Конспект "Как сравнить два выражения" - УчительPRO

Как сравнить два выражения

Алгоритм решения задач по алгебре на тему «Как сравнить два выражения».

При сравнении чисел составляют их разность и выясняют, ка кое число получается в ответе – положительное, отрицательное или нуль.

Число а больше числа b, если разность чисел а – b положительное число: а > b, если а – b > 0.
Число а меньше числа b, если разность а – b отрицательное число: а < b, если а – b < 0.

Подробнее о  сравнении чисел смотрите в конспекте «Числовые неравенства. Сравнение чисел».


 

АЛГОРИТМ
«Как сравнить два выражения»

  1. Составьте разность двух выражений и упростите (раскройте скобки, приведите подобные слагаемые).
  2. Определите знак полученной разности: если разность больше нуля, то первое выражение больше второго; если разность меньше нуля, то первое выражение меньше второго; если знак установить нельзя при всех значениях букв, входящих в разность, то нельзя утверждать, что одно из выражений больше другого при любых значениях букв.

 

ПРИМЕР 1. Даны выражения:   4b(b + 1) (I)   и   (2b + 7)(2b – 8) (II).
1). Сравните значения выражений при b = –2; b = 10.
2). Можно ли утверждать, что при любом значении b значение первого выражения больше, чем значение второго?

Решение.

I. ⇒   1). Если b = –2, то 4 • (–2)(–2 + 1) = –8 • (–1) = 8 (I)
2). (2 • (–2) + 7)(2 • (–2) – 8) = 3 • (–12) =–36 (II)
3). 8 – (–36) = 44; 44 > 0

II. ⇒  1). Если b = 10, то 4 • 10 • (10 + 1) = 40 • 11 = 440 (I)
2). (2 • 10 + 7)(2 • 10 – 8) = 27 • 12 = 324 (II)
3). 440 – 324 = 116; 116 > 0

В обоих случаях значение первого выражения больше значения второго.

III. Найдем разность первого и второго выражений (I) – (II):
4b(b + 1) – (2b + 7)(2b – 8) = (4b2 + 4b) – (4b2 – 2b – 56) = 4b2 + 4b – 4b2 + 2b + 56 = 6b + 56

Разность (I) и (II) выражений равна 6b + 56. Это выражение не при всех значениях b положительно. Например, при b = –10, –11, –12… значение выражения отрицательно. Поэтому нельзя утверждать, что мри всех значениях b значение (I) выражения больше значений (II) выражения.


ПРИМЕР 2. Верно ли неравенство (3х + 8)2 > 3х(х + 16) при любом значении х?

Решение.

1). Преобразуем выражения, стоящие в левой и правой частях неравенства:

(3х + 8)2 > 3х(х + 16) (I)
(3х)2 + 2 • 3х • 8 + 64 > 3х2 + 48х
2 + 48х + 64 > 3х2 + 48х (II)2). Составим разность:(3х + 8)2 – 3х(х + 16) = 9х2 +48х + 64 – (3х2 +48х) =
= 9х2 +48х + 64 – 3х2 – 48х = 6х2 +64 (III)
 

(a + b)2 = a2 + 2 ab + b2

если a – b > 0,

то а > b

3). 6х2 + 64 > 0 при всех значениях х, так как х2 ≥ 0 при любых значениях х; значит, неравенство (III) верно при любых значениях х, значит, и неравенство (I) верное.

Ответ: неравенство верно.


ПРИМЕР 3. Докажите, что а + 1/а ≥ 2, а > 0.

Доказательство.

Составим разность и упростим:

что и требовалось доказать.

если а – b ≥ 0, то а ≥ b
a > 0 по условию
(а — 1)2  > 0,
при а = 1 получаем нуль

 

ПРОВЕРЬ СЕБЯ

  1. Сравните числа х и у, если разность  х – у  равна:   1) –3;    2) 5;    3) 0.
  1. Что больше:   a3 + b3   или   ab(a + b),   a > 0,   b > 0,   a ≠ b?

Вы смотрели алгоритм решения задач по алгебре на тему «Как сравнить два выражения».

Вернуться в раздел «АЛГЕБРА»

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Send this to a friend