Произведение векторов

Геометрия 9 класс (углубленное изучение). Конспект по темам: Умножение вектора на число. Скалярное произведение векторов. Выражение скалярного произведения через координаты. Свойства скалярного умножения.

Смотрите также смежные темы:
«Векторы: равенство, сложение, разность, умножение»
«Система координат. Координаты вектора»

Умножение вектора на число.

Произведением вектора а на число t называется вектор, длина которого равна |t| • |а|, а направление остаётся прежним, если t > 0, и меняется на противоположное, если t < 0. Произведением вектора на нуль считается нулевой вектор.

Произведение вектора а на число t обозначается ta. По определению |ta| = |t| • |а|. Произведение вектора а на число –1 называется вектором, противоположным а, и обозначается –а. По определению вектор –а имеет направление, противоположное вектору а, и |–а| = |а|.

ТЕОРЕМА. Если а и b два коллинеарных вектора и а ≠ 0, то существует единственное число t, для которого выполняется равенство b = tа.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Для умножения вектора на число справедливы свойства, аналогичные свойствам умножения чисел, а именно:

1. Сочетательный закон. (ts)а = t(sa).
2. Первый распределительный закон. (t + s)a = tа + sa.
3. Второй распределительный закон. t(а + b) = ta + tb.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

ТЕОРЕМА. Если а и b два ненулевых неколлинеарных вектора, то для любого вектора c существуют единственные числа t и s, для которых выполняется равенство c = t • а + s • b.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними. Если хотя бы один из векторов нулевой, то скалярное произведение таких векторов считается равным нулю.

Из данного определения следует, что скалярное произведение вектора на себя (или так называемый скалярный квадрат вектора) равно квадрату его модуля, то есть (а)² = |а|². Так будет просто потому, что cos 0° = 1.

Кроме того, есть ещё один важный частный случай: если угол между двумя векторами равен 90°, то их скалярное произведение равно нулю. И в этом опять виноват косинус, входящий в данное произведение, так как cos 90° = 0.

Выражение скалярного произведения через координаты

Выразим скалярное произведение векторов через их координаты. Пусть даны векторы а₁(х₁, у₁), а₂(х₂, у₂). Отложим эти векторы от начала координат и их концы обозначим А₁, A₂ соответственно. В случае, если точки O, А₁ и A₂ не принадлежат одной прямой, рассмотрим треугольник OА₁A₂. По теореме косинусов имеем равенство (А₁A₂)² = (OА₁)² + (OA₂)² – 2 • OА₁ • OA₂ • cos φ.

Заметим, что это равенство выполняется и в случае, если точки O, А₁ и A₂ принадлежат одной прямой. Перепишем это равенство в виде

Выразим из последнего равенства скалярное произведение и воспользуемся равенствами:

Получим:

Таким образом, имеет место формула а₁ • а₂ = х₁х₂ + у₁у₂, где а₁(х₁, у₁), а₂(х₂, у₂).

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Свойства скалярного умножения

Скалярное умножение векторов во многом напоминает умножение обычных чисел. А происходит так потому, что эта операция обладает теми же свойствами или правилами, которыми мы привыкли пользоваться, работая с действительными числами. Например, несколько чисел можно перемножать в любом порядке, и от этого результат не изменится. Или известное вам правило раскрытия скобок: при умножении числа на сумму нескольких слагаемых его нужно умножить на каждое из них, а потом всё сложить. Давайте выпишем аналогичные правила, то есть свойства для скалярного умножения векторов.

Первые три свойства очевидно следуют из определения скалярного произведения двух векторов. Давайте докажем четвёртое свойство, которое математики называют дистрибутивным законом или правилом раскрытия скобок.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Свойства скалярного умножения позволяют работать с векторами как с обычными числами и пользоваться всеми алгебраическими формулами сокращённого умножения для сумм и разностей чисел. Только нужно помнить, что скалярное произведение двух векторов а • b не равно просто произведению а • b их модулей. Например, будут справедливы такие формулы:

Интересно, что формула квадрата разности двух векторов отражает не что иное, как известную вам теорему косинусов.

Скалярное произведение и тригонометрия

С помощью скалярного произведения векторов можно легко доказать одну из самых важных формул тригонометрии — формулу косинуса разности двух углов:
cos (α – β) = cos α • cos β + sin α • sin β

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

(с) В учебных целях использованы цитаты из учебных пособий:
— «Математическая вертикаль. Геометрия. 9 класс : учебное пособие / М.А.Волчкевич — 1-е изд. — М.: Просвещение, 2022».
— «Геометрия. 7-9 классы : учеб, для общеобразоват. организаций/ А. В. Погорелов. — 2-е изд. — М. : Просвещение, 2014»
— «Геометрия. 9 класс : учебное пособие для общеобразоват. организаций / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – М. : Мнемозина, 2024»

Геометрия 9 класс. Конспект по теме: «Произведение векторов». Выберите дальнейшие действия:

• Вернуться к Списку конспектов по геометрии
• Смотреть «Векторы: равенство, сложение, разность, умножение«
  
• Смотреть «Система координат. Координаты вектора»
• Смотреть «Решение задач по теме Векторы (без координат)»
• Смотреть «Решение задач по теме Скалярное произведение векторов»