Конспект "Натуральные числа. Признаки делимости. НОД и НОК"
Натуральные числа. Действия

«Натуральные числа. Признаки делимости. НОД и НОК.»

Ключевые слова конспекта: Натуральные числа. Арифметические действия над натуральными числами. Делимость натуральных чисел. Простые и составные числа. Разложение натурального числа на простые множители. Признаки делимости на 2,  3,  5,  9,  4,  25,  10, 11. Наибольший общий делитель (НОД), а также наименьшее общее кратное (НОК). Деление с остатком.



Натуральные числа — это числа, которые используются для счета предметов — 1, 2, 3, 4, … Но число 0 не является натуральным!

Множество натуральных чисел обозначают N. Запись «3 ∈ N» означает, что число три принадлежит множеству натуральных чисел, а запись «0 ∉ N» означает, что число нуль не принадлежит этому множеству.

Десятичная система счисления — позиционная система счисления по основанию 10.

десятичная


Арифметические действия над натуральными числами

Для натуральных чисел определены следующие действия: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня.  Первые четыре действия являются арифметическими.

Пусть a, b и c — натуральные числа, тогда

1. СЛОЖЕНИЕ. Слагаемое + Слагаемое = Сумма

Свойства сложения
1. Переместительное а + b = b + а.
2. Сочетательное а + (b + с) = (а + b) + с.
3. а + 0= 0 + а = а.

2. ВЫЧИТАНИЕ. Уменьшаемое — Вычитаемое = Разность

Свойства вычитания
1. Вычитание суммы из числа а — (b + с) = а — b — с.
2. Вычитание числа из суммы  (а + b) — с = а + (b — с);   (а + b) — с = (а — с) + b.
3. а — 0 = а.
4. а — а = 0.

3. УМНОЖЕНИЕ. Множитель * Множитель = Произведение

Свойства умножения
1. Переместительное а*b = b*а.
2. Сочетательное а*(b*с) = (а*b)*с.
3. 1 * а = а * 1 = а.
4. 0 * а = а * 0 = 0.
5. Распределительное (а + b) * с = ас + bс;   (а — b) * с = ас — bс.

4. ДЕЛЕНИЕ. Делимое : Делитель = Частное

Свойства деления
1. а : 1 = а.
2. а : а = 1.   Делить на ноль нельзя!
3. 0 : а= 0.

Натуральные числа. Действия

Порядок действий

1. Прежде всего действия в скобках.
2. Потом умножение, деление.
3. И только в конце сложение, вычитание.


Делимость натуральных чисел. Простые и составные числа.

Делителем натурального числа а называется натуральное число, на которое а делится без остатка. Число 1 является делителем любого натурального числа.

Натуральное число называется простым, если оно имеет только два делителя: единицу и само это число. Например, числа 2, 3, 11, 23 — простые числа.

Число, имеющее более двух делителей, называется составным. Например, числа 4, 8, 15, 27 — составные числа.

простые и составные числа

Признак делимости произведения нескольких чисел: если хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число. Произведение 24 • 15 • 77 делится на 12, поскольку множитель этого числа 24 делится на 12.

Признак делимости суммы (разности) чисел: если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и вся сумма делится на это число. Если а : b и c : b, то (а + c) : b. А если а : b, а c не делится на b, то a + c не делится на число b.

Если а : c и c : b, то а : b. Исходя из того, что 72 : 24 и 24 : 12, делаем вывод, что 72 : 12.

Представление числа в виде произведения степеней простых чисел называют разложением числа на простые множители.

Основная теорема арифметики: любое натуральное число (кроме 1) либо является простым, либо его можно разложить на простые множители только одним способом.

При разложении числа на простые множители используют признаки делимости и применяют запись «столбиком» В таком случае делитель располагается справа от вертикальной черты, а частное записывают под делимым.

Например, задание: разложить на простые множители число 330. Решение:


Признаки делимости  на  2,  5,  3,  9,  10,  4,  25  и  11.

Существуют признаки делимости на 6, 15, 45 и т. д., то есть на числа, произведение которых можно разложить на множители 2, 3, 5, 9 и 10.


Наибольший общий делитель 

Наибольшее натуральное число, на которое делится нацело каждое из двух данных натуральных чисел, называется наибольшим общим делителем этих чисел (НОД).   Например, НОД (10; 25) = 5;   а НОД (18; 24) = 6;    НОД (7; 21) = 7.

Если наибольший общий делитель двух натуральных чисел равен 1, то эти числа называются взаимно простыми.

взаимно простые числа

Алгоритм нахождения наибольшего общего делителя (НОД)

 Алгоритм нахождения НОД

НОД часто используется в задачах. Например, между учениками одного класса поделили поровну 155 тетрадей и 62 ручки. Сколько учеников в этом классе?

Решение: Нахождение количества учащихся этого класса сводится к нахождению наибольшего общего делителя чисел 155 и 62, поскольку тетради и ручки поделили поровну.  155 = 5 • 31; 62 = 2 • 31. НОД (155; 62) = 31.

Ответ: 31 ученик в классе. 

 


Наименьшее общее кратное

Кратным натурального числа а называется натуральное число, которое делится на а без остатка. Например, число 8 имеет кратные: 8, 16, 24, 32, …  Любое натуральное число имеет бесконечно много кратных.

 Наименьшее общее кратное (НОК) называется наименьшее натуральное число, которое кратно этим числам.

Алгоритм нахождения наименьшего общего кратного (НОК):

алгоритм нахождения НОК

НОК также часто применяется в задачах. Например, два велосипедиста одновременно стартовали по велотреку в одном направлении. Один делает круг за 1 мин, а другой — за 45 с. Через какое наименьшее количество минут после начала движения они встретятся на старте?

Решение: Количество минут, через которое они снова встретятся на старте, должно делиться на 1 мин,, а также на 45 с. В 1 мин = 60 с. То есть необходимо найти НОК (45; 60).
45 = 32 • 5;
60 = 22 • 3 • 5.
НОК (45; 60) = 22 • 32 • 5 = 4 • 9 • 5 = 180.
В результате получается, что велосипедисты встретятся на старте через 180 с = 3 мин.

 Ответ: 3 мин.

Деление с остатком

Если натуральное число а не делится нацело на натуральное число b, то можно выполнить деление с остатком. В таком случае полученное частное называется неполным. Справедливо равенство:

 а = b • n + r,

где а — делимое, b — делитель, n — неполное частное, r — остаток. Например, пусть делимое равно 243, делитель — 4, тогда 243 : 4 = 60 (остаток 3). То есть а = 243, b = 4, n = 60, r = 3, тогда 243 = 60 • 4 + 3.

Числа, которые делятся на 2 без остатка, называются четнымиа = 2n, n N.

Остальные числа называются нечетнымиb = 2n + 1, n N.


Это конспект по теме «Натуральные числа. Признаки делимости». Чтобы продолжить, выберите дальнейшие действия:

5 Комментарии

  1. ева:

    спасибо

  2. Татьяна:

    В главе «Наибольший общий делитель» ошибка в конце первого абзаца: НОД (7; 21) = 1, но на самом деле это число 7, а не 1.
    21 делится на 7, и 7 делится на 7. Поэтому 7 является наибольшим общим делителем для двух чисел 21 и 7.

  3. Аноним:

    Почему в признаке делимости на 11 последний элемент формулы помечен индексом n-1? Я уже плохо помню математику, но мне кажется, индекс должен быть равен просто n. Четные вхождения положительные, нечетные отрицательные. Для n-1 все будет наоборот, и продолжая логическую цепочку будет: +(-1)^(n+1)*An ?

    • admin:

      Число делится на 11, если сумма цифр, которые стоят на четных местах равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличается от неё на 11. Поэтому неважно четные места будут отрицательные или нечетные. Но в одном Вы правы: формула не соответствует примеру. В ближайшее время это исправим.

Добавить комментарий

На сайте используется ручная модерация. Срок проверки комментариев: от 1 часа до 3 дней