Геометрия в 9 классе УМК Атанасян Самостоятельная работа № 11 по теме «Длина окружности и площадь круга» с ответами (3 уровня сложности по 2 варианта в каждом). Код материалов: Геометрия 9 класс Самостоятельная 11.
Геометрия 9 класс.
Самостоятельная № 11
«Длина окружности и площадь круга»
I уровень сложности
Ур1 Вариант 1
№ 1. Найдите длину окружности с радиусом 5 см. Чему равна длина ее дуги с градусной мерой 36°?
Решение: 1) Длина окружности:
C = 2π R = 2π • 5 = 10π (см).
2) Длина дуги в 36°:
Вся окружность 360°, поэтому длина дуги:
l = 36/360 • C = 1/10 • 10π = π (см).
Ответ: 10π см; π см.
№ 2. Длина окружности, описанной около квадрата, равна 12π см. Найдите длину окружности, вписанной в этот квадрат.
Решение: 1) Длина описанной окружности: 2π R = 12π ⇒ R = 6 см.
Для квадрата радиус описанной окружности R связан со стороной a:
R = a/√2 ⇒ a = R√2 = 6√2 см.
2) Радиус вписанной окружности для квадрата: r = a/2 = 6√2/2 = 3√2 см.
3) Длина вписанной окружности:
C_{впис} = 2π r = 2π • 3√2 = 6√2π см.
Ответ: 6√2π см.
Ур1 Вариант 2
№ 1. Найдите длину окружности с радиусом 9 см. Чему равна длина ее дуги с градусной мерой 20°?
Решение: 1) Длина окружности:
C = 2π • 9 = 18π (см).
2) Длина дуги 20°:
l = 20/360 • 18π = 1/18 • 18π = π (см).
Ответ: 18π см; π см.
№ 2. Длина окружности, вписанной в правильный треугольник, равна 2√3π см. Найдите длину окружности, описанной около этого треугольника.
Решение: 1) Длина вписанной окружности: 2π r = 2√3π ⇒ r = √3 см.
2) Для правильного треугольника радиус вписанной r и радиус описанной R связаны:
R = 2r (так как r = a√3/6, R = a√3/3, значит R = 2r).
3) Тогда R = 2√3 см.
4) Длина описанной окружности:
C_{опис} = 2π R = 2π • 2√3 = 4√3π см.
Ответ: 4√3π см.
Геометрия 9 класс Самостоятельная 11
II уровень сложности
Ур2 Вариант 1
№ 1. В окружности длиной 75π проведена хорда, стягивающая дугу в 120°. Вычислите длину данных дуги и хорды.
Решение: 1. Длина окружности C = 2π R = 75π
Отсюда 2R = 75, R = 37,5.
2. Длина дуги в 120° :
l = 120°/360° • C = 1/3 • 75π = 25π.
3. Хорда, стягивающая дугу 120°, опирается на центральный угол 120°.
По теореме косинусов для треугольника с двумя сторонами R и углом 120° между ними:
x² = R² + R² ─ 2R² cos 120° = 2R² ─ 2R² • (─(1/2)) = 2R² + R² = 3R².
x = R√3 = 37,5√3.
Ответ: Длина дуги 25π, длина хорды 37,5√3.
№ 2. Окружность с радиусом 12 см разогнута в дугу, центральный угол которой равен 135°. Найдите радиус этой дуги и длину хорды, стягиваемой этой дугой.
Решение:
1. Исходная окружность имеет длину C = 2π • 12 = 24π см.
После «разгибания» эта длина становится длиной дуги новой дуги (сектора) с центральным углом 135°.
2. Пусть R₁ — радиус новой дуги.
Длина дуги:
135°/360° • 2π R₁ = 3/8 • 2π R₁ = 3π R₁/4.
Приравниваем к 24π :
3π R₁/4 = 24π ⇒ 3R₁/4 = 24 ⇒ R₁ = 32 см.
3. Хорда, стягивающая дугу 135° в новой дуге (радиус R₁ = 32 см):
По теореме косинусов:
x² = R₁² + R₁² ─ 2R₁² cos 135° = 2R₁² ─ 2R₁² • (─ √2/2) = 2R₁² + R₁²√2.
x² = 2• 1024 + 1024√2 = 2048 + 1024√2 = 1024(2 + √2).
x = 32√{2 + √2} см.
Ответ: Радиус дуги 32 см, длина хорды 32√{2 + √2} см.
Ур2 Вариант 2
№ 1. В окружности длиной 54π проведена хорда, стягивающая дугу в 150°. Вычислите длину дуги и хорды, стягивающей ее.
Решение: 1. C = 2π R = 54π ⇒ R = 27.
2. Длина дуги 150° :
l = 150/360 • 54π = 5/12 • 54π = 270π/12 = 22,5π.
3. Хорда для центрального угла 150° :
x² = R² + R² ─ 2R² cos 150° = 2R² ─ 2R² • (─ √3/2) = 2R² + R²√3.
x² = 2• 729 + 729√3 = 1458 + 729√3 = 729(2 + √3).
x = 27√{2 + √3}.
Ответ: Длина дуги 22,5π, длина хорды 27√{2 + √3}.
№ 2. Дуга, радиус окружности которой равен 6 см и центральный угол 120°, свернута в окружность. Найдите радиус окружности. Чему равна хорда, стягиваемая этой дугой?
Решение: 1. Исходная дуга имеет радиус R₁ = 6 см, угол 120°.
Её длина: l = 120/360 • 2π • 6 = 1/3 • 12π = 4π см.
2. После «сворачивания» в окружность эта длина становится длиной новой окружности:
2π R₂ = 4π ⇒ R₂ = 2 см.
3. Хорда, стягивающая дугу 120° в исходной дуге (до свёртывания), вычисляется по радиусу R₁ = 6 см:
x² = 6² + 6² ─ 2• 6• 6 • cos 120° = 72 ─ 72• (─(1/2)) = 72 + 36 = 108.
x = √108 = 6√3 см.
Ответ: Радиус новой окружности 2 см, длина хорды исходной дуги 6√3 см.
Геометрия 9 класс Самостоятельная 11
III уровень сложности
Ур3 Вариант 1
№ 1. Вычислите радиус окружности, длина которой равна сумме длины окружности с радиусом 6 см и длины дуги окружности с радиусом 9 см и центральным углом 100°.
Решение: 1. Длина окружности с радиусом R₁ = 6 см:
C₁ = 2π R₁ = 2π • 6 = 12π см.
2. Длина дуги с радиусом R₂ = 9 см и центральным углом α = 100° :
l = α/360° • 2π R₂ = 100/360 • 2π • 9 = 5/18 • 18π = 5π см.
3. Сумма: C₁ + l = 12π + 5π = 17π см.
4. Эта сумма равна длине искомой окружности 2π R :
2π R = 17π ⇒ R = 17/2 = 8,5 см.
Ответ: 8,5 см.
№ 2. Вычислите длину дуги APD, если длина дуги АМВ равна 12π, а радиусы дуг АМВ, BNC и СКD относятся как 3:2:1 (рис. 12.25). (АВ, ВС, CD, AD – диаметры полуокружностей.)
Решение:
1. Дуга АМВ — это полуокружность (по рисунку, АВ — диаметр).
Длина дуги АМВ:
1/2 • 2π R₁ = π R₁ = 12π ⇒ R₁ = 12.
2. Радиусы:
R₁ : R₂ : R₃ = 3 : 2 : 1.
R₁ = 12 ⇒ 3k = 12 ⇒ k = 4.
R₂ = 2k = 8, R₃ = k = 4.
3. Дуга APD — это полуокружность диаметром AD.
AD = AB + BC + CD = 2R₁ + 2R₂ + 2R₃ = 2(12 + 8 + 4) = 2 • 24 = 48.
Радиус этой полуокружности:
R_{APD} = AD/2 = 24.
4. Длина дуги APD (полуокружность):
l_{APD} = π R_{APD} = π • 24 = 24π.
Ответ: 24π.
Ур3 Вариант 2
№ 1. Вычислите радиус дуги с центральным углом 160°, если ее длина равна разности длин окружностей с радиусами 27 см и 15 см.
Решение:
1. Длина окружности с R₁ = 27 :
C₁ = 2π • 27 = 54π.
2. Длина окружности с R₂ = 15 :
C₂ = 2π • 15 = 30π.
3. Разность: C₁ ─ C₂ = 54π ─ 30π = 24π.
4. Эта разность равна длине дуги с углом 160° и радиусом R :
160/360 • 2π R = 4/9 • 2π R = 8π R/9.
8π R/9 = 24π ⇒ 8R = 216 ⇒ R = 27 см.
Ответ: 27 см.
№ 2. Длина дуги АВС равна 24π (рис. 12.26). Вычислите длину дуги ADE, если радиусы дуг ADE, ЕКМ, MNC относятся как 5:4:3. (АС, АЕ, ЕМ, МС – диаметры полуокружностей; AC = AE + EM + MC).
Решение:
1. Дуга АВС — это полуокружность диаметром AC.
Пусть радиус этой полуокружности R_{ABC} = R_{AC}/2.
Но по рисунку: АВС — это дуга, для которой AC — диаметр.
Длина дуги АВС (полуокружность):
π R_{ABC} = 24π ⇒ R_{ABC} = 24.
Тогда диаметр AC = 2R_{ABC} = 48.
2. Радиусы дуг ADE, EKM, MNC относятся 5:4:3.
Эти дуги — полуокружности с диаметрами AE, EM, MC соответственно, и
AC = AE + EM + MC = 2R₁ + 2R₂ + 2R₃ = 2(R₁ + R₂ + R₃) = 48.
R₁ + R₂ + R₃ = 24.
3. R₁ : R₂ : R₃ = 5 : 4 : 3.
Пусть R₁ = 5k, R₂ = 4k, R₃ = 3k.
5k + 4k + 3k = 12k = 24 ⇒ k = 2.
R₁ = 10, R₂ = 8, R₃ = 6.
4. Дуга ADE — полуокружность диаметром AE = 2R₁ = 20.
Радиус этой полуокружности R_{ADE} = R₁ = 10.
Длина дуги ADE: π R_{ADE} = π • 10 = 10π.
Ответ: 10π.
Вы смотрели: Геометрия 9 класс (УМК Атанасян и др. — Просвещение). Самостоятельная работа № 11 «Длина окружности и площадь круга» с ответами (3 уровня сложности по 2 варианта в каждом). Геометрия 9 класс Самостоятельная 11. Ориентировано на работу с базовым учебником: «Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. 7-9 классы. Учебник для общеобразовательных организаций. М.: Просвещение».
