Опорный конспект Четырехугольники

Геометрия 8 класс. Опорный конспект Четырехугольники

Наиболее важные виды четырехугольников – это параллелограмм и трапеция. Рассмотрим свойства и признаки параллелограмма, свойства трапеций, рассмотрим особые виды параллелограммов: прямоугольник, квадрат и ромб. Еще мы познакомимся с такими геометрическими фигурами, как средняя линяя треугольника и средняя линия трапеции.

Четырёхугольник — это геометрическая фигура (многоугольник), состоящая из четырёх точек (вершин), никакие три из которых не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон), последовательно соединяющих эти точки. Различают выпуклые и невыпуклые четырёхугольники, невыпуклый четырёхугольник может быть самопересекающимся. Четырёхугольник без самопересечений называется простым, часто под термином «четырёхугольник» имеются в виду только простые четырёхугольники. Данной позиции придерживаются и большинство авторов учебников по геометрии, не объясняя почему.

Определение из учебника Атанасяна (2023 г.): Каждый четырёхугольник имеет четыре вершины, четыре стороны и две диагонали.

Ключевые темы конспекта

1. Многоугольник.Диагональ. Периметр. 

Многоугольник — простая замкнутая ломаная вместе с частью плоскости, которую она ограничивает. Выпуклый многоугольник располагается в одной полуплоскости по отношению к любой своей стороне. Диагональю многоугольника называется отрезок, соединяющий любые две несоседние вершины многоугольника. Периметр — сумма длин всех сторон многоугольника. Длина любой стороны многоугольника меньше суммы длин стальных его сторон: а_n < a₁ + a₂ +… + a_n–1 (отрезок. соединяющий концы ломаной, меньше самой ломаной).

2. Сумма углов выпуклого многоугольника. Сумма углов четырехугольника.

Теорема. Сумма углов выпуклого многоугольника ровна 180° (n–2), где n – число сторон.
Доказательство. Проведем диагонали из одной вершины. Получим (n-2) треугольника, каждый с суммой углов 180°. Тогда сумма всех углов многоугольника равна 180° • (n–2).
Пример. Сумма углов четырехугольника равна 180° • 2 = 360°.

3. Теорема о сумме внешних углов выпуклого многоугольника. 

Теорема. Сумма внешних углов выпуклого многоугольники, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°.
Доказательство. Каждый из внешних углов является смежным к своему внутреннему углу. Тогда сумма внешних углов (взятых по одному при каждой вершине) раина сумме о развернутых углов без суммы внутренних углов многоугольника:

4. Параллелограмм. Высоты параллелограмма.

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны. Высотой параллелограмма называется перпендикуляр, опущенный из любой точки одной из сторон на противоположную сторону или её продолжение.

5. Свойства параллелограмма (1–4).

Свойство 1). Сумма углов при соседних вершинах параллелограмма равна 180°. Следует из параллельности прямых.
Свойство 2). Диагональ разбивает параллелограмм па 2 равных треугольника. Треугольники равны по 2-му признаку: диагональ — их общая сторона, прилежащие к ней углы равны как накрест лежащие при параллельных прямых и секущей – данной диагонали.
Свойство 3). У параллелограмма противоположные стороны равны. Следует из равенства треугольников.
Свойство 4). У параллелограмма противоположные углы равны. Следует из равенства треугольников.

6. Свойство диагоналей параллелограмма (5).

Свойство 5). Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
Доказательство. Закрашенные треугольники (см. опорный конспект) равны по стороне (противоположные стороны параллелограмма равны) и двум прилежащим к ней углам (накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей равны). Из равенства треугольников следует равенство отрезков диагоналей.

7. Первый признак параллелограмма. 

Если у четырехугольника две стороны равны и параллельны, та этот четырехугольник — параллелограмм.
Доказательства. Проведем диагональ. Полученные треугольники равны по двум сторонам (общая диагональ и две данные равные стороны) и углу между ними (углы равны как закроет лежащие при параллельных прямых и секущей). Тогда равны углы, обозначенные кружочком. А так как они накрест лежащие, то и две другие стороны четырехугольника параллельны. Получаем параллелограмм.

8. Второй признай параллелограмма. 

Если у четырехугольника противоположные стороны равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.
Доказательства. Проведем диагональ. Полученные треугольники равны по трем сторонам. Из итого следует равенство накрест лежащих углов, а отсюда — параллельность противоположных сторон четырехугольника. Получаем параллелограмм.

9. Третий признак параллелограмма.

Если у четырехугольника диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.
Доказательство. Из равенства закрашенных треугольников (по 1-му признаку) следует, что две противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны (накрест лежащие углы равны). А это 1-й признак параллелограмма.

10. Прямоугольник. Свойства прямоугольника. 

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы пряные.
Теорема. (Свойство диагоналей прямоугольника.) Диагонали прямоугольника равны.
Доказательство. Прямоугольные треугольники с общим катетом (одна из сторон прямоугольника) равны по двум катетам. Поэтому равны и гипотенузы.

11. Признак прямоугольника. 

Если у параллелограмма диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.
Доказательства. Два треугольника, у которых одна сторона является общей (это сторона параллелограмма), равны по трем сторонам. Тогда равны углы параллелограмма при этой стороне. А так как они в сумме составляют 180° (соседние углы параллелограмма), то каждый из них равен 90°.

12. Ромб. Свойства ромба. 

Ромб – это параллелограмм, у которого обе стороны равны.
Теорема. (Свойства диагоналей ромба) У ромба диагонали взаимно перпендикулярны и лежат на биссектрисах его углов.
Доказательство. По свойству равнобедренного треугольника, образованного двумя сторонами ромба, следует, что медиана (диагонали ромба делятся пополам) является высотой и биссектрисой.

13. Признаки ромба. 

а) Если у параллелограмма диагонали взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм — ромб. Доказательство следует из равенства прямоугольных треугольников по двум катетам, откуда вытекает равенство сторон этого параллелограмма.

б) Если у параллелограмма одна из диагоналей лежит на биссектрисе угла, то этот параллелограмм — ромб. Доказательство следует из равнобедренности треугольника, образованного двумя сторонами этого параллелограмма и данной диагонали: ∠1 = ∠2 (биссектриса), ∠2 = ∠3 (накрест лежащие), тогда ∠1 = ∠3.

14. Квадрат. Свойства квадрата.

Квадрат — эти прямоугольник, у которого все стороны равны. Квадрат обладает 5 свойствами параллелограмма, 1 свойством прямоугольника и 2 свойствами ромба. Всего 7 свойств.

15. Теорема Фалеса.

Если на одной стороне угла отложить равные между собой отрезки и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую сторону, то на второй стороне угла отложатся равные МЕЖДУ СОБОЙ отрезки.
Доказательство. Через концы данных равных отрезков проведем прямые, параллельные второй стороне угла. Полученные треугольники равны по 2-му признаку, а искомые отрезки равны как противоположные стороны параллелограммов.

16. Деление отрезка на n равных частей.

Из конца данного отрезка проводим луч и на нем от его вершины откладываем n произвольных равных отроков. Соединяем конец последнего отложенного и конец данного отрезка и проводим параллельные прямые через концы отложенные отрезков. По теореме Фалеса данный отрезок разделится на n равных частей.

17. Средняя линия треугольника. Свойство средней линии. 

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.
Теорема. (Свойства средней линии треугольника,) Средняя линия треугольника параллельна основанию (основанием будем называть третью сторону) и равна его половине.
Доказательство. Через середину одной боковой стороны проведем прямую, параллельную основанию (первая стрелка), Пo теореме Фалеса вторая боковая сторона разделится пополам. Средняя линия параллельна основанию, так как лежит на прямой, параллельной основанию. Через середину второй боковой стороны проведем прямую, параллельную первой (вторая стрелка). По теореме Фалеса основание разделится пополам. Половина основания и средняя линия равны как противоположные стороны параллелограмма.

18. Свойство медиан треугольника. 

Теорема. (Свойство медиан треугольника.) Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины.
Доказательство: а) Соединим концы двух медиан и середины больших отрезков этих медиан. Получим ДВЕ СРЕДНИЕ ЛИНИИ, которые параллельны общему основанию и равны его половине. Четырехугольник с этими сторонами – параллелограмм (две стороны равны и параллельны). Так как диагонали параллелограмма делятся пополам, то данные медианы делятся в отношении 2:1.
б) Третья медиана, по доказанному, разделит первую медиану в отношении 2 : 1, т. с, пройдет через точку пересечения двух первых медиан.

19. Трапеция, высота трапеции. Средняя линия трапеции.

Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – нет. Параллельные стороны называются основаниями, не параллельные — боковыми сторонами. Высотой трапеции называется перпендикуляр; опущенный из любой точки одного из оснований на другое основание или его продолжение: Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

20. Свойство средней линии трапеции.

Теорема. (Свойства средней линии трапеции.) Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Доказательство. Проведем прямую через вершину трапеции и середину боковой стороны до пересечения с продолжением нижнего основания. Закрашенные треугольники равны по 2-му признаку Средняя линия трапеции будет средней линией большого треугольника и поэтому параллельна основанию (a + b) и равна его половине, т.е. m = (a+b)/2.

21. Прямоугольная трапеция. Равнобедренная трапеция.

Трапеция, у которой есть прямой угол, называется прямоугольной. Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной.

22. Свойство углов равнобедренной трапеции. 

Теорема. (Свойство углов равнобедренной трапеции.) Углы при основании равнобедренной трапеции равны.

Доказательство. Опустим высоты из вершин меньшего основания. Из равенства прямоугольных треугольника по катету и гипотенузе следует равенство углов при основании трапеции.

23. Свойство диагоналей равнобедренной трапеции. 

Теорема. (Свойство диагоналей равнобедренной трапеции.) Диагонали равнобедренной трапеции равны.

Доказательство. Так как углы при основания равнобедренной трапеции равны, то по 1-му признаку равны треугольники с общей стороной – основанием трапеции. Отсюда следует равенство диагоналей.

24. Признак равнобедренной Трапеции (по углам).

Теорема. (Признак равнобедренной трапеции.) Если у трапеции угол при основании равны, то она равнобедренная.

Доказательство. Опустив две высоты из вершин меньшего oснования получим два равных прямоугольных треугольника по катету и противолежащему острому углу. Отсюда следует равенство боковых сторон трапеции.

25. Признак равнобедренной трапеции (по диагоналям).

Теорема. (Признак равнобедренной трапеции.) Если у трапеции диагонали равны, то она равнобедренная.

Доказательства. Опустив две высоты из вершин меньшего основания получим два равных прямоугольных треугольника с равными гипотенузами – диагоналями трапеции и равными катетами — высотами трапеции. Из равенства острых углов этих треугольников следует равенство по 1-му признаку двух треугольников с общей стороной – основанием трапеции. Отсюда следует равенство боковых сторон трапеции.

Наглядная геометрия по теме конспекта

(с) В учебных целях использованы цитаты из учебных пособий:
— «Наглядная геометрия. 8 класс : пособие для учащихся учреждений общ. сред, образования с рус. яз. обучения / В. В. Казаков. — 4–е изд. — Минск: Аверсэв, 2015»
— «Геометрия. 7-11 классы. Определения. свойства, методы решения задач — в таблицах / Нелин Е.П. — М.: ИЛЕКСА»

Это конспект по геометрии в 8 классе «Опорный конспект Четырехугольники». Выберите дальнейшие действия:

• Вернуться к Списку конспектов по геометрии
• Смотрите «Ключевые задачи по теме Четырехугольники»