Ключевые задачи по теме
Четырехугольники
Вы смотрите ключевые задачи по теме Четырехугольники наглядной геометрии к опорному конспекту по теме «Четырехугольники».
Ключевые задачи №№ 1-6
Задача № 1. В прямоугольнике боковая сторона равна 7, а основание 11, отношение диагоналей 7 к 6. Найдите длины диагоналей.
ОТВЕТ: 12; 14.
Задача № 2. Докажите, что биссектриса угла параллелограмма отсекает от него paвнобедренный треугольник.
Доказательство. Так как АК – биссектриса ∠BAD, то ∠t = ∠2.
Так как AD || ВС, то ∠1 = ∠3 как накрест лежащие.
Тогда ∠2 = ∠3 и △AВК – равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника.
Задача № 3. Докажите, что биссектрисы внутренних углов параллелограмма, пересекаясь, образуют прямоугольник.
Доказательство. Сумма углов А и В параллелограмма равна 180°. Биссектрисы АК и ВК делят углы А и В пополам. Поэтому ∠l + ∠2 = 90°. Тогда ∠AКВ = 90° и вертикальный с ним равен 90°.
Аналогично доказываем, что остальные углы полученного четырехугольника прямые. Так как соседние углы четырехугольника в сумме составляют 180°, то это – параллелограмм. Параллелограмм, у которого все углы прямые, есть прямоугольник.
Замечание. У параллелограмма, который является ромбом, биссектрисы углов пересекаются в одной точке.
Задача № 4. Докажите, что угол между высотами параллелограмма, проведенными из одной вершины, равен углу при соседней вершине.
Доказательство. 1 способ. а) Опустим высоту из вершины тупого угла В параллелограмма. Так как ВК ⊥ AD и ВС || AD, то ВК ⊥ ВС. △ВМС – прямоугольный. Тогда ∠1 и ∠2 дополняют ∠3 до 90°. Значит, ∠1 = ∠2.
б) Опустим высоты из вышины острого угла А параллелограмма на продолжение его сторон. Так как сумма внутренних углов четырехугольника АКСМ равна 360° и углы К и М – прямые, то ∠1 + ∠3 = 180°. Но ∠2 + ∠3 = 180° кик соседние углы параллелограмма. Отсюда ∠1 = ∠ 2.
2 способ. Доказательство следует из теоремы «Углы с соответственно перпендикулярными сторонами равны, если они одновременно острые или тупые».
Задача № 5. Докажите, что середины сторон выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма.
Задача № 6. Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
Доказательство. Продлим медиану СМ на её длину, т.е. МК = СМ. Четырехугольник САКВ — прямоугольник, поскольку он – параллелограмм (его диагонали АВ и СК, пересекаясь, делятся пополам) с прямым углом. ‘Гак как диагонали прямоугольника равны, то АВ = СК и СМ = 1/2 • АВ.
Ключевые задачи №№ 7-12
Задача № 7. ABCD — параллелограмм, М и К – середины сторон AD и CD. Докажите, что отрезки ВМ и ВК делят диагональ АС на три равные части.
Доказательство. Так как ВО = OD, то АО — медиана △АBD, ВМ – медиана △АВD. Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1. Поэтому АЕ = 2ЕО. Так как АО = ОС, то AЕ = EF = FС.
Задача № 8. Найдите длину отрезка, соединяющею середины диагоналей трапеции, основания которой равны а и b.
ОТВЕТ: (a–b)/2.
Задача № 9. В равнобедренной трапеции с основаниями а и b (a > b) и вершины, принадлежащей меньшему основанию, опущена высота. Найдите отрезки, на которые она разбивает большее основание.
ОТВЕТ: (a–b)/2; (a+b)/2.
Задача № 10. Докажите, что высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.
Задача № 11. Докажите, что если у треугольника равны две медианы, то он – равнобедренный.
Доказательство. Пусть AM = СК, где AM и СК – медианы. Рассмотрим △АОК и △СОМ. Так как медианы делятся в отношении 2 : 1, то ОК = ОМ, АО = СО, ∠AOK = ∠COM как вертикальные. Тогда △АОК = △СОМ по 1-му признаку. АК = СМ как соответственные, откуда АВ = ВС, т.е. △АВС – равнобедренный,
Замечание. Мы доказали еще один признак равнобедренного треугольника.
Задача № 12. Постройте трапецию по четырем сторонам a, b, с, d.
Следствие. Трапеция с основаниями a, b (а > b) и боковыми сторонами с и d существует, если числа а–b, с и d удовлетворяют неравенству треугольника.
Например, если a = 10, b = 6, c = 3, d = 7, то a–b = 10 – 6 = 4. Числа 4, 3 и 7 не могут быть длинами сторон треугольника, так как 4+3=7. Поэтому трапеции с указанными размерами не существует.
Ключевые задачи по теме Четырехугольники
Дополнительные вопросы по теме
ПРОСТЫЕ ВОПРОСЫ
№ 1. Сколько диагоналей у выпуклого пятиугольника?
ОТВЕТ: Пять.
№ 2. Является ли любой параллелограмм прямоугольником?
ОТВЕТ: Нет.
№ 3. Является ли любой прямоугольник параллелограммом?
ОТВЕТ: Да.
№ 4. Является ли любой параллелограмм ромбом?
ОТВЕТ: 11ет.
№ 5. Является ли любой ромб параллелограммом!
ОТВЕТ: Да.
№ 6. Является ли квадрат параллелограммом?
ОТВЕТ: Да.
№ 7. Является ли квадрат прямоугольником?
ОТВЕТ: Да
№ 8. Является ли квадрат ромбом?
ОТВЕТ: Да.
№ 9. Сколько свойств параллелограмма вы знаете?
ОТВЕТ: Пять.
№ 10. Сколько свойств прямоугольника вы знаете?
ОТВЕТ: Шесть.
№ 11. Сколько свойств ромба вы знаете?
ОТВЕТ: Семь.
№ 12. Сколько свойств квадрата вы знаете?
ОТВЕТ: Восемь.
№ 13. У какого четырехугольника все стороны и все углы равны?
ОТВЕТ: У квадрата. (Это признак квадрата.)
№ 14. Сколько средних линий у треугольника?
ОТВЕТ: Три.
№ 15. От какого слова произошло слово «трапеция»?
ОТВЕТ: Трапеза (прием пищи).
НЕПРОСТЫЕ ВОПРОСЫ
№ 16. Как переводится слово «ромб»?
ОТВЕТ: Бубен (1-я версия), волчок (2-я версия).
№ 17. Может ли сумма внутренних углов какого-то многоугольника быть больше 1 000 000°?
ОТВЕТ: Да.
№ 18. Если известно, что у параллелограмма один прямой угол, то что это за фигура? Почему?
ОТВЕТ: Прямоугольник. Из того, что соседние углы параллелограмма в сумме дают 180°, следует, что все углы этого параллелограмма прямые.
№ 19. Если у четырехугольника противоположные углы равны, то что это за фигура? Почему?
ОТВЕТ: Параллелограмм. Так как сумма углов любого четырехугольника равна З60°, то на долю соседних углов данного четырехугольника приходится 360° : 2 = 180°, и поэтому его противоположные стороны параллельны.
№ 20. Если у ромба диагонали равны, то что это за фигура? Почему?
ОТВЕТ: Квадрат. Ромб — параллелограмм. Параллелограмм с равными диагоналями прямоугольник. У ромба стороны равны. Прямоугольник с равными сторонами — квадрат. (Это признак квадрата.)
№ 21. Если у прямоугольника диагонали перпендикулярны, то что это за фигура? Почему?
ОТВЕТ: Квадрат. Прямоугольник – параллелограмм. Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями — ромб. У ромба стороны равны. Прямоугольник с равными сторонами — квадрат. (Это признак квадрата.)
№ 22. Если у параллелограмма диагонали равны и перпендикулярны, то что это за фигура? Почему?
ОТВЕТ: Квадрат. Так как у параллелограмма диагонали равны, то это прямоугольник, а так как диагонали перпендикулярны, то — ромб. Нo y ромба стороны равны. Прямоугольник с равными сторонами – квадрат. (Это признак квадрата.)
№ 23. Если у четырехуголъника все углы прямые, то что это за фигура? Почему?
ОТВЕТ: Прямоугольник. Поскольку противоположные углы равны, то это параллелограмм (вопрос 18). А параллелограмм с прямыми углами — прямоугольник,
№ 24. Если у четырехугольника все углы равны, то что это за фигура? Почему?
ОТВЕТ: Прямоугольник. Каждый из углов четырехугольника равен 360° : 4 = 90°. Так как сумма любой пары соседних углов равна 180°, а противопoложные стороны четырехугольника параллельны, и это – параллелограмм. А параллелограмм с прямыми углами – прямоугольник:
№ 25. Если у четырехугольника все стороны равны, то что это за фигура? Почему?
ОТВЕТ: Ромб. Из равенства противоположных углов следует, что это параллелограмм. А параллелограмм с равными сторонами — это ромб.
№ 26. У какого из прямоугольников диагональ лежит на биссектрисе его угла?
ОТВЕТ: У квадрата, так как квадрат является и ромбом.
№ 27. Может ли прямоугольник быть ромбом? При каком условии?
ОТВЕТ: Да. Если этот прямоугольник — квадрат.
№ 20. Может ли ромб быть прямоугольником? При каком условии?
ОТВЕТ: Да. Если этот ромб — квадрат,
№ 29. Придумайте признак равенства параллелограммов.
ОТВЕТ: Например, по двум сторонам и углу между ними.
№ 30. Придумайте признак равенства трапеций.
ОТВЕТ: Например, по четырем сторонам (соответственным).
(с) В учебных целях использованы цитаты из учебного пособия «Наглядная геометрия. 9 класс : пособие для учащихся учреждений общ. сред, образования с рус. яз. обучения / В. В. Казаков. — 4–е изд. — Минск: Аверсэв, 2015».
Геометрия: «Ключевые задачи по теме Четырехугольники». Выберите дальнейшие действия:
- Вернуться к Списку конспектов по геометрии
- Смотреть опорный конспект по теме «Четырехугольники»