Задачи по геометрии 7 класс № 1 Основные геометрические фигуры (сборник вопросов и задач, ответы). Ориентировано на работу с любым учебником геометрии. Дидактические материалы. Смотрите также:
Задачи по геометрии 7 класс № 1
Основные геометрические фигуры
Краткая теория
Геометрия — наука, изучающая формы, размеры и взаимное расположение фигур. Слово геометрия — греческое, оно означает «землемерие» (гео — земля, метрео — измеряю). Геометрия состоит из двух разделов: планиметрии и стереометрии.
Планиметрия — средневековый термин, первая часть которого — «плани» — происходит от латинского слова «плоскость», а вторая — «метрия» — от греческого «мерить», т. е. буквально планиметрия означает «плоскомерие». В планиметрии изучаются плоские фигуры, т. е. расположенные в одной плоскости.
Стереометрия — греческое слово, составленное из «стерео» — тело — и «метрео» — измеряю. Таким образом, стереометрия — это «теломерие». В стереометрии изучаются неплоские фигуры, т. е. не лежащие в одной плоскости. Чаще их называют пространственными.
✅ Точка является идеализацией очень маленьких объектов, т. е. таких, размерами которых можно пренебречь. Изображение точки карандашом или ручкой только приближённое, потому что точка, нарисованная карандашом, всегда имеет хоть и очень маленькие, но ненулевые размеры, а геометрическая точка размеров не имеет. Точки обозначаются прописными латинскими буквами A, B, C, …, A1, B2, C3, …, A’, B», C'», …
✅ Прямая является идеализацией тонкой натянутой нити, края стола прямоугольной формы. По прямой распространяется луч света. Прямые проводятся на листе бумаги или доске с помощью линейки. Хотя изображения прямых ограничены, их следует представлять себе неограниченно продолженными в обе стороны. Прямые обозначаются строчными латинскими буквами a, b, c, …, a1, b2, c3, …, a’, b», c'», … или двумя прописными латинскими буквами AB, CD, …, A1B1, C2D2, …, A’B’, C»D», …
✅ Плоскость является идеализацией ровной поверхности воды, поверхности стола, доски, зеркала и т. п.
Точка, прямая и плоскость являются основными геометрическими фигурами в том смысле, что остальные фигуры определяются с их помощью. Сами же основные фигуры не определяются, для них указываются свойства, которым они удовлетворяют. Эти свойства называются аксиомами, что в переводе с греческого языка означает «достойное признания, не вызывающее сомнения».
Используя аксиомы, путём логических рассуждений выводятся (доказываются) свойства геометрических фигур, называемые теоремами. Особую роль при этом играют логические рассуждения — доказательства. Несмотря на то что некоторые свойства геометрических фигур могут показаться вытекающими из рисунка, тем не менее они нуждаются в доказательстве. Рисунок помогает найти доказательство, но не заменяет его.
Рассмотрим вопрос о взаимном расположении точек и прямых на плоскости. Точка может принадлежать данной прямой, в этом случае говорят также, что прямая проходит через точку, а может и не принадлежать ей, в этом случае говорят, что прямая не проходит через точку (рис. 1.3).
Если две прямые имеют одну общую точку, то говорят, что прямые пересекаются в этой точке (рис. 1.4). Если две прямые не имеют общих точек, то говорят, что прямые параллельны (рис. 1.5).
В качестве первых аксиом принимаются следующие свойства.
1) Через любые две точки проходит единственная прямая.
2) Для любой прямой существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, ей не принадлежащие.
Простые вопросы по теории
- Перечислите основные геометрические фигуры.
- Как изображаются и обозначаются: а) точки; б) прямые?
- Какие две прямые называются пересекающимися?
- Какие две прямые называются параллельными?
- Что в переводе с греческого языка означает слово «аксиома»?
- Сколько прямых проходит через две точки?
Устные упражнения (базовый и углубленный уровни)
№ 1.1. Как переводится греческое слово «геометрия»?
ОТВЕТ: Землемерие.
№ 1.2. Из каких двух основных разделов состоит геометрия? Как они называются и что в них изучается?
ОТВЕТ: Планиметрия и стереометрия.
№ 1.3. Где зародилась геометрия?
ОТВЕТ: В Древней Греции.
№ 1.4. Когда существовала Древняя Греция?
ОТВЕТ: VII в. до н. э. — III в. н. э.
№ 1.5. Назовите какие-нибудь философские школы Древней Греции.
ОТВЕТ: Ионийская школа: VII — VI вв. до н. э.; школа Пифагора: VI — V вв. до н. э.; школа Платона: V — IV вв. до н. э.; Александрийская школа: III — II вв. до н. э.
№ 1.6. Когда жил Пифагор?
ОТВЕТ: 580—500 гг. до н. э.
№ 1.7. Какая геометрическая фигура была отличительным знаком пифагорейцев?
ОТВЕТ: Пентаграмма — правильный звездчатый пятиугольник (рис. 01).
№ 1.8. Как пифагорейцы объясняли устройство мира?
ОТВЕТ: Пифагорейцы дали философское объяснение устройства мира, тесно связанное с математикой. Выделяя стихии как первоосновы бытия, древние ученые приписывали их атомам форму правильных многогранников, а именно: атомам огня — тетраэдра (рис. 02, а); земли — гексаэдра (рис. 02, б); воздуха — октаэдра (рис. 02, в); воды — икосаэдра (рис. 02, г). Всей Вселенной присваивалась форма правильного додекаэдра (рис. 02, д).
№ 1.9. Как называется самая знаменитая историческая книга по геометрии, написанная в Древней Греции? Кто ее автор?
ОТВЕТ: «Начала» Евклида.
№ 1.10. Какие геометрические фигуры являются основными? Почему? Что они идеализируют?
ОТВЕТ: Точка, прямая, плоскость. Точка является идеализацией очень маленьких объектов, т. е. таких, размерами которых можно пренебречь. Прямая является идеализацией тонкой натянутой нити, края стола прямоугольной формы, по прямой распространяется свет. Плоскость является идеализацией ровной поверхности воды, поверхности стола, доски, зеркала и т. п.
№ 1.11. Назовите несколько плоских и пространственных фигур.
№ 1.12. Как обозначаются: а) точки; б) прямые?
№ 1.13. Какие свойства основных геометрических фигур называются аксиомами?
№ 1.14. Как переводится слово «аксиома» с греческого языка?
ОТВЕТ: Например, «достойное признания, не вызывающее сомнения».
№ 1.15. Какие две прямые называются: а) пересекающимися; б) параллельными?
№ 1.16. Сколько прямых можно провести через: а) одну точку; б) две точки?
ОТВЕТ: а) Бесконечно много; б) одну.
№ 1.17. Сколько кривых можно провести через две точки?
ОТВЕТ: Бесконечно много.
№ 1.18. Через две данные точки проведены две различные линии. Могут ли они обе быть прямыми? Почему?
ОТВЕТ: Нет. Через две точки проходит только одна прямая.
№ 1.19. Можно ли провести прямую через две точки, одна из которых находится на полу, а другая — на потолке?
ОТВЕТ: Да.
№ 1.20. Сколько общих точек могут иметь две пересекающиеся прямые?
ОТВЕТ: Одну.
№ 1.21. Сколько прямых можно провести через три точки?
ОТВЕТ: Либо одну, либо ни одной.
№ 1.22. Сколько точек попарных пересечений могут иметь три прямые, лежащие в одной плоскости?
ОТВЕТ: Не более трех, т. е. ни одной, одну, две, три.
№ *1.23. Какое наименьшее и наибольшее число точек попарных пересечений имеют четыре прямые, лежащие в одной плоскости?
ОТВЕТ: Соответственно: ни одной, шесть.
№ *1.24. Какое наибольшее число прямых можно провести через различные пары из: а) четырех точек; б) пяти точек; в) п точек?
ОТВЕТ: а) 6; б) 10; в) n(n–1)/2.
№ *1.25. Сколько всего прямых можно провести через пары вершин: а) тетраэдра; б) куба?
ОТВЕТ: а) 6; б) 28.
Практические задания (базовый и углубленный уровни)
№ 1. Сколько общих точек могут иметь две пересекающиеся прямые?
ОТВЕТ: Одну.
№ 2. Могут ли две прямые иметь две общие точки?
ОТВЕТ: Нет.
№ 3. Какое наибольшее число точек попарных пересечений могут иметь три прямые?
ОТВЕТ: Три.
№ 4. Сколько прямых может проходить через различные пары из: а) трёх точек; б) четырёх точек? Рассмотрите возможные случаи.
ОТВЕТ: а) Одна, если точки принадлежат одной прямой; три, если они не принадлежат одной прямой; б) одна, если все точки принадлежат одной прямой; четыре, если три точки принадлежат одной прямой; шесть, если никакие три точки не принадлежат одной прямой.
№ 5. Сколько прямых изображено на рисунке 1.8? Сколько у них точек попарных пересечений?
ОТВЕТ: Пять прямых, десять точек попарных пересечений.
№ 6. Пусть точки A, B, C принадлежат одной прямой и точки B, C, D принадлежат одной прямой. Что можно сказать о всех точках A, B, C, D?
ОТВЕТ: Все точки принадлежат одной прямой.
№ 7. Пусть прямые a, b, c пересекаются в одной точке и прямые b, c, d пересекаются в одной точке. Что можно сказать о всех прямых a, b, c, d?
ОТВЕТ: Все прямые пересекаются в одной точке.
№ 8. Проведите прямую b и отметьте точки A, B, C, ей принадлежащие, и точки E, F, G, ей не принадлежащие. Сделайте соответствующие записи.
№ 9. Проведите две пересекающиеся прямые. Отметьте точку: а) их пересечения; б) на одной из них, не принадлежащую другой.
№ 10. Изобразите прямую и три точки, две из которых принадлежат прямой, а третья нет.
№ 11. Проведите три прямые, пересекающиеся в одной точке.
№ 12. Проведите три прямые, не пересекающиеся в одной точке, каждые две из которых пересекаются.
№ 13. По рисунку 1.9 запишите точки, принадлежащие и не принадлежащие прямым a и b.
№ 14. Изобразите три точки, принадлежащие одной прямой, и четвёртую точку, не принадлежащую этой прямой. Сколько всего прямых проходит через различные пары из этих точек?
ОТВЕТ: Четыре.
*№ 15. Даны три прямые. На каждой прямой взяты две точки. Сколько всего точек? Рассмотрите различные случаи.
ОТВЕТ: Три, четыре, пять или шесть.
*№ 16. Сколько прямых можно провести через различные пары из n точек, никакие три из которых не принадлежат одной прямой?
ОТВЕТ: n(n–1)/2.
*№ 17. Какое наибольшее число точек попарных пересечений могут иметь: а) три прямые; б) четыре прямые; в) пять прямых; г) n прямых?
ОТВЕТ: а) 3; б) 6; в) 10; г) n(n–1)/2.
*№ 18. Изобразите четыре прямые и четыре точки так, чтобы на каждой прямой было ровно две точки.
*№ 19. Изобразите пять прямых и десять точек так, чтобы на каждой прямой было ровно четыре точки.
*№ 20. Могут ли семь прямых попарно пересекаться в: а) семи точках; б) восьми точках?
ОТВЕТ: а), б) Да.
Вы смотрели: Задачи по геометрии 7 класс № 1 Основные геометрические фигуры (сборник вопросов и задач с частичными ответами). Ориентировано на работу с любым учебником геометрии.