow{XX}= \vec{o}$.
$\vec{r}=( \overrightarrow{ZY}- \overrightarrow{XY})- \overrightarrow{ZX}=(\overrightarrow{ZY}+(- \overrightarrow{XY}))+(- \overrightarrow{ZX})= \overrightarrow{ZY}+ \overrightarrow{YX}+ \overrightarrow{XZ}= \overrightarrow{ZZ}= \vec{o}$.

1. Фронтальная работа с классом.

Разобрать решение задачи № 128 (рабочая тетрадь, 8 класс).

Задача № 128. Дано: В трапеции $ABCD\ AD\parallel BC,\ \angle ABC = 120^{\circ},\ AD = 6\,\text{м},\ AB = 3\,\text{м}$ (рис. 9.33).
Найти: $|\overrightarrow{AB}- \overrightarrow{AD}|$.
Решение: $\overrightarrow{AB}- \overrightarrow{AD}= \overrightarrow{DB}$, следовательно, $|\overrightarrow{AB}- \overrightarrow{AD}|=|\overrightarrow{DB}|= DB$. Так как $\overrightarrow{AD}\parallel\overrightarrow{BC}$, то $\angle BAD=180^{\circ}- \angle ABC=60^{\circ}$.
Проведем высоту $BH$ трапеции. В треугольнике $ABH$ имеем:
$$ BH=AB\cdot\sin60^\circ=3\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\,\text{м}; $$
$$ HA=AB\cdot\cos60^\circ=\frac{3}{2}\,\text{м}.\quad\text{Тогда } DH=AD-HA=4{,}5\,\text{м}. $$
Из треугольника $BHD$ по теореме Пифагора
$$BD^2 = DH^2 + BH^2 = \left(4{,}5\right)^2+\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2= 27\,\text{м}^2,\quad\text{откуда } BD=3\sqrt{3}\,\text{м}.$$
Итак, $|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}|=|\overrightarrow{DB}|= DB=3\sqrt{3}$ м.
Ответ: $3\sqrt{3}$ м.

3. Работа в парах.

(Учитель по мере необходимости оказывает помощь парам.)
Решить задачи № 956, 959 с последующим обсуждением.

Задача № 956 (рис. 9.34). Решение:
а) $\overrightarrow{BM}= \overrightarrow{MA}=- \overrightarrow{AM}=-\vec{a}$ (так как $\overrightarrow{AM}\uparrow\downarrow\overrightarrow{BM}$, M — середина AB);
б) $\overrightarrow{NC}= \overrightarrow{AN}=\vec{b}$ (так как $\overrightarrow{AN}\uparrow\uparrow\overrightarrow{NC}$, N — середина AC);
в) $\overrightarrow{AM}+ \overrightarrow{MN}= \overrightarrow{AN},$ тогда $\overrightarrow{MN}= \overrightarrow{AN}- \overrightarrow{AM}=\vec{b}-\vec{a};$
г) $\overrightarrow{BN}= \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AN}= \overrightarrow{BM}+ \overrightarrow{MA}+ \overrightarrow{AN}= -\vec{a}-\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}-\vec{a}-\vec{a}$.
Ответ: а) $\overrightarrow{BM}=-\vec{a}$; б) $\overrightarrow{NC}=\vec{b}$; в) $\overrightarrow{MN}=\vec{b}-\vec{a}$; г) $\overrightarrow{BN}=\vec{b}-\vec{a}-\vec{a}$.

✍️ Наводящие вопросы.
– Что вы можете сказать о направлении и длине векторов $\overrightarrow{AM}$ и $\overrightarrow{BM}$?
– Что можно сказать о векторах $\overrightarrow{AN}$ и $\overrightarrow{NC}$?
– Как связаны между собой векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\overrightarrow{MN}$? Выразите $\overrightarrow{MN}$ через $\vec{a}$ и $\vec{b}$.
– Как связаны между собой векторы $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AN}$ и $\overrightarrow{BN}$? Чему равна длина вектора $\overrightarrow{AB}$?

Задача № 959 (рис. 9.35). Решение:
а) $\overrightarrow{DC}+ \overrightarrow{CB}= \overrightarrow{DB}= \overrightarrow{DA}+ \overrightarrow{AB}= \mathbin{-} \overrightarrow{AD}+ \overrightarrow{AB}=-\vec{b}+\vec{a}=\vec{a}-\vec{b}$;
б) $\overrightarrow{BO} + \overrightarrow{OC}= \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}= \vec{b}$;
в) $\overrightarrow{BO}- \overrightarrow{OC}= \overrightarrow{BO}+ \overrightarrow{CO}= \overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OA}= \overrightarrow{BA}=- \overrightarrow{AB}=-\vec{a}$, так как $\overrightarrow{CO}= \overrightarrow{AO}$;
г) $\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{DA}= \overrightarrow{BA}+ \overrightarrow{AD}= -\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AD}= \mathbin{-} \vec{a}+\vec{b}= \vec{b}-\vec{a}$;
Ответ: а) $\overrightarrow{DC}+ \overrightarrow{CB}= \vec{a}-\vec{b}$; б) $\overrightarrow{BO}+ \overrightarrow{OC}= \vec{b}$; в) $\overrightarrow{BO}- \overrightarrow{OC}= -\vec{a}$; г) $\overrightarrow{BA}- \overrightarrow{DA}= \vec{b}-\vec{a}$.

✍ Наводящие вопросы.
– Чему равна сумма векторов $\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CB}$?
– Какая связь существует между векторами $\vec{a}, \vec{b}$ и $\overrightarrow{DB}$?
– Упростите сумму $\overrightarrow{BO}+ \overrightarrow{CO}$.
– Каким вектором можно заменить вектор $\overrightarrow{BC}$? Почему?
– Замените сложением разность $\overrightarrow{BO}- \overrightarrow{OC}$.
– В сумме $\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{CO}$ замените один из векторов равным ему так, чтобы получилось сложение векторов по правилу треугольника.
– Что вы можете сказать о векторах $\vec{a}$ и $-\overrightarrow{BA}$?
– Замените разность $\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{DA}$ сложением.
– Выразите вектор $\overrightarrow{BA}$ через один из данных векторов $\vec{a}$ или $\vec{b}$.

Геометрия 9 Атанасян Урок 6

IV. Определение темы урока

Работа в группах. (Учитель делит класс на две группы. Каждая группа получает одну задачу. По окончании работы представители групп объясняют решение, в обсуждении решения участвует весь класс.)

Задача 1. Начертите вектор $\vec{a}$ и вектор $\vec{b}$ так, что:
а) $\vec{b} \uparrow\uparrow \vec{a}$, $|\vec{b}| = 3|\vec{a}|$;
б) $\vec{b} \uparrow\downarrow \vec{a}$, $|\vec{b}|=\frac{1}{2}|\vec{a}|$.

Задача 2. Катер движется прямолинейно со скоростью $\vec{v}$. Он обгоняет пловца, плывущего в том же направлении со скоростью в $3$ раза меньшей скорости катера. Навстречу им движется моторная лодка со скоростью, превышающей скорость пловца в $2$ раза. Изобразите с помощью векторов скорости катера, моторной лодки и пловца.

V. Работа по теме урока

💡 Произведение вектора на число — это операция, при которой вектор умножается на скаляр (число). В результате получается новый вектор $\vec{b}$, который обладает следующими свойствами:

• Длина: модуль нового вектора равен произведению модуля исходного вектора и абсолютной величины числа: $|\vec{b}| = |k| \cdot |\vec{a}|$.
• Направление: если $k > 0$, векторы направлены одинаково ($\uparrow\uparrow$); если $k < 0$ — противоположно ($\uparrow\downarrow$). При $k=0$ результат всегда нулевой вектор.

Основные свойства этой операции

• Сочетательный закон: $(kl)\vec{a} = k(l\vec{a})$
• Первый распределительный закон: $(k+l)\vec{a}=k\vec{a}+l\vec{a}$
• Второй распределительный закон: $k(\vec{a}+\vec{b})=k\vec{a}+k\vec{b}$

Эти правила позволяют легко выполнять алгебраические преобразования с векторами, что особенно полезно для решения геометрических задач. Например, зная координаты вершин параллелограмма или треугольника, можно выразить любой его вектор через другие, используя эти законы.

На доске и в тетрадях записать:

Краткое определение:
$ k\cdot\vec{a}=\vec{b}, \text{ если:} $
$|\vec{b}|=|k|\cdot |\vec{a}|;$
$\vec{b}\uparrow\uparrow \vec{a}$ при $k>0$, $\vec{b}\uparrow\downarrow \vec{a}$ при $k<0$.

Следствия из определения:
$\vec{a}\cdot 0=0;$
Для любого числа $k$ и любого вектора $\vec{a}$ векторы $\vec{a}$ и $k\cdot\vec{a}$ коллинеарные.

Основные свойства умножения вектора на число:
Для любых чисел $k$ и $l$ и векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}:$
$(kl)\cdot\vec{a}=k\cdot(l\vec{a})$ (сочетательный закон);
$(k+l)\cdot\vec{a}=k\vec{a}+l\vec{a}$ (первый распределительный закон);
$k(\vec{a}+\vec{b})=k\vec{a}+k\vec{b}$ (второй распределительный закон).

VI. Закрепление изученного материала

Фронтальная работа с классом.

Решить задачи № 129, 130 (рабочая тетрадь, 8 класс).

Задача № 129. Отложите от точки $O$ векторы:
$\vec{x} = \frac{1}{2}\cdot\vec{a}$;
$\vec{y}=2\cdot\vec{c}$;
$\vec{z}=\frac{1}{2}\cdot\vec{a}+2\cdot\vec{c}$.
Решение:
Так как $\vec{x}=\frac{1}{2}\cdot\vec{a}$ (рис. 9.40), то, согласно определению произведения вектора на число, $\vec{x}\uparrow\uparrow\vec{a}$, а $|\vec{x}|=\frac{1}{2}|\vec{a}|$. Отложим от точки $O$ вектор $\vec{x}$. Аналогично $\vec{y}\uparrow\uparrow\vec{c}$ и $|\vec{y}|=2|\vec{c}|$.
Отложим от точки $O$ вектор $\vec{y}$.
Вектор $\vec{z}=\frac{1}{2}\cdot\vec{a}+2\cdot\vec{c}=\vec{x}+\vec{y}$. Так как векторы $\vec{x}$ и $\vec{y}$ отложены от точки $O$, строить вектор $\vec{z}=\vec{x}+\vec{y}$ удобно по правилу параллелограмма. Строим вектор $\vec{z}$.

Задача № 130. Дано: Параллелограмм $ABCD$,
$DM = CM,\quad AO = \vec{n},\quad AB = \vec{a}$
(рис. 9.41). Выразите:
а) Векторы $\overrightarrow{AO}$ и $\overrightarrow{CO}$ через вектор $\vec{n}$;
б) Векторы $\overrightarrow{DM}$ и $\overrightarrow{CM}$ через вектор $\vec{a}$;
в) Вектор $\overrightarrow{BC}$ через векторы $\vec{a}$ и $\vec{n}$.
Решение:
а) Так как точка $O$ является точкой пересечения диагоналей параллелограмма, то $AO = \frac{1}{2}AC$, значит, $|\overrightarrow{AC}|=2|\overrightarrow{AO}|$. Кроме того, $\overrightarrow{AC}\uparrow\uparrow\overrightarrow{n}$, следовательно, согласно определению произведения вектора на число,
$ \overrightarrow{AC}=2\cdot\overrightarrow{AO}=2\cdot\vec{n}.$
Далее, $|\overrightarrow{CO}|=|\overrightarrow{AO}|$, $\overrightarrow{CO}\uparrow\downarrow\overrightarrow{AO}$, поэтому $\overrightarrow{CO}=-\overrightarrow{AO}=-\vec{n}$.
б) Противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны, поэтому $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}=\vec{a}$. Далее, $\overrightarrow{DM}\uparrow\uparrow\overrightarrow{DC}$, $|\overrightarrow{DM}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{DC}|$, следовательно,
$$
\overrightarrow{DM}=\frac{1}{2}\cdot\overrightarrow{DC}=\frac{1}{2}\cdot\vec{a}.
$$
Как $\overrightarrow{CM}\downarrow\uparrow\overrightarrow{DC}$, $|\overrightarrow{CM}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{DC}|$, то
$$
\overrightarrow{CM}=-\frac{1}{2}\cdot\overrightarrow{DC}=-\frac{1}{2}\cdot\vec{a}.
$$
в) По правилу треугольника $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}$, но $\overrightarrow{BA}=-\vec{a}$, $\overrightarrow{AC}=2\vec{n}$. Следовательно,
$$
\overrightarrow{BC}=-\vec{a}+\vec{n}.
$$
Ответ: а) $\overrightarrow{AC}=2\cdot\vec{n}$, $\overrightarrow{CO}=-\vec{n}$; б) $\overrightarrow{DM}=\frac{1}{2}\cdot\vec{a}$; $\overrightarrow{CM}=-\frac{1}{2}\cdot\vec{a}$; в) $\overrightarrow{BC}=-\vec{a}+\vec{n}$.

Самостоятельное решение задач.

• Выполнить практические задания № 964 (б, г, д), № 965.
• Решить задачи №№ 967 (а), 968 (б).

(После окончания самостоятельного решения задач и самопроверки по готовым ответам выполняется самооценка.) Критерии оценивания:

• оценка «5» – правильно решены три или четыре задачи;
• оценка «4» – правильно решены две задачи или одна задача полностью и две частично;
• оценка «3» – правильно решена одна задача или частично две задачи;
• оценка «2» – не ставится.

VII. Рефлексия учебной деятельности

• 1. Что значит «умножить ненулевой вектор a на число k»?
• 2. Сформулируйте основные свойства умножения вектора на число.

Домашнее задание

№ 1. П. 91, вопросы 14–17 (учебник, с. 244).

№ 2. Выполнить практические задания № 963, 964 (а, в, е).

№ 3. Решить задачи № 969 (б, в), 968 (а).

Вы смотрели: Геометрия 9 Атанасян Урок 6. Ориентировано на работу с федеральным учебником: «Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. 7-9 классы. Просвещение, 2023».

Вернуться в Поурочное планирование для 9 класса