Движение тел в поле силы тяжести
(ответы и решения)
Формулы, задания и решения, используемые на уроке
«ЗАДАЧИ: Движение тел в поле силы тяжести»
Основной задачей механики, является определение положения тела в любой момент времени. Решением задачи для частиц, движущихся в поле тяжести Земли являются, уравнения, в проекциях на оси OX и OY :
Этих формул достаточно, чтобы решить любую задачу о движении тела под действием силы тяжести.
Считаем, что движение происходит вблизи поверхности Земли, поэтому ускорение тела – это ускорение свободного падения (a = g). Так как мы пренебрегаем сопротивлением воздуха, то ускорение направлено только к поверхности Земли (g) – вдоль вертикальной оси (y), вдоль оси х движение равномерное и прямолинейное.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача № 1.
Имея на руках мобильный телефон с функциями секундомера и калькулятора, турист определил высоту кокосовой пальмы, измерив время свободного падения её ореха на землю. Какой результат он получил, если показания секундомера составили 2,21 с?
ОТВЕТ: ≈ 24 м.
Задача № 2.
Мячик падает на землю с балкона второго этажа за время t. Во сколько раз больше время его падения с восемнадцатого этажа?
ОТВЕТ: в 3 раза.
Задача № 3.
Сколько времени продолжалось свободное падение камня с высоты 43,5 м, если при падении на землю его скорость составила 29 м/с?
ОТВЕТ: 3 с.
Задача № 4.
Определите скорость свободно падающего тела в конце первой, второй, третьей секунды движения и путь, пройденный за 1 с, 2 с, 3 с. Выберите масштаб и постройте график зависимости пути от времени. Убедитесь в том, что значения пути, пройденного телом в течение каждой последующей секунды, соответствуют ряду чисел 1, 3, 5, 7, … . Определите, на сколько увеличивается путь, пройденный телом в течение двух любых последующих секунд.
ОТВЕТ: а) 9,8 м/с, 19,6 м/с, 29,4 м/с; б) 4,9 м, 9,6 м, 44,1 м; в) 14,7 м, 24,5 м.
Задача № 5.
В каких случаях график модуля скорости тела, совершающего свободное падение (см. рис.), можно считать графиком проекции вектора скорости на вертикальную ось?
ОТВЕТ: если начало координатной оси совмещено с точкой начала движения тела В.
Пояснение: Этот график можно считать графиком проекции вектора скорости на вертикальную ось, если движение происходит вертикально, без горизонтальной составляющей, например: Свободное падение или вертикальный бросок вверх, где скорость меняется только вдоль вертикальной оси. Отсутствие сопротивления воздуха, чтобы ускорение было равно ускорению свободного падения. В этих условиях графики показывают именно проекции скорости на вертикальную ось.
Задача № 6.
По данным предыдущей задачи (№ 5) определите пути, пройденные телами А и В за 1 с движения.
ОТВЕТ: 9,9 м; 4,9 м.
Задача № 7.
Ускорение свободного падения на Венере g1 = 8,8 м/с2, на Луне g2 = 1,6 м/с2. Во сколько раз различаются пути, пройденные свободно падающими предметами на этих небесных телах: а) за первую секунду движения; б) за вторую секунду движения?
ОТВЕТ: а) в 5,5 раза; б) в 5,5 раза.
Задача № 8.
Камень упал в воду с крутой скалы. Звук его падения был услышан на вершине скалы через 5 с после начала движения камня. Определите высоту скалы, если скорость звука в воздухе равна 340 м/с.
ОТВЕТ: ≈ 108 м.
Задача № 9.
Тело начинает движение из точки с координатой у0 = 7 м (см. рис.). Напишите уравнение зависимости координаты от времени, если: 1) начальная скорость тела равна 0; 2) тело брошено вниз с начальной скоростью 2 м/с.
ОТВЕТ: 1) y = 7 – gt2/2; 2) у = 7 – 2t – gt2/2.
Задача № 10.
Брошенный вертикально вверх мяч массой 100 г вернулся на землю через 3 с. Определите силу тяжести, действующую на мяч, начальную скорость мяча и высоту, на которую он поднялся.
ОТВЕТ: 0,98 Н; 14,7 м/с; 11м.
Задача № 11.
График модуля скорости мяча в поле силы тяжести представлен на рисунке. Определите направление оси координат и начальной скорости мяча. Как двигалось тело? Вычислите его начальную скорость, путь и перемещение за время наблюдения (Примите g = 10 м/с2).
ОТВЕТ: вверх, вверх; вверх, затем вниз; 10 м/с; 25 м; –15 м.
Задача № 12.
На рисунке представлены графики пути двух тел А и В, двигавшихся в вертикальном направлении. Как направлена и чему равна начальная скорость каждого из тел? Какой знак имеет проекция вектора начальной скорости на ось Y, если ось направлена вверх? Можно ли утверждать, что к моменту времени, соответствующему пересечению графиков, тела прошли одинаковый путь? Находились ли они в одной и той же точке пространства?
ОТВЕТ: тело А – вниз, υ0 = 2,5 м/с, < 0; тело В – вверх, υ0 = 20 м/с, > 0; да; нет.
Задача № 13.
С вертолёта, находящегося на высоте 100 м над землёй, упал предмет массой 200 г. Чему равна сила тяжести, действующая на предмет? Через какое время предмет достигнет земли, если вертолёт:
а) поднимается со скоростью 3 м/с;
б) опускается со скоростью 3 м/с;
в) неподвижен относительно земли?
ОТВЕТ: ≈ 2 Н; а) 4,8 с; б) 4,2 с; в) 4,5 с.
Задача № 14.
Жонглёр в цирке подбрасывает вертикально вверх шарик с начальной скоростью 10 м/с. Через 0,5 с с такой же скоростью вслед за первым вверх брошен второй шарик. На какой высоте от точки бросания встретятся шарики?
ОТВЕТ: 4,8 м.
Задача № 15.
Внимательно рассмотрите рисунок. Опишите движение тела и составьте уравнения зависимости значений координат х и у от времени, а также проекций υy и υy вектора скорости на оси координат. Как вычислить скорость движения тела в любой момент времени?
ОТВЕТ: х = υ0t; у = у0– gt2/2; υх = υ0 = const; υy = –gt; υ = √[υx2 + υy2].
Задача № 16.
Выстрел из пистолета производят в горизонтальном направлении с высоты 19,6 м над уровнем земли (см. рисунок). Начальная скорость пули 315 м/с. Определите: время полёта; дальность полёта пули, т. е. максимальное расстояние по горизонтали.
ОТВЕТ: 2 с; 630 м.
Задача № 17.
Заставляя камешки прыгать по воде, мальчик бросает их горизонтально на высоте 100 см над поверхностью воды. С какой скоростью он бросил камешек, если первый раз он коснулся воды на расстоянии 8 м? На сколько скорость камешка в момент удара о воду отличается от его начальной скорости?
ОТВЕТ: 17,7 м; на 0,6 м/с.
Задача № 18.
С какой начальной скоростью тело было брошено с высоты h в горизонтальном направлении, если в конце полёта компоненты вектора скорости υх и υy оказались одинаковыми? Чему равен угол между вектором скорости и осью X в момент падения на землю?
ОТВЕТ: υ0 = √[2qh]. α = 45°.
Задача № 19.
Тело брошено с некоторой начальной скоростью о0 под углом 0 < α < 90° к горизонтали. По какой траектории оно будет двигаться, если масштабы движения невелики и силы сопротивления не оказывают влияния на это движение? Равны ли начальная и конечная скорости полёта тела при этих условиях? Составьте кинематические уравнения для координат х и у, а также для компонент υх и υy вектора скорости тела в зависимости от времени. Какая величина принимает значение, равное 0: 1) в верхней точке траектории; 2) в конце полёта?
ОТВЕТ: по параболе; начальная и конечная скорости равны по модулю, но угол наклона вектора конечной скорости к поверхности земли меняет знак на противоположный; 1) υу = 0; 2) у = 0.
Задача № 20.
Лягушка совершает прыжок длиной 2 м под углом 45° к горизонтали. Определите: скорость, с которой приземляется лягушка; угол между вектором скорости и поверхностью земли в момент приземления; высоту прыжка; длительность прыжка.
ОТВЕТ: ≈ 4,4 м/с; 45°; 0,5 м; ≈ 0,64 с.
Задача № 21.
В разреженных слоях атмосферы траекторию полёта тела, брошенного под углом к горизонтали, можно считать параболой. Докажите, что при одинаковой начальной скорости υ0 дальность полёта тела будет одинаковой при сопряжённых углах, равных α и β = 90° – α (см. рис). Во сколько раз различается максимальная высота полёта при этих углах? Сопротивление среды не учитывайте.
Указание. 1) Составьте уравнения для Δх1, Δх2, Δу1 и Δу2; учтите, что Δt1 ≠ Δt2, Δх1 = Δх2, Δу1 = Δу2 = 0; 2) исключите Δt1 / Δt2 и получите равенство cos β / cos α = sin α / sin β, которое становится тождеством при условии, что угол β = 90° – α. Учтите также, что в верхней точке траектории υy1 = υy2 = 0.
ОТВЕТ: Δy1max / Δy2mах = tg2α.
Задача № 22.
Под каким углом к горизонтальной поверхности лучше бросить камешек, чтобы он улетел как можно дальше? Сопротивление воздуха не учитывайте.
ОТВЕТ: 45°.
Указание к решению. Составьте уравнения для Δх, Δу, выразите время t полёта и подставьте в уравнение для Δх. Вспомните, что 2 sin α cos α = sin 2α. Чтобы максимизировать дальность, нужно максимизировать sin 2α. Функция sin 2α достигает максимума, равного 1, когда 2α = 90°, то есть α = 45°.
Задача № 23.
В выбранной системе координат (см. рис.) для описания движения тела кинематические уравнения
υх = υ0 cos а,
υy = υ0 sin а – gt,
х = х0 + υ0 (cos а) t,
y = y0 + υ0 (sin а) t – gt2/2
являются универсальными. Рассмотрите несколько из возможных направлений вектора начальной скорости υ0, сделайте рисунки и упростите уравнения с учётом правила отсчёта углов и преобразований тригонометрических функций. Можно ли поступательно переносить систему координат? Изменятся ли при этом: а) знак проекции вектора υ0 и вектора g; б) начальные координаты? Сохранят ли свою универсальность уравнения, приведённые выше, если поменять направление оси Y на противоположное?
Указание к решению. Направления отсчёта углов
.
ОТВЕТЫ: можно; а) нет; б) да; сохранят.
Задача № 24.
Мяч для гольфа, отправленный в полёт с вершины холма высотой 10,0 м под углом 30° к горизонту, упал на землю через 8,2 с. Определите: модуль начальной скорости тела; дальность полёта; время, за которое мяч достиг наивысшей точки траектории; максимальную высоту полёта.
ОТВЕТ: ≈ 78 м/с; ≈ 640 м; ≈ 4 с; ≈ 88 м.
Конспект урока физики «ЗАДАЧИ: Движение тел в поле силы тяжести». Выберите дальнейшие действия:
- Перейти к теме: ЗАДАЧИ на все Законы Ньютона с решениями
- Посмотреть конспект «Второй закон Ньютона. Третий закон Ньютона»
- Вернуться к списку конспектов по Физике.