Равновесие материальной точки.
Момент силы. Центр тяжести

Дополнительный конспект по физике в 9 классе на тему «Равновесие материальной точки. Момент силы. Плечо силы. Равновесие тел. Центр тяжести. Способы определения центра тяжести» 
Вернуться к Списку конспектов по физике

Проверяемые элементы содержания (ПЭС):
👉 ФОП ООО: 8.16. Равновесие материальной точки. Абсолютно твердое тело. 8.17. Равновесие твердого тела с закрепленной осью вращения. Момент силы. Центр тяжести.

Переходим от поступательного движения к вращательному движению и статике. Это раздел механики, который отвечает на вопрос: «Почему одни тела падают, а другие стоят, и что нужно сделать, чтобы их опрокинуть?». Разберем условия равновесия, центр тяжести и устойчивость. Момент силы и плечо силы — это сердце вращательного равновесия. Всё это важно для понимания работы рычагов, мостов, блоков, устойчивость и даже того, как мы сами стоим на ногах.

Понятие абсолютно твёрдого тела (Модель для статики)

При изучении вращения и равновесия мы используем модель абсолютно твёрдого тела.
📌 Абсолютно твёрдое тело — это модель, в которой расстояние между любыми двумя точками тела остаётся неизменным при любых воздействиях (тело не деформируется, не сжимается, не растягивается).

Почему это важно? Если тело деформируется, расчёты равновесия становятся невероятно сложными. Для большинства задач ОГЭ и ЕГЭ мы считаем тела (балки, стержни, рычаги) абсолютно твёрдыми.

Равновесие невращающихся тел (Поступательное равновесие)

Тело, которое не вращается, движется поступательно (или покоится). Условие его равновесия мы знаем из законов Ньютона.
📌 Первое условие равновесия (для поступательного движения):
Для того чтобы тело находилось в равновесии (покоилось или двигалось равномерно прямолинейно), необходимо, чтобы векторная сумма всех сил, действующих на тело, была равна нулю.
Математически:

\( \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 + … = 0 \)

или в проекциях:

\( \sum Fx = 0 \) и \( \sum Fy = 0 \).

Пример: Книга лежит на столе. Сила тяжести (\( mg \)) направлена вниз, сила реакции опоры (\( N \)) направлена вверх. \( N \mathbin{-} mg = 0 \Rightarrow N = mg \). Условие выполнено.

Момент силы и плечо силы (Базовые понятия вращения)

Прежде чем говорить о равновесии вращающихся тел, нужно ввести две ключевые величины.

Плечо силы (\( l \))

📌 Плечо силы — это кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы.

Как найти плечо?
1. Найдите ось вращения (точку, вокруг которой тело может поворачиваться).
2. Проведите линию действия силы (прямую, вдоль которой направлена сила).
3. Опустите перпендикуляр из оси вращения на эту линию. Длина этого перпендикуляра и есть плечо силы.
Важно! Плечо — это не расстояние от оси до точки приложения силы! Это перпендикуляр к направлению силы.

Пример: Если вы толкаете дверь за ручку, сила направлена перпендикулярно двери. Плечо равно расстоянию от петель до ручки. Если вы толкаете дверь под углом, плечо становится меньше.

Момент силы (\( M \))

📌 Момент силы — это физическая величина, характеризующая вращательное действие силы. Он равен произведению модуля силы на её плечо.
Формула:

\( M = F \cdot l \)

где
\( M \) — момент силы (\( \text{Н} \cdot \text{м} \))
\( F \) — сила (Н)
\( l \) — плечо силы (м)

Физический смысл: Чем больше сила и чем дальше от оси она приложена (больше плечо), тем легче повернуть тело. Именно поэтому дверную ручку крепят как можно дальше от петель.

Правило знаков:
• Сила вращает тело по часовой стрелке → момент считаем отрицательным (или положительным, главное — противоположные знаки).
• Сила вращает тело против часовой стрелки → момент противоположного знака.

Равновесие тел с закреплённой осью вращения (Вращательное равновесие)

Для тела с закреплённой осью (рычаг, колесо, дверь) недостаточно просто равенства сил — нужно учитывать моменты.
📌 Второе условие равновесия (правило моментов):
Для того чтобы тело с закреплённой осью вращения находилось в равновесии, необходимо, чтобы сумма моментов сил, вращающих тело по часовой стрелке, была равна сумме моментов сил, вращающих тело против часовой стрелки.
Математически:

\( M_1 + M_3 + … = M_2 + M_4 + … \)

или:

\( \sum M_i = 0 \).

Пример: Рычаг в равновесии. Груз слева создаёт момент \( M_1 = F_1 \cdot l_1 \), груз справа — \( M_2 = F_2 \cdot l_2 \). Условие: \( F_1 \cdot l_1 = F_2 \cdot l_2 \).

Центр тяжести тела

📌 Центр тяжести — это точка приложения равнодействующей всех сил тяжести, действующих на отдельные части тела.

Где находится центр тяжести?
• У однородного стержня (линейки) — посередине.
• У однородного шара — в геометрическом центре.
• У однородного кольца — в центре окружности (там, где нет вещества!).
• У человека — примерно на уровне крестца, чуть ниже пупка.

Способы определения центра тяжести

А) Для однородных тел правильной формы (Симметрия)

Методе симметрии. Если тело однородное (плотность постоянна по всему объёму) и имеет геометрическую симметрию, то его центр тяжести совпадает с геометрическим центром (центром симметрии).
• Шар, куб, параллелепипед, диск — центр тяжести на пересечении осей симметрии.
• Круглое кольцо — центр тяжести в центре отверстия.
• Тонкий стержень — на середине длины.

Правило: Для однородного симметричного тела центр тяжести находится на пересечении осей симметрии.

Б) Для однородных тел неправильной формы (Метод подвешивания)

Если тело однородное, но несимметричное (например, кусок фанеры неправильной формы), центр тяжести можно найти экспериментально.

Метод подвешивания (практическая работа):
1. Подвесить тело за произвольную точку на его краю (точка А).
2. Провести вертикальную линию (с помощью отвеса) через точку подвеса. Центр тяжести лежит на этой вертикали.
3. Подвесить тело за другую точку (точка В).
4. Провести вертикальную линию через точку В.
5. Точка пересечения этих вертикалей и есть центр тяжести тела.

Почему это работает? В состоянии покоя тело висит так, что центр тяжести находится строго под точкой подвеса (иначе возникал бы момент силы, вращающий тело). Поэтому каждая вертикаль проходит через центр тяжести.

В) Для неоднородных тел (Разная плотность)

Если тело неоднородное (например, кусок дерева со свинцовой вставкой), то центр тяжести не совпадает с геометрическим центром. Он смещается в сторону более плотной (тяжёлой) части.

Способы определения:
1. Метод подвешивания (аналогичен методу для однородных тел, работает для любых тел, независимо от плотности).
2. Расчётный метод или Метод разбиения (для составных тел): Если тело состоит из нескольких частей с известными массами и центрами тяжести, то общий центр тяжести находится по формуле:

\( x_{цт} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + … + m_n x_n}{m_1 + m_2 + … + m_n} \)

где
\( x_i \) — координата центра тяжести каждой части.
\( m_i \) — масса каждой части.

Пример. Стержень длиной 1 м, левая половина стальная (\( m_1 = 2 \, кг \)), правая — алюминиевая (\( m_2 = 1 \, кг \)). Начало отсчёта — левый конец. ЦТ стальной части — на 0,25 м, алюминиевой — на 0,75 м.
\( x_{цт} = \frac{2 \cdot 0,25 + 1 \cdot 0,75}{2 + 1} = \frac{0,5 + 0,75}{3} = \frac{1,25}{3} \approx 0,417 \, м \).
Центр тяжести смещён влево (к более тяжёлой стальной части).

Устойчивость равновесия тела

Равновесие бывает трёх видов. Это один из самых наглядных и жизненных вопросов.

Критерий устойчивости: Тело будет устойчиво, если вертикаль, проведённая из центра тяжести, попадает внутрь площади опоры.

Жизненный пример:
• Высокий и узкий шкаф — центр тяжести высоко, при малом наклоне вертикаль выходит за пределы опоры → шкаф падает.
• Низкий и широкий пуфик — центр тяжести низко, вертикаль всегда внутри широкой опоры → устойчиво.

Решение типовых задач

ЗАДАЧА №1 (Первое условие равновесия — сумма сил)
Условие: Тело массой 5 кг подвешено к потолку на двух пружинах с одинаковой жёсткостью. Силы натяжения пружин равны \( F_1 = 30 \, Н \) и \( F_2 = 20 \, Н \). Найдите массу тела и проверьте, соблюдается ли условие равновесия. (\( g = 10 \)).
Дано:
\( F_1 = 30 \, Н \)
\( F_2 = 20 \, Н \)
\( g = 10 \)
Решение:
1. Сила тяжести: \( mg = 5 \cdot 10 = 50 \, Н \).
2. Сумма сил натяжения: \( F_1 + F_2 = 30 + 20 = 50 \, Н \).
3. Условие равновесия: \( F_1 + F_2 = mg \) — выполнено.
Ответ: Масса 5 кг, условие равновесия соблюдается.

ЗАДАЧА №2 (Второе условие равновесия — правило моментов)
Условие: Однородный стержень длиной 1 м и массой 2 кг лежит на опоре, которая находится на расстоянии 0,4 м от левого конца. На правый конец стержня действует вертикальная сила 10 Н вниз. Найдите силу, которую нужно приложить к левому концу стержня вертикально вверх, чтобы стержень остался в равновесии. Стержень горизонтален. (\( g = 10 \)).
Дано:
\( L = 1 \, м \)
\( l_{оп} = 0,4 \, м \) (от левого конца)
\( m = 2 \, кг \)
\( F_{пр} = 10 \, Н \) (вниз на правом конце)
Решение (ключевая идея):
1. Найдём положение центра тяжести стержня (посередине, на расстоянии 0,5 м от любого конца).
2. Расстояние от точки опоры до центра тяжести: \( l_{цт} = 0,5 \mathbin{-} 0,4 = 0,1 \, м \). Сила тяжести (\( mg = 20 \, Н \)) направлена вниз.
3. Расстояние от опоры до правого конца: \( l_{пр} = 1 \mathbin{-} 0,4 = 0,6 \, м \). Сила \( F_{пр} = 10 \, Н \) направлена вниз.
4. Расстояние от опоры до левого конца: \( l_{лев} = 0,4 \, м \). Искомая сила \( F_{лев} \) направлена вверх.
5. Правило моментов: Моменты, вращающие по часовой стрелке (вниз), должны уравновешиваться моментами, вращающими против часовой (вверх). Запишем сумму моментов относительно опоры.
\( M_{вниз} = M_{цт} + M_{пр} = (mg \cdot l_{цт}) + (F_{пр} \cdot l_{пр}) = (20 \cdot 0,1) + (10 \cdot 0,6) = 2 + 6 = 8 \, Н \cdot м \).
1. \( M_{вверх} = F_{лев} \cdot l_{лев} = F_{лев} \cdot 0,4 \).
2. Условие равновесия: \( M_{вверх} = M_{вниз} \Rightarrow F_{лев} \cdot 0,4 = 8 \Rightarrow F_{лев} = 20 \, Н \).
Ответ: \( 20 \, Н \).

ЗАДАЧА №3 (Устойчивость — качественная задача)
Условие: Однородный куб стоит на горизонтальной поверхности. Его начинают медленно наклонять. При каком угле наклона (от вертикали) куб упадёт, если длина ребра куба \( a \)?
Решение (качественное):
1. Пока центр тяжести (центр куба) находится над площадью опоры (внутри квадрата основания), куб устойчив.
2. При наклоне вертикаль, опущенная из центра тяжести, смещается к краю опоры.
3. Куб упадёт в тот момент, когда эта вертикаль выйдет за пределы опоры, т.е. когда центр тяжести окажется точно над ребром основания.
4. Это произойдёт, когда угол наклона достигнет \( \alpha = 45° \).
Ответ: При угле наклона \( \alpha \ge 45° \).

ЗАДАЧА №4 (Нахождение центра тяжести составного тела)
Условие: Однородный стержень длиной 1 м состоит из двух частей: левая часть (0,4 м) стальная (\( \rho = 7800 \, кг/м^3 \)), правая часть (0,6 м) алюминиевая (\( \rho = 2700 \, кг/м^3 \)). Найдите положение центра тяжести стержня, если площадь сечения одинакова. Начало отсчёта — левый конец.
Дано:
\( L_1 = 0,4 \, м \), \( \rho_1 = 7800 \, кг/м^3 \)
\( L_2 = 0,6 \, м \), \( \rho_2 = 2700 \, кг/м^3 \)
Решение:
1. Масса пропорциональна плотности и длине (площадь сечения постоянна): \( m_1 = \rho_1 \cdot L_1 \), \( m_2 = \rho_2 \cdot L_2 \).
2. Можно считать \( m_1 = 7800 \cdot 0,4 = 3120 \) (условных единиц), \( m_2 = 2700 \cdot 0,6 = 1620 \).
3. Центры тяжести каждой части находятся на их середине: \( x_1 = 0,2 \, м \), \( x_2 = 0,4 + 0,3 = 0,7 \, м \).
4. \( x_{цт} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2} = \frac{3120 \cdot 0,2 + 1620 \cdot 0,7}{3120 + 1620} = \frac{624 + 1134}{4740} = \frac{1758}{4740} \approx 0,371 \, м \).
Ответ: Центр тяжести находится на расстоянии примерно 0,37 м от левого конца (смещён в сторону более плотной стали).

Шпаргалка «Равновесие»

Конспект урока по физике для 9 класса «Равновесие материальной точки. Момент силы. Плечо силы. Равновесие тел. Центр тяжести. Способы определения центра тяжести». Выберите дальнейшее действие:

• Вернуться к Списку конспектов по физике для 7-11 классов
• Найти конспект через Кодификатор ОГЭ по физике
• Найти конспект через Кодификатор ЕГЭ по физике