ЗАДАЧИ Скалярное произведение векторов
Наглядная геометрия 9 класс. ЗАДАЧИ Скалярное произведение векторов. Сначала необходимо изучить конспект «Умножение вектора на число. Скалярное произведение векторов».
Краткая теория по теме
Примеры решения задач
Задача № 1. ★☆☆ Дан вектор m(а, b). Найдите координаты перпендикулярного к нему вектора.
Решение. Для искомого вектора n(x, у) должно выполняться равенство а • x + b • у = 0. Например, этому равенству удовлетворяют x = b, у = –а. Следовательно, искомый вектор n имеет координаты (b, –а). Заметим, что для любого числа x, отличного от нуля, вектор n с координатами (b • x, –а • x) также будет перпендикулярен вектору m.
Задача № 2. ★☆☆ Найдите угол A треугольника с вершинами A(–1, √3), B(1, √3), C(1/2, √3).
Решение. Воспользуемся определением скалярного произведения векторов AB и AC. Имеем AB • AC = |АВ| • |АС| • cos A. Вычислим это скалярное произведение через координаты векторов. Вектор AB имеет координаты (2, –2√3), вектор AC имеет координаты (3/2, 0). Следовательно, скалярное произведение векторов AB и AC равно 3. Найдём теперь длины этих векторов: |AB| = √[4 + 12] = 4, |АC| = 3/2. Подставляя эти данные в формулу скалярного произведения, получим 3 = 4 • 3/2 • cos A. Откуда cos A = 1/2 и, следовательно, ∠A = 60°.
Задача № 3. ★☆☆ Найдите косинус угла между векторами а{3; –3} и b{7; 1} в декартовой системе координат.
ОТВЕТ: 0,6.
Задача № 4. ★☆☆ Стороны АВ и AD параллелограмма ABCD равны 2 и 3, а угол между ними равен 60°. Точки Е и К – середины его сторон ВС и CD. Найдите скалярное произведение векторов АЕ и ВК.
ОТВЕТ: 4,75.
Задача № 5. ★☆☆ Медианы, проведённые к боковым сторонам равнобедренного треугольника, перпендикулярны. Найдите косинус угла между этими сторонами.
ОТВЕТ: 0,8.
Задача № 6. ★★☆ В равнобедренном треугольнике АВС точка М – середина боковой стороны ВС, точка К – середина отрезка AM, а точка О – середина ВК. Найдите косинус угла АВС, если прямые СО и АВ перпендикулярны.
ОТВЕТ: 2/7.
Задача № 7. ★★☆ Вершины треугольника имеют координаты (1; 4), (3; 0) и (4; 5). Найдите координаты точки пересечения его высот.
ОТВЕТ: (12/7; 27/7).
Задача № 8. ★★★ В окружность радиуса R вписан треугольник с углами 15° и 60°. Найдите расстояние от её центра до точки пересечения медиан этого треугольника.
ОТВЕТ: √2 • R / 3.
(с) В учебных целях использованы цитаты из учебных пособий:
— «Математическая вертикаль. Геометрия. 9 класс : учебное пособие / М.А.Волчкевич — 1-е изд. — М.: Просвещение, 2022».
— «Геометрия. 9 класс : учебное пособие для общеобразоват. организаций / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – М. : Мнемозина, 2024»
Вы смотрели: Конспект по теме «ЗАДАЧИ Скалярное произведение векторов». Выберите дальнейшие действия:
- Вернуться к Списку конспектов по геометрии
- Смотреть «Векторы: равенство, сложение, разность, умножение«
- Смотреть «Система координат. Координаты вектора»
- Смотреть «Решение задач по теме Векторы (без координат)»