Конспект "Понятие последовательности" - УчительPRO

Понятие последовательности

Ключевые слова конспекта: числовая последовательность, способы, конечные и бесконечные, возрастающие и убывающие. Раздел ОГЭ по математике: 4.1. Понятие последовательности.



В школьном курсе рассматриваются только числовые последовательности. Например:
1; 2; 3; 4; 5; … последовательность натуральных чисел;
1; 3; 5; 7; 9; … последовательность нечётных чисел;
1; 4; 9; 16; 25; … последовательность квадратов натуральных чисел.

Числовая последовательность — это занумерованное множество чисел, расположенных в порядке возрастания номеров. Члены последовательности в общем случае обозначают буквами с индексами, указывающими порядковый номер члена. Например, а1, а2; а3; а4; а5; … .

Член последоватeльности с произвольным номером n обозначают символом аn и называют nм членом последовательности. Тогда an-1 и аn+1 соответственно члены последовательности, предшествующий nму члену и следующий за ним. Саму последовательность обозначают так: (аn).

Последовательность задана, если известен способ, позволяющий найти любой её член. Последовательности чаще всего задают двумя способами:

  1. с помощью формулы n–го члена, т. е. формулы, которая позволит определить любой член последовательности по его номеру. Например, если последовательность задана формулой xn = x2 + 1, то пятый член последовательности x5 = 52 + 1 = 26;
  2. с помощью рекуррентной формулы, т. е. формулы, которая выражает любой член последовательности через предыдущий. Например, an+1 = an – 1,5, тогда, если а1 = 17, то а2 = 17 – 1,5 = 15,5 и т. д.

Последовательнoсти бывают конечные и бесконечные.

Последовательность называется конечной, если она имеет конечное число членов, например 3, 6, 9, 12. Конечной является последовательность однозначных натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Последовательность всех натуральных чисел бесконечна.

Последовательность называется возрастающей, если каждый ее член, начиная со второго, больше предыдущего: xn+1 > xn. Например, последовательность 3, 6, 9, 12, … 3n … — возрастающая. Последовательность называется убывающей, если каждый ее член, начиная со второго, меньше предыдущего: xn+1 < xn. Например, последовательность –3; –4; –5; –6 — убывающая.

Пример 1. Последовательность (сn) задана формулой nго члена cn = (n + 5)/10. Эта формула позволяет вычислить любой член последовательности по его номеру. Найдём, например, с30. Подставив в формулу n = 30, получим: с30 = (30+5)/10 = 3,5.

Пример 2. Рассмотрим последовательность (аn), заданную условиями: a1 = 1, аn+1 = 2аn + 1. Эта последовательность задана с помощью рекуррентной формулы, которая указывает такой способ вычисления членов последовательности: чтобы получить следующий член, нужно предыдущий член умножить на 2 и к результату прибавить 1. Зная первый член, можно по этому правилу найти второй член; зная второй член, можно точно так же найти третий; и т. д.:

a2 = 2а1 + 1 = 2 • 1 + 1 = 3;
а3 = 2a2 + 1 = 2 • 3 + 1 = 7;
а4 = 2а3 + 1 = 2 • 7 + 1 = 15; и т. д.

А чтобы при таком способе задания найти a30, придётся последовательно вычислять все предыдущие члены со 2го по 29й включительно.

 


Это конспект по математике на тему «Последовательность». Выберите дальнейшие действия:

Понятие последовательности
5 (100%) 3 vote[s]

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Send this to a friend