Задачи по теме "Прямая. Окружность. Угол" - УчительPRO

Ключевые задачи по теме
«Прямая. Окружность. Угол»

Наглядная геометрия 7 класс. Задачи по теме «Прямая. Окружность. Угол» с ответами и решениями. Простые вопросы по теме. Непростые вопросы.



Вначале рассмотрим две главные задачи, которые встречаются практически во всех контрольных работах. Задачи эти очень простые. Но важно при решении сослаться на основное свойство измерения отрезков или углов.


Задача 1. На отрезке АВ, равном 24 см, взята точка М. Отрезок AM на 6 см больше отрезка МВ. Найдите длину отрезка МВ.

Решение. По основному свойству измерения отрезков AM + МВ = АВ. Пусть МВ=х см, тогда AM = (х+6) см. Получим х + (х+6) = 24,2х = 18, х=9.

Ответ: МВ = 9 см.


Задача 2. Внутри угла ВАС, равного 60°, из его вершины проведен луч AM. Угол ВАМ в 2 раза больше угла MAC. Найдите величину угла MAC.

Решение. По основному свойству измерения углов ∠BAM+ ∠MAC = ∠BAC. Пусть ∠MAC = х, тогда ∠BAM = 2х.
Получим х + 2х = 60°, 3х = 60°, х = 20°.

Ответ: ∠MAC = 20°.

Примечание. Возможен другой способ записи решения, где вместо ∠MAC = х пишут ∠MAC = х°.
∠MAC = х°, ∠BAM = 2х°; х + 2х = 60, 3х = 60, х = 20; ∠MAC = 20°.


Задача 3. Дано: О — центр окружности; АВ = 30 см, АК: КО = 3:2. Найти: КВ.

Решение. АО = ½ АВ = 15 см — радиус равен половине диаметра.
АК — 3 части, КО — 2 части, АО — 5 частей. На 1 часть приходится 15:5 = 3 (см).
КО = 2 • 3 = 6 (см), ОВ = АО = 15 см, КВ = КО + ОВ = 6 + 15 = 21 (см).

Ответ: 21 см.

Примечание. Второй способ записи решения: АК = 3х см, КО = 2х см, АВ = 10х см. По условию 10х = 30, тогда х = 3. КВ = КО + ОВ = 7х = 21 см.


Задача 4. Дано: ∠1 + ∠2 = 140°. Найти: ∠3.

Решение. ∠1 = ∠2 как вертикальные; ∠1 = 140° : 2 = 70°. ∠1 + ∠3 = 180° как смежные; ∠3 = 180° — 70° = 110°.

Ответ: 110°.


Задача 5. Докажите, что биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны.
Дано: ОК — биссектриса ∠AOC, ОМ — биссектриса ∠BOC.
Доказать: ∠KOM = 90°. 1л О в .

Доказательство. (Идея доказательства: сумма смежных углов равна 180°, тогда сумма половинок двух смежных углов 180° : 2 = 90°.)
∠AOC + ∠BOC = 180° как смежные;
∠СOM = ½ ∠COB по определению биссектрисы;
∠COK = ½ ∠COA по определению биссектрисы;
∠COM + ∠COK = ½ (∠COA + ∠COB) = ½ • 180°=90°.

Примечание. Мы показали возможное оформление задачи на контрольной работе. При решении задач на уроке и дома (по согласованию с учителем) можно делать менее строгие записи. Это значительно экономит время. Например, возможно такое «рабочее» оформление решения:
2х + 2у = 180° (свойство смежных углов);
х + у = 90°.


 

Простые вопросы по теме

  1. Сколько смежных углов имеет данный угол?
  2. Сколько вертикальных углов имеет данный угол?
  3. Если данный угол острый, то каким будет угол, смежный с ним? А вертикальный ему угол?
  4. Если данный угол тупой, то каким будет угол, смежный с ним? А вертикальный ему угол?
  5. Могут ли быть смежные углы равны?
  6. Если данный угол увеличить, то как изменится угол, смежный с ним? А вертикальный ему угол?
  7. Если данный угол уменьшить, то как изменится смежный с ним угол? А вертикальный ему угол?
  8. Если данный угол увеличить на 20°, то как изменится смежный с ним угол? А вертикальный ему угол?
  9. Если данный угол прямой, то каким будет смежный с ним угол? А вертикальный ему угол?
  10. Если данный угол увеличить в 2 раза, то как изменится смежный с ним угол? А вертикальный ему угол?
  11. Если данный угол тупой, то какой угол больше: смежный с данным или вертикальный ему?
  12. Даны две пересекающиеся прямые. Сколько пар смежных углов они образуют? сколько пар вертикальных?
  13. На прямой отметили точку. Сколько лучей можно указать?
  14. На прямой отметили 10 точек. Сколько лучей образовалось?
  15. Прямую разделили на части в десяти точках. Сколько и каких фигур образовалось?
  16. На прямой отметили 3 точки. Сколько отрезков образовалось при этом? А если отметить 4 точки?
  17. Не отрывая карандаша от бумаги, нарисуйте пятью прямолинейными отрезками звездочку. Сколько пар смежных углов при этом образовалось на рисунке? А сколько пар вертикальных?
  18. Какие заглавные буквы русского алфавита можно изобразить ломаными линиями. Какого вида эти ломаные?
  19. Сколько вы можете предложить неправильных вариантов написания слова «биссектриса»?
  20. Как переводится слово «градус»?
  21. Сколько теорем в данной теме?

ОТВЕТЫ на простые вопросы

  1. Два.
  2. Один.
  3. Смежный — тупой. Вертикальный — острый.
  4. Смежный — острый. Вертикальный — тупой.
  5. Да, если они по 90°.
  6. Смежный с ним угол уменьшится, вертикальный — увеличится.
  7. Смежный с ним угол увеличится, вертикальный — уменьшится.
  8. Смежный с ним угол уменьшится на 20°, вертикальный — увеличится на 20°.
  9. Смежный с ним угол — прямой, вертикальный ему — прямой.
  10. Смежный угол уменьшится, но не в 2 раза (были, например, углы 10° и 170°, стали 20° и 160°). Вертикальный угол увеличится в 2 раза.
  11. Смежный угол меньше, чем вертикальный, так как смежный будет острым, а вертикальный — тупым.
  12. Четыре пары смежных углов и две пары вертикальных.
  13. Два противоположных луча.
  14. Каждая из 10 точек будет началом двух противоположных лучей. Таким образом, всего образуется 20 лучей.
  15. 9 отрезков и 2 луча.
  16. Если 3 точки, то 3 отрезка. Если 4 точки, то 6 отрезков.
  17. Пять точек пресечения дадут по 4 пары смежных углов — всего 20 пар смежных. Пять точек пересечения дадут по 2 пары вертикальных углов — всего 10 пар вертикальных.
  18. Б, Г, И, Л, М, О, П, Р, С, Ь, Ъ. Из них: Г, И, Л, П, С — простые незамкнутые, Б, Р, Ь, Ъ — непростые незамкнутые, О — простая замкнутая ломаная.
  19. Например:
    биСектриса            биссектриССа               бЕСектриССа
    биСектриССа         бЕссектриса
    бЕСектриса            бЕссектриССа
  1. «Градус» переводится с латинского как «шаг», «ступень».
  2. 3.

Непростые вопросы

  • 22* Сколько условий требуется, чтобы углы были по определению смежными?
  • 23* Как звучит теорема о свойстве смежных углов в форме «Если…, то…»? Что в теореме дано, а что нужно доказать?
  • 24.* Как звучит утверждение, обратное теореме о свойстве смежных углов («Если …, то …»)? Верно ли это утверждение?
  • 25* Если у двух углов одна сторона общая и их сумма равна 180°, то обязательно ли они смежные?
  • 26.* Если у двух углов две стороны являются противоположными лучами и их сумма равна 180°, то обязательно ли они смежные?
  • 27* Как звучит теорема о свойстве вертикальных углов в форме «Если …, то …»? Что в теореме дано, а что нужно доказать?
  • 28* Как звучит утверждение, обратное теореме о свойстве вертикальных углов («Если то …»)? Верно ли это утверждение? Примечание. Если хотя бы в одном случае утверждение неверно, то в математике такое утверждение считается неверным. В математике не бывает одно и то же утверждение иногда верным, а иногда неверным.
  • 29* Если сторона одного угла является противоположным лучом к стороне другого и углы равны, то обязательно ли они вертикальные?
  • 30.* Если на прямой отметить 10 точек, то сколько отрезков при этом образуется? А если 100 точек? А если п точек?
  • 31* Если внутри угла из его вершины провести 5 лучей, то сколько углов при этом образуется? А если 100 лучей? А если п лучей?
  • 32* На плоскости дано 10 точек, из них никакие три не лежат на одной прямой. Сколько существует отрезков с концами в данных точках?
  • 33* На плоскости дано 10 прямых. Из них никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку. Сколько существует точек пересечения этих прямых?
  • 34* Изобразите шестизвенную замкнутую ломаную, каждое звено которой имеет только одну точку пересечения с каким-то другим звеном.
  • 35* Не отрывая карандаша от бумаги, соедините четырьмя прямолинейными отрезками изображенные 9 точек.

Ответы на непростые вопросы

22* Два: 1) одна сторона общая; 2) две другие — противоположные лучи.

23* «Если даны два смежных угла, то их сумма равна 180°». Дано: два смежных угла. Нужно доказать: их сумма равна 180°.

24.* «Если сумма двух углов 180°, то эти углы смежные». Это утверждение неверно. Например, любые два угла квадрата в сумме дают 180°, но они не являются смежными.

25* Нет.

26* Нет.

27* «Если углы вертикальные, то эти углы равны». Дано: два вертикальных угла. Нужно доказать: эти углы равны.

28* «Если два угла равны, то они вертикальные». Это утверждение неверно. Два любых угла прямоугольника равны, но они не являются вертикальными.

29* Нет.

30* Ответ: 45. Из них 9 одинарных, 8 двойных, 7 тройных, 6 четверных, 5 пятерных, 4 шестерных, 3 семерных, 2 восьмерных и 1 данный отрезок, т. е. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45. Можно рассуждать иначе: каждая из 10 точек образует с оставшимися 9 точками девять отрезков. Всего таких образований 10 • 9 = 90. Самих отрезков в 2 раза меньше, т. е. 90 : 2 = 45 (2 образования — относительно одного конца, а затем относительно второго конца отрезка — дают 1 отрезок).

Если точек 100, то количество отрезков составит 100 • 99 / 2 = 4950. Если точек n, то образуется n(n — 1)/2 отрезков.

31 .* Ответ: 21. Из них 6 одинарных, 5 двойных, 4 тройных, 3 пятерных, 2 шестерных и 1 данный угол. Можно рассуждать иначе: каждый из 7 лучей образует с оставшимися 6 лучами угол. Всего таких образований 7.6 = 42. Самих углов в два раза меньше: 42:2 = 21.

Если внутри провести 100 лучей, то углов будет 102 • 101 / 2 = 5151. А если n лучей, то всего образуется (n + 2)(n +1)/2 углов.

Примечание. Мы не считали углы, большие 180°.

32* Каждая из 10 точек образует с оставшимися 9 точками отрезок. Всего таких образований 10 • 9 = 90. Самих отрезков в 2 раза меньше, т. е. 90:2 = 45.

33* Любая из 10 прямых пересекает каждую из 9 остальных в некоторой точке. Всего для данной прямой 9 точек пересечения. И для каждой из 10 прямых будет 9 точек пересечения с оставшимися 9 прямыми. Получаем 10-9 = 90 точек пересечений. Но при этом каждая точка засчитана дважды: относительно одной, а затем относительно второй прямой. Поэтому всего точек пересечения в 2 раза меньше, т. е. 90:2 = 45.


Ключевые задачи по теме «Прямая. Окружность. Угол». Выберите дальнейшие действия:

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Send this to a friend