Одночлены и действия над ними

Ключевые слова конспекта: Одночлены, стандартный вид одночлена, коэффициент и степень одночлена, умножение одночленов, 

Выражения 15а²b,   3ху • 2у,  –3с⁷ представляют собой произведения чисел, переменных и их степеней. Такие выражения называют одночленами. Числа, переменные и их степени также считаются одночленами. Например, выражения –11, а, а⁶ — одночлены.

Одночлен 5а²b • 2аb³ можно упростить, если воспользоваться свойствами умножения и правилом умножения степеней с одинаковыми основаниями. Тогда получим: 5а²b • 2аb³ = 5 • 2а² • а • b • b³ = 10а³b⁴.

Мы представили данный одночлен в виде произведения числового множителя, записанного на первом месте, и степеней различных переменных. Такой вид одночлена называют стандартным видом. Числа, переменные, их степени также считаются одночленами стандартного вида.

Коэффициент и степень одночлена

Любой одночлен можно преобразовать так, чтобы получился одночлен стандартного вида. Если одночлен записан в стандартном виде, то числовой множитель называют коэффициентом одночлена. Например, в одночлене –10а²b⁴ коэффициент равен –10. Если коэффициент одночлена равен 1 или –1, то его обычно не пишут.

Степенью одночлена стандартного вида называют сумму показателей степеней входящих в него переменных. Если одночлен представляет собой число, отличное от нуля, то его степень считается равной нулю.

Например, степень одночлена 12х²у³ равна 5, степень одночлена –6аb равна 2. Выражение 2,32 является одночленом нулевой степени.

Число нуль — это одночлен, степень которого не определена.

Умножение одночленов

При умножении одночленов снова получается одночлен, который обычно записывают в стандартном виде, используя для этого свойства умножения и правило умножения степеней с одинаковыми основаниями.

 Пример. Умножим одночлен 12а⁶b⁴ на одночлен –2а³b. Для этого составим произведение одночленов и преобразуем его в одночлен стандартного вида:
12а⁶b⁴ • (–2а³b) = 12 • (–2) • (а⁶ • а³) • (b⁴ • b) = –24а⁹b⁵.

Возведение одночлена в степень

Рассмотрим сначала правила возведения в степень произведения и степени. Преобразуем четвёртую степень произведения ab:
(ab)⁴ = (ab)(ab)(ab)(ab) = (aaaa)(bbbb) = а⁴b⁴, т.е. (аb)⁴ = а⁴b⁴.
Четвёртая степень произведения равна произведению четвёртых степеней множителей. Аналогичным свойством обладает любая натуральная степень произведения двух множителей.

 Если а и b — произвольные числа и n — любое натуральное число, то
(аb)ⁿ = аⁿbⁿ.

Докажем это, воспользовавшись определением степени и свойствами умножения:

Доказанное свойство распространяется на произведение трёх и более множителей. Например,
 (abc)ⁿ = aⁿbⁿcⁿ;   (abcd)ⁿ = aⁿbⁿcⁿdⁿ.

Отсюда следует правило:

• чтобы возвести в степень произведение, нужно возвести в эту степень каждый множитель и результаты перемножить.

Рассмотрим теперь, как можно возвести степень в степень. Преобразуем, например, выражение (а⁵)⁴:
 (а⁵)⁴ = а⁵ • а⁵ • а⁵ • а⁵ = а^5+5+5+5 = а²⁰, то есть (а⁵)⁴ = а^5•4

Аналогичное свойство выполняется для произвольных степеней с натуральными показателями.

 Если а — произвольное число, m и n — любые натуральные числа, то
(а^m)ⁿ = а^m • n

Из этого свойства следует правило:

• чтобы возвести степень в степень, нужно основание оставить тем же, а показатели степеней перемножить.

Аналогично тому, как было доказано свойство степени произведения, можно доказать свойство степени дроби: (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ, где b ≠ 0.  Из этого свойства следует правило:

• чтобы возвести в степень дробь, нужно возвести в эту степень числитель и знаменатель, первое выражение записать в числитель, а второе — в знаменатель.

Правила возведения в степень произведения и степени используются при возведении одночленов в степень.

Это конспект по математике на тему «Одночлены и действия над ними». Выберите дальнейшие действия:

• Перейти к следующему конспекту: Многочлен и его стандартный вид
• Вернуться к списку конспектов по Математике.
• Проверить знания по Математике.