Ключевые задачи по теме
Окружности

Ключевые задачи по теме Окружности наглядной геометрии к опорному конспекту по теме «Окружности».

Ключевые задачи №№ 1-6

Задача № 1. Угол АВС равен 68°. Найдите угол ADC.

ОТВЕТ: 112°.
Решение. Дуги АВС и ADC дополняют друг друга до окружности, поэтому в сумме равны 360°. Каждый из углов АВС и ADC равен половине своей дуги. Поэтому в сумме они равны 180°. ∠ADC = 180° – ∠ABC = 180° – 68° = 112°.

Следствия.
1. Вписанные углы, опирающиеся на дополнительные дуги, в сумме составляют 180°.
2. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по разные стороны от хорды, в сумме составляют 180°, т. е. ∠В + ∠D = 180°, ∠А + ∠С = 180°.

 Задача № 2. Докажите, что параллельные прямые высекают на окружности равные дуги.

Дано: АВ || CD. Доказать: ∪AC = ∪BD.
Доказательство. ∠BAD = ∠ADC как накрест лежащие при параллельных прямых и секущей AD. Так как ∠BAD и ∠ADC — равные вписанные углы и вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую опирается, то ∪АС = ∪BD. 

Задача № 3. Докажите, что равные дуги стягивают равные хорды и обратно.

Доказательство. 1) Если ∪AB = ∪СD то ∠AОВ = ∠COD, и поэтому △АОВ = △COD по двум сторонам (радиусы равны) и углу между ними. Отсюда АВ = CD.
2) Если АВ = CD, то с учетом равенства радиусов △АОВ = △COD по трем сторонам. Тогда ∠АОВ = ∠COD, откуда ∪АВ = ∪CD.

 Задача № 4. Найдите угол α между касательными, если вписанный угол ВКС равен β.

ОТВЕТ: 180° – 2β.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Задача № 5. Расстояние от точки А до центра окружности равно 13 см, радиус окружности равен 5 см. Найдите периметр треугольника AMN, где MN — касательная.

ОТВЕТ: 24 см.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Задача № 6. Две окружности касаются внешним образом в точке К. Точки А и В — точки касания общей внешней касательной. Докажите, что ∠АКВ = 90°.

Доказательство. Пусть МК — общая внутренняя касательная окружностей. По свойству касательных, проведенных из одной точки, МА = МК и МВ = МК. Тогда КМ — медиана △АКВ и она равна половине стороны АВ. По известному свойству (7 класс, тема 4, ключевая задача № 2) данный треугольник — прямоугольный и ∠AKB = 90°.

Ключевые задачи по теме Окружности

Ключевые задачи №№ 7-13

Задача № 7. Впишите в данный угол А окружность с радиусом, равным данному отрезку m.
Построение. Строим биссектрису АК данного угла. Строим прямую l, параллельную одной из сторон угла, с расстоянием между ними, равным m. Из точки О пересечения биссектрисы АК с прямой l опускаем перпендикуляр ON на сторону угла. Строим окружность с центром в точке О и радиусом r = ON. Построенная окружность — искомая.

Доказательство. Доказательство следует из теоремы о том, что центры окружностей, вписанных в угол, лежат на биссектрисе угла, и того, что ON = m как расстояние от l до AN.

 Задача № 8. Расстояние от точки М до центра окружности равно 8 см. Через точку М проходит хорда АВ так, что AM = 3 см, МВ = 12 см. Найдите радиус окружности.

ОТВЕТ: 10 см.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Задача № 9. Докажите, что линия центров перпендикулярна общей хорде двух пересекающихся окружностей (см.ниже: Непростые вопросы, вопрос № 20).

Доказательство. Так как точки О₁ и О₂ равноудалены от концов отрезка АВ, то они лежат на серединном перпендикуляре к нему. Но через две точки проходит единственная прямая. Поэтому О₁О₂ — серединный перпендикуляр к отрезку АВ.

 Задача № 10. Хорды BD и АС взаимно перпендикулярны, ∠ABD = 70°.
Найдите угол между прямыми АВ и CD.

ОТВЕТ: 50°.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Задача № 11. Из точки А проведены две секущие АВ и АС так, что АК = 3 см, КВ = 5 см, МС = 2 см.
Найдите AM.

ОТВЕТ: 4 см.
Решение. Произведения отрезков секущих, проведенных из одной точки, равны, так как эти произведения равны квадрату отрезка общей касательной (см.ниже: вопрос № 16). Поэтому АВ • АК = АС • AM, т. е. 3 • (3 + 5) = (х + 2) • х. Получим квадратное уравнение х² + 2х – 24 = 0, x₁ = –6, х₂ = 4. По смыслу задачи х = 4, т. е. AM = 4 см.

 Задача № 12. Две окружности с радиусами 25 см и 16 см касаются внешним образом. К ним проведена общая внешняя касательная. Найдите радиус меньшей окружности, которая касается двух данных и их общей внешней касательной, как указано на рисунке.
ОТВЕТ: 4 ⁷⁶/₈₁ см.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Задача № 13. Найдите длину отрезка внутренней касательной, заключенного между точками касания, если радиусы окружностей R = 5 см и r = 3 см, расстояние между центрами d = 10 см.

ОТВЕТ: 6 см.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Две задачи на построение

Задача А (на построение).
Постройте общую внешнюю касательную двух окружностей с центрами О₁ и О₂.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Задача В (на построение).
Постройте дугу окружности, из каждой точки которой данный отрезок а виден под данным углом α.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Ключевые задачи по теме Окружности

Дополнительный материал

ПРОСТЫЕ ВОПРОСЫ с ответами

№ 1. Сколько касательных можно провести к окружности через точку вне окружности?
ОТВЕТ: Две.

№ 2. Сколько касательных можно провести к окружности через точку, лежащую на окружности?
ОТВЕТ: Одну.

№ 3. Сколько секущих можно провести к окружности через точку вне окружности?
ОТВЕТ: Бесконечно много.

№ 4. Сколько градусов содержит четверть окружности? треть окружности?
ОТВЕТ: Четверть окружности содержит 90°, треть — 120°.

№ 5. Сколько общих точек могут иметь стороны угла и окружность? Нарисуйте все варианты.
ОТВЕТ: Ни одной, одну, две, три или четыре.

№ 6. Что можно сказать о вписанных углах, которые опираются на равные дуги?
ОТВЕТ: Они равны.

№ 7. Что можно сказать о центральных углах, которые опираются на равные дуги?
ОТВЕТ: Они равны.

№ 8. Из центра окружности провели два радиуса. Сколько центральных углов получилось? Сколько градусов они составляют в сумме? Сколько дуг получилось при этом? Сколько градусов они составляют в сумме?
ОТВЕТ: Два. 360°. Две. 360°.

№ 9. В угол вписаны две окружности. На какой линии лежат их центры?
ОТВЕТ: На биссектрисе угла.

№ 10. Окружности касаются внутренним образом, и меньшая окружность проходит через центр большей. Чему равно отношение их радиусов?
ОТВЕТ: 1 : 2.

№ 11. Вершины двух вписанных углов лежат по разные стороны от хорды, на которую они опираются. Чему равна сумма этих углов?
ОТВЕТ: 180°, так как каждый из этих углов равен половине соответствующей дуги, а сумма этих дуг — 360°.

№ 12. Даны две хорды АВ = 12 см и ВС =13 см. Одна из них является диаметром. Какая?
ОТВЕТ: ВС, так как диаметр — это самая большая хорда.

НЕПРОСТЫЕ ВОПРОСЫ с ответами

№ 13. Окружности касаются внутренним образом. Может ли центр большей окружности лежать между точкой касания и центром меньшей окружности? Почему?
ОТВЕТ: Нет, так как радиус внутренней окружности всегда меньше радиуса внешней.

№ 14. Две окружности с радиусами а и b касаются окружности радиуса R внутренним образом и друг друга — внешним образом. Как связаны значения а, b и R?
ОТВЕТ: R ≤ a + b, так как для треугольника, образованного линиями центров, справедливо неравенство (R – а) + (R – b) < а + b, откуда следует, что R < a + b.

№ 15. Окружности разного радиуса расположены, не касаясь внешним образом. Центр одной из окружностей начинает двигаться по линии центров в сторону второго центра, пока окружности снова не окажутся расположены, внешним образом не касаясь друг друга. Запишите последовательность чисел, состоящую из количества общих точек окружностей, получаемых в процессе перемещения.
ОТВЕТ: 0; 1; 2; 1; 0; 1; 2; 1; 0.

№ 16. Сколько общих точек могут иметь вместе все стороны треугольника и окружность? Нарисуйте все варианты.
ОТВЕТ: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6.

№ 17. Какое наибольшее количество общих точек могут иметь все стороны прямоугольника и окружность?
ОТВЕТ: 8.

№ 18. Как измеряется угол между касательной и секущей, проведенными из одной точки, лежащей вне окружности?
ОТВЕТ: Полуразностью двух дуг, высекаемых секущей и точкой касания. Частный случай угла между секущими.

№ 19. Как измеряется угол между касательными, проведенными из одной точки?
ОТВЕТ: Полуразностью двух дуг, на которые окружность разбивается точками касания. Частный случай угла между секущими.

№ 20. Почему линия центров двух пересекающихся окружностей перпендикулярна их общей хорде?
ОТВЕТ: Каждый из центров равноудален от концов общей хорды и поэтому лежит на серединном перпендикуляре к хорде.

№ 21. Почему диаметр — самая большая хорда?
ОТВЕТ: Угол, опирающийся на диаметр, — прямой, и катет меньше гипотенузы.

№ 22. Очевидно, что большая хорда стягивает большую дугу. Объясните это.
ОТВЕТ: Равные хорды стягивают равные дуги (из равенства равнобедренных треугольников с вершиной в центре окружности). Отложим две данные не равные хорды от одной точки окружности и соединим их концы. В треугольнике против большей стороны (хорды) лежит больший угол, а больший вписанный угол соответствует большей дуге окружности.

(с) В учебных целях использованы цитаты из учебного пособия «Наглядная геометрия. 9 класс : пособие для учащихся учреждений общ. сред, образования с рус. яз. обучения / В. В. Казаков. — 4–е изд. — Минск: Аверсэв, 2015».

Геометрия: «Ключевые задачи по теме Окружности». Выберите дальнейшие действия:

• Вернуться к Списку конспектов по геометрии
• Смотреть опорный конспект по теме «Окружности»