Контрольная работа № 1 по геометрии в 9 классе «Векторы» с ответами УМК Атанасян (средний уровень). Урок 14 поурочного планирования по геометрии. Геометрия 9 класс КР-1 Уровень 2 (средний). Цитаты использованы в учебных целях.

Смотреть Список всех контрольных по геометрии в 9 классе (УМК Атанасян)

К-1 Уровень 1 + Ответы   К-1 Уровень 3 + Ответы

Контрольная работа № 1

Уровень 2 (средний). Геометрия 9 класс

КР–1 Вариант 1

• 1. Начертите неколлинеарные векторы а, b, с. Постройте векторы, равные: а) a/3 + с/2; б) –а + 2b/3 + 0,5с.
• 2. На сторонах ВС и CD параллелограмма ABCD отмечены точки К и Е так, что ВК = КС, СЕ : ED = 2 : 3. Выразите векторы АК, АЕ, КЕ через векторы а = АВ и b = AD.
• 3. «В трапеции ABCD ∠A = 60°, ∠D = 45°, боковые стороны равны 10 см и 12 см , а меньшее основание 8 см. Найдите среднюю линию трапеции». Примечание от 20.02.2024 г: Данная редакция задания из учебного пособия признана некорректной! Предлагается следующая редакция:
  3. В трапеции ABCD ∠A = 60°, ∠D = 45°, меньшая боковая сторона равны 10 см, а меньшее основание 8 см. Найдите среднюю линию трапеции.
• 4. * В треугольнике АВС точка В₁ — середина АС, точка А₁ лежит на стороне ВС так, что ВА₁ : А₁С = 1 : 2. Используя векторы, докажите, что середина ВВ₁ лежит на прямой АА₁.

КР–1 Вариант 2

• 1. Начертите неколлинеарные векторы х, у, z. Постройте векторы, равные: а) у/3 – х/4; б) 0,2z – у + 3х/5.
• 2. На сторонах АВ и AD параллелограмма ABCD отмечены точки М и N так, что AM = MB, AN : ND = 3 : 4. Выразите векторы CM, CN, MN через векторы х = СВ и у = CD.
• 3. «В трапеции MNKP ∠M = 45°, ∠P = 30°, боковые стороны равны 8 см и 10 см, а меньшее основание — 5 см. Найдите среднюю линию трапеции». Примечание от 20.02.2024 г: Данная редакция задания из учебного пособия признана некорректной! Предлагается следующая редакция:
  3. В трапеции MNKP ∠M = 45°, ∠P = 30°, меньшая боковая сторона равна 8 см, а меньшее основание — 5 см. Найдите среднюю линию трапеции.
• 4. * «В трапеции ABCD ВС : AD = 1 : 2, Е — середина боковой стороны СВ, точка М лежит на АЕ так, что AM : ME = 4 : 1. Используя векторы, докажите, что точка М лежит на диагонали BD«.
  Примечание: в условии допущена ошибка, если решать это задание, то доказано будет обратное: точка М не лежит на диагонали BD. Скорее всего правильное условие будет таким:
  4. * В трапеции ABCD ВС : AD = 1 : 2, Е — середина боковой стороны СD, точка М лежит на АЕ так, что AM : ME = 4 : 1. Используя векторы, докажите, что точка М лежит на диагонали BD.

ОТВЕТЫ на контрольную работу КР-1:

Ответы на задачи Варианта 1

№ 2. На сторонах ВС и CD параллелограмма ABCD отмечены точки К и Е так, что ВК = КС, СЕ : ED = 2 : 3. Выразите векторы АК, АЕ, КЕ через векторы а = АВ и b = AD.
ОТВЕТ: АК = а + b/2; AE = b + 3а/5; KE = b/2 – 2а/5.

№ 3. В трапеции ABCD ∠A = 60°, ∠D = 45°, меньшая боковая сторона равна 10 см, а меньшее основание 8 см. Найдите среднюю линию трапеции.
ОТВЕТ: 10,5 + 2,5√3 см (≈14,83 см).

Смотреть РЕШЕНИЕ задачи № 3 Варианта 1

Дано: АВСD — трапеция, ∠А = 60°, ∠D = 45°, АВ = 10 см, ВС = 8см, ЕМ — средняя линия.
Найти: ЕМ = ?
Решение. Проведем высоты ВН и СК, при этом ВН = СК.
ΔАВН — прямоугольный, ∠А = 60° (по условию), тогда ∠АВН = 90 – 60 = 30°, а АН = 1/2 АВ по свойству катета, лежащего против угла 30 градусов.
АН = 10 : 2 = 5 (см).
По теореме Пифагора АН² + ВН² = АВ² ⇒  ВН = √[АВ² – АН²] = √[100 — 25] = √75 = 5√3 ≈ 8,66 (см).
ΔКDС — прямоугольный, ∠D = 45°, ∠DСК = 90 – 45 = 45°, значит КD = СК = ВН = 5√3 (см).
По теореме Пифагора (CK)² + (KD)² = CD² или (√75)² + (√75)² = CD²
CD = √[75 + 75] = √150 = 5√6 ≈ 12,25 (см) — справочно, не обязательно находить!
АD = АН + КН + КD = 5 + 8 + 5√3 = 13 + 5√3 (см) — большее основание.
ЕМ = (ВС + АD) : 2 = (8 + 13 + 5√3) : 2 = (21 + 5√3) : 2 = 10,5 + 2,5√3 (см) или ≈14,83 см.

№ 4. В треугольнике АВС точка В₁ — середина АС, точка А₁ лежит на стороне ВС так, что ВА₁ : А₁С = 1 : 2. Используя векторы, докажите, что середина ВВ₁ лежит на прямой АА₁.

Смотреть РЕШЕНИЕ задачи № 4 Варианта 1

Другой вариант доказательства:
Пусть О — середина BB1. Тогда необходимо доказать, что вектора AO и AA1 коллинеарны.
Выберем базис векторов (AB, AC).
В этом базисе вектор BC = AC — AB, и BA1 = 1/3 * BC = 1/3 * (AC — AB), и тогда
AA1 = AB + BA1 = AB + 1/3 * AC — 1/3 * AB = 2/3 * AB + 1/3 * AC = 1/3 * (2 * AB + AC)
Вектор AO = AB + BO, а BO = 1/2 * BB1, где BB1 = AB1 — AB = 1/2 * AC — AB, или
AO = AB + 1/2 * (1/2 * AC — AB) = 1/2 * AB + 1/4 * AC = 1/4 * (2 * AB + AC)
Обозначая вектор 2 * AB + AC как a, получаем AO = 1/4 * a, AA1 = 1/3 * a,
т.е. AO и AA1 коллинеарны.

Ответы на Вариант 2

№ 1. Начертите неколлинеарные векторы х, у, z. Постройте векторы, равные: а) у/3 – х/4; б) 0,2z – у + 3х/5.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

---

№ 2. На сторонах АВ и AD параллелограмма ABCD отмечены точки М и N так, что AM = MB, AN : ND = 3 : 4. Выразите векторы CM, CN, MN через векторы х = СВ и у = CD.
ОТВЕТ: СМ = х + у/2; CN = у + 4х/7; MN = y/2 – 3x/7.

№ 3. В трапеции MNKP ∠M = 45°, ∠P = 30°, меньшая боковая сторона равна 8 см, а меньшее основание — 5 см. Найдите среднюю линию трапеции.
Указания к РЕШЕНИЮ. Для упрощения решения задания можно использовать следующие свойства прямоугольного треугольника:
Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 60°, равен малому катету этого треугольника, умноженному на √3.
В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза равна катету, умноженному на √2.
ОТВЕТ: 5 + 2√2 + 2√6 ≈ 12,73 см.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

EF = (NK + MH + HR + RM) / 2 = (5 + 4√2 + 5 + 4√2*√3) / 2 = (10 + 4√2 + 4√6) / 2 = 5 + 2√2 + 2√6.

№ 4. В трапеции ABCD ВС : AD = 1 : 2, Е — середина боковой стороны СD, точка М лежит на АЕ так, что AM : ME = 4 : 1. Используя векторы, докажите, что точка М лежит на диагонали BD.

Смотреть РЕШЕНИЕ задачи № 4, если боковая сторона СD

Смотреть РЕШЕНИЕ задачи № 4, если боковая сторона СВ

Векторная запись ответов:

Смотрите также задания и ответы на контрольную работу № 1 для других уровней:

К-1 Уровень 1 + Ответы   К-1 Уровень 3 + Ответы

Вы смотрели: Контрольная работа № 1 по геометрии в 9 классе «Векторы» с ответами УМК Атанасян (средний уровень). Урок 14 поурочного планирования по геометрии. Геометрия 9 класс КР-1 Уровень 2 (средний). Цитаты использованы в учебных целях.

Смотреть Список всех контрольных по геометрии в 9 классе по УМК Атанасян.

(с) В учебных целях использованы цитаты из учебного пособия «Поурочные разработки по геометрии. 9 класс / Гаврилова Н.Ф. — М.: ВАКО», которое используется в комплекте с учебником «Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. 7—9 классы. Учебник для общеобразовательных организаций. М.: Просвещение».