Геометрия 9 Атанасян Урок 7 «Применение векторов к решению задач и доказательству теорем». Учебник УМК Атанасян 7-9 классы с 2023 года — § 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач. КТП: 2 часа в неделю / 68 часов в год.
Вернуться в Поурочное планирование для 9 класса
Геометрия 9 класс. Урок 7.
УМК Атанасян с 2023 года
Тема урока: Применение векторов к решению задач и доказательству теорем.
Основные дидактические цели урока: научить учащихся применять векторы при решении геометрических задач; совершенствовать навыки выполнения действий над векторами.
I. Организационный момент.
Мотивация к учебной деятельности
II. Актуализация знаний учащихся
Фронтальная работа с классом.
Ответить на вопросы 14–17 (с. 244 учебника) — из Д/З.
Решить задачи по готовым чертежам (устно).
Задание № 1. Дано: $ABCD$ — параллелограмм, $\overrightarrow{AB} = \vec{a}$, $\overrightarrow{AD} = \vec{b}$ (рис. 9.42).
Выразить через векторы $\vec{a}, \vec{b}$ векторы: $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{CD}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{OC}$, $\overrightarrow{OA}$.
Задание № 2. Дано: $ABCD$ — прямоугольник, $\overrightarrow{DA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{DC} = \vec{b}$. $E$ — середина стороны $BC$, $F ∈ AB$, $AF : FB = 3 : 2$. $P$ — середина отрезка $OB$ (рис. 9.43).
Выразить через $\vec{a},\vec{b}$ векторы: $\overrightarrow{BE}$, $\overrightarrow{BF}$, $\overrightarrow{OP}$, $\overrightarrow{PE}$, $\overrightarrow{FE}$.
Задание № 3. Дано: $ABCD$ — трапеция, $\overrightarrow{DA}=\vec{b}$, $\overrightarrow{DC}= \vec{a}$, $\overrightarrow{BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$ (рис. 9.44).
Выразить через $\vec{a},\vec{b}$ векторы: $\overrightarrow{DB}$, $\overrightarrow{CA}$, $\overrightarrow{BO}$, $\overrightarrow{OC}$.
Индивидуальная работа по карточкам.
(Три ученика получают карточки разного уровня сложности и работают самостоятельно во время проведения устного опроса.)
I уровень сложности
Построить векторы (рис. 9.45):
а) $\dfrac{1}{2}\vec{a}$;
б) $2\vec{b}$;
в) $\dfrac{1}{2}\vec{a}+2\vec{b}$;
г) $2\vec{b}-\dfrac{1}{2}\vec{a}$.
Дано: $ABCD$ — параллелограмм (рис. 9.46).
Выразить $\overrightarrow{CD}$, $\overrightarrow{CB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{OC}$ через векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$.
II уровень сложности
Построить векторы (рис. 9.47):
а) $-\dfrac{5}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\right)$;
б) $\dfrac{3}{7}\overrightarrow{BC}-\dfrac{1}{14}\overrightarrow{AB}-\dfrac{3}{7}\overrightarrow{AC}$.
Дано: $ABCD$ — ромб, $E ∈ BC$, $BE : EC=3 : 1$, $K$ — середина $DC$, $\overrightarrow{AB} = \vec{a}$, $\overrightarrow{AD} = \vec{b}$ (рис. 9.48).
Выразить $\overrightarrow{AE}$, $\overrightarrow{AK}$, $\overrightarrow{KE}$ через векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$.
III уровень сложности
Дано: $ABCD$ — параллелограмм (рис. 9.49).
Построить векторы:
а) $\frac{2}{5}\vec{AB} \mathbin{-} \frac{1}{10}\vec{CA} \mathbin{-} \frac{2}{5}\vec{DA}$
б) $\frac{2}{9}\vec{CD} \mathbin{-} \frac{1}{3}\vec{D}A \mathbin{-} \frac{2}{9}\vec{B}C + \frac{1}{3}\vec{A}B$
Точка $M$ лежит на диагонали ромба $ABCD$, а точка $H$ — на стороне $AD$. Причем $AM : MC = 2 : 1$ и $AH = HD$.
Выразите вектор $\overrightarrow{MN}$ через векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, где $\vec{a}=\overrightarrow{AB}$, $\vec{b}= \overrightarrow{AD}$.
III. Решение задач
1. Работа в парах.
Решить задачу № 132 (рабочая тетрадь, 8 класс) с последующим обсуждением.
Задача № 132. Докажите, что векторы $\vec{c}=2\cdot(\vec{a}+1{,}5\vec{p})-3\vec{p}$ и $\vec{a}$ коллинеарные.
Доказательство: $\vec{c}=2\cdot (\vec{a}+1{,}5\vec{p}) \mathbin{-} 3\vec{p} = 2\vec{a} + 3\vec{p}-3\vec{p} = 2\vec{a}+\vec{0} = 2\vec{a}$. По определению произведения вектора на число векторы $\vec{a}$ и $2\vec{a}$ коллинеарны, что и требовалось доказать.
2. Фронтальная работа с классом.
Разобрать решение задачи № 971.
Задача № 971 (Рис. 9.50). Решение: $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM}$. Так как $BM : MC=\frac{1}{2} AD$, то $\overrightarrow{BM} = \dfrac{3}{4}\vec{a} ⇒ \overrightarrow{AM} = \vec{b} + \dfrac{3}{4}\vec{a}.$
$\overrightarrow{MD} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} = -\overrightarrow{BM}-\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AD}=- \dfrac{3}{4}\vec{a} \mathbin{-} \vec{b} + \vec{b} = -\dfrac{3}{4}\vec{a} + \vec{0} = -\dfrac{3}{4}\vec{a}.$
✅ Ответ: $\overrightarrow{AM} = \vec{b}+\frac{3}{4}\vec{a}$;
$\overrightarrow{MD}= \frac{1}{4}\vec{a}-\vec{b}$.
Наводящие вопросы и указания к решению задачи.
— Рассмотрим $\triangle ABM$. Выразите вектор $\overrightarrow{AM}$ через векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BM}$.
— Что вы можете сказать о направлениях векторов $\overrightarrow{BM}$ и $\vec{a}$?
— Какую часть от длины вектора $\vec{a}$ составляет длина вектора $\overrightarrow{BM}$?
(Ожидаемый ответ: Вектор $\overrightarrow{BM}$ сонаправлен с $\vec{a}$, так как точка $M$ лежит на продолжении стороны $AD$, а его длина равна $\frac{3}{4}|\vec{a}|$.)
— Выразите в равенстве $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}$ векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BM}$ через векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$.
— Найдите фигуру, в которой есть вектор $\overrightarrow{MD}$ и векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ или векторы, уже выраженные через $\vec{a}$ и $\vec{b}$.
(В данном случае учащиеся могут предложить два варианта ответа: а) четырехугольник $ABMD$; б) треугольник $AMD$.)
— Составьте равенство, из которого вектор $\overrightarrow{MD}$ можно выразить через другие векторы.
V. Работа по теме урока
Работа в группах. (Ученики в группах решают задачи 1 и 2 на с. 204 учебника. По окончании работы представители групп объясняют решение, в обсуждении решения участвует весь класс.)
Фронтальная работа с классом.
Решить задачу № 134 (рабочая тетрадь, 8 класс).
Задача № 134. Дано: Точки К и М – середины сторон АВ и CD трапеции ABCD, точки Р и Т – середины диагоналей АС и BD (рис. 9.60). Доказать: Середины отрезков КМ и РТ совпадают.
Доказательство: Пусть точка $X$ — середина отрезка KM, точка Y — середина отрезка PT. Тогда для произвольной точки O имеем:
$$\overrightarrow{OX} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OK} + \overrightarrow{OM}).\quad (1)$$
$$\overrightarrow{OY} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OT}).\quad (2)$$
По условию задачи точки K и M — середины отрезков AB и CD, соответственно.
Следовательно,
$$ \overrightarrow{OK} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}),\quad \overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD})$$
Аналогично, подставляя найденные выражения в формулы (1) и (2), получаем:
$$ \overrightarrow{OX} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})+\frac{1}{2}(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})\right) = \frac{1}{4}(\overrightarrow{OA}+ \overrightarrow{OB}+ \overrightarrow{OC}+ \overrightarrow{OD}). $$
$$ \overrightarrow{OY} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})+\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD})\right) = \frac{1}{4}(\overrightarrow{OA}+ \overrightarrow{OB}+ \overrightarrow{OC}+ \overrightarrow{OD}). $$
Отсюда следует, что $\overrightarrow{OX}= \overrightarrow{OY}$. Так как от точки O можно отложить только один вектор, равный данному, то точки X и Y совпадают, следовательно, совпадают середины отрезков KM и PT, что и требовалось доказать.
Наводящие вопросы.
— Можно ли выразить векторы $\overrightarrow{OX}$, $\overrightarrow{OY}$ через $\overrightarrow{OK}$, $\overrightarrow{OM}$, $\overrightarrow{OP}$, $\overrightarrow{OT}$? Да, по правилу нахождения среднего вектора между двумя точками.
— Можно ли выразить векторы $\overrightarrow{OX}$, $\overrightarrow{OY}$ через $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OC}$, $\overrightarrow{OD}$?
Геометрия 9 Атанасян Урок 7
VI. Закрепление изученного материала
Самостоятельное решение задач.
Решить задачу № 980, дополнительные задачи №1,2 (при наличии времени). (Учитель по мере необходимости оказывает индивидуальную помощь.)
Задача № 980. Дано: AABC, MN – средняя линия треугольника (рис. 9.61).
Доказать: $MN \parallel AC$, $MN = \frac{1}{2}AC$.
Доказательство:
$$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BC},$$
$$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}.$$
Поэтому векторы $\overrightarrow{MN}$ и $\overrightarrow{AC}$ коллинеарны, а $|\overrightarrow{MN}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}|$. Т. е. $MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2}AC$.
Дополнительные задачи
Задача 1. Дано: Четырехугольник ABCD и произвольная точка O. Известно, что $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}$, $\angle A=65^\circ$.
Найти: Остальные углы четырехугольника ABCD.
Решение: $\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OD}+ \overrightarrow{DC}$. По условию задачи $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{OD}= \overrightarrow{OC}$.
Следовательно, $\overrightarrow{\boldsymbol{A}B} = \overrightarrow{\boldsymbol{D}C$. Это означает, что $DC\parallel AB$ и $DC=AB$. Значит, ABCD — параллелограмм.
$\angle C = \angle A = \mathbf{65}^\circ;$
$\angle B = \angle D = 180^\circ \mathbin{-} 65^\circ = \mathbf{115}^\circ$.
Ответ: $\angle C=65^\circ;\quad\angle B=\angle D=115^\circ$.
Задача 2. Дано: На сторонах AB и BC треугольника ABC отмечены соответственно точки M и H так, что $AM=4BM,\ CH=4BH$.
Доказать, используя векторы, что $MH\parallel AC$ и $MH : AC = 1:5$.
Доказательство: $$\overrightarrow{MH} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BH} = \frac{1}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{5}\overrightarrow{BC} = \frac{1}{5}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) = \frac{1}{\boldsymbol{5}}\overrightarrow{AC}$$
(рис. 9.62).
Т.е. $\boldsymbol{MH \parallel AC}$, $MH = \frac{1}{5}AC$ или $MH : AC = 1 : 5$.
VII. Рефлексия учебной деятельности
- Какая связь существует между векторами ОС, ОА, ОВ, если точка С – середина отрезка АВ, а точка О – произвольная точка плоскости?
- Какое свойство треугольника можно доказать с использованием векторов?
- Сформулируйте свойство прямой, проведенной через середины оснований трапеции.
- Сформулируйте свойство средней линии треугольника.
Домашнее задание
№ 1. Параграф 92.
№ 2. Решить задачи №№ 977, 978, 979, 976 (устно).
Вы смотрели: Геометрия 9 Атанасян Урок 7. Ориентировано на работу с федеральным учебником: «Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. 7-9 классы. Просвещение, 2023».
Вернуться в Поурочное планирование для 9 класса
