Конспект "Одночлены и действия над ними" - УчительPRO

Одночлены и действия над ними

Ключевые слова конспекта: Одночлены, стандартный вид одночлена, коэффициент и степень одночлена, умножение одночленов, 



Выражения 15а2b,   3ху • 2у,  –3с7 представляют собой произведения чисел, переменных и их степеней. Такие выражения называют одночленами. Числа, переменные и их степени также считаются одночленами. Например, выражения –11, а, а6 — одночлены.

Одночлен 2b • 2аb3 можно упростить, если воспользоваться свойствами умножения и правилом умножения степеней с одинаковыми основаниями. Тогда получим: 2b • 2аb3 = 5 • 2а2 • а • b • b3 = 10а3b4.

Мы представили данный одночлен в виде произведения числового множителя, записанного на первом месте, и степеней различных переменных. Такой вид одночлена называют стандартным видом. Числа, переменные, их степени также считаются одночленами стандартного вида.

Коэффициент и степень одночлена

Любой одночлен можно преобразовать так, чтобы получился одночлен стандартного вида. Если одночлен записан в стандартном виде, то числовой множитель называют коэффициентом одночлена. Например, в одночлене –10а2b4 коэффициент равен 10. Если коэффициент одночлена равен 1 или 1, то его обычно не пишут.

Степенью одночлена стандартного вида называют сумму показателей степеней входящих в него переменных. Если одночлен представляет собой число, отличное от нуля, то его степень считается равной нулю.

Например, степень одночлена 12х2у3 равна 5, степень одночлена 6аb равна 2. Выражение 2,32 является одночленом нулевой степени.

Число нуль — это одночлен, степень которого не определена.

Умножение одночленов

При умножении одночленов снова получается одночлен, который обычно записывают в стандартном виде, используя для этого свойства умножения и правило умножения степеней с одинаковыми основаниями.

 Пример. Умножим одночлен 12а6b4 на одночлен 3b. Для этого составим произведение одночленов и преобразуем его в одночлен стандартного вида:
12а6b4 • (–2а3b) = 12 • (–2) • (а6 • а3) • (b4 • b) = –24а9b5.

Возведение одночлена в степень

Рассмотрим сначала правила возведения в степень произведения и степени. Преобразуем четвёртую степень произведения ab:
(ab)4 = (ab)(ab)(ab)(ab) = (aaaa)(bbbb) = а4b4, т.е. (аb)4 = а4b4.
Четвёртая степень произведения равна произведению четвёртых степеней множителей. Аналогичным свойством обладает любая натуральная степень произведения двух множителей.

 Если а и b — произвольные числа и n — любое натуральное число, то
(аb)
n = аnbn.

Докажем это, воспользовавшись определением степени и свойствами умножения:

Доказанное свойство распространяется на произведение трёх и более множителей. Например,
 (abc)n = anbncn;   (abcd)n = anbncndn.

Отсюда следует правило:

  • чтобы возвести в степень произведение, нужно возвести в эту степень каждый множитель и результаты перемножить.

Рассмотрим теперь, как можно возвести степень в степень. Преобразуем, например, выражение 5)4:
 (а5)4 = а5 • а5 • а5 • а5 = а5+5+5+5 = а20, то есть (а5)4 = а5-4.

Аналогичное свойство выполняется для произвольных степеней с натуральными показателями.

 Если а — произвольное число, m и n — любые натуральные числа, то
(
аm)n = аm • n.

Из этого свойства следует правило:

  • чтобы возвести степень в степень, нужно основание оставить тем же, а показатели степеней перемножить.

Аналогично тому, как было доказано свойство степени произведения, можно доказать свойство степени дроби: (a/b)n = an/bn, где b ≠ 0.  Из этого свойства следует правило:

  • чтобы возвести в степень дробь, нужно возвести в эту степень числитель и знаменатель, первое выражение записать в числитель, а второе — в знаменатель.

Правила возведения в степень произведения и степени используются при возведении одночленов в степень.

 

одночлены


Это конспект по математике на тему «Одночлены и действия над ними». Выберите дальнейшие действия:

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Send this to a friend