Расположение двух прямых в пространстве

Ключевые слова конспекта «Расположение двух прямых в пространстве»: пересекающиеся прямые, параллельные прямые, скрещивающиеся прямые.

Скрещивающиеся прямые

Если две прямые лежат в одной плоскости, то, как известно из курса планиметрии, они пересекаются или параллельны (см. соответствующие рисунки в таблице). В стереометрии возможен еще один случай — прямые не лежат в одной плоскости и не пересекаются (рис. 6.1).

■ Определение.
Две прямые в пространстве называют скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Будем называть также два отрезка скрещивающимися, если они лежат на скрещивающихся прямых. Например, в кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ (рис. 6.2) ребра DD₁ и В₁С₁ скрещивающиеся.

Следующую теорему называют признаком скрещивающихся прямых, поскольку она определяет достаточные условия для того, чтобы прямые были скрещивающимися.

✅ Теорема 6.1. Если одна прямая лежит в данной плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

• Доказательство. Пусть прямая b лежит в плоскости α, а прямая а пересекает плоскость α в точке А, не принадлежащей прямой b (рис. 6.1). Если предположить, что прямые а и b лежат в одной плоскости, то в этой плоскости лежит и точка А (принадлежащая прямой а). Но через прямую b и точку А проходит единственная плоскость, поэтому рассмотренной плоскостью будет плоскость α. Тогда прямая а должна лежать в плоскости α, что противоречит условию. Следовательно, прямые а и b не лежат в одной плоскости, то есть они скрещивающиеся. □чтд.

Например, в пирамиде ABCD (рис. 6.3) ребра AD и ВС скрещивающиеся, поскольку прямая ВС лежит в плоскости АВС, а прямая AD пересекает эту плоскость в точке А, не принадлежащей прямой ВС.

Параллельные прямые в пространстве

Напомним, что две прямые на плоскости называют параллельными, если они не пересекаются. Для параллельности прямых в пространстве нужно, чтобы они не только не пересекались, но еще и лежали в одной плоскости.

■ Определение.
Две прямые в пространстве называют параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Как и на плоскости, будем называть два отрезка параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Например, в кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ ребра AD и A₁D₁ параллельны (рис. 6.2).

Как известно, на плоскости через точку вне данной прямой можно провести единственную прямую, параллельную этой прямой (аксиома параллельных). Аналогичное утверждение имеет место и в пространстве, только здесь его уже требуется доказывать.

✅ Теорема 6.2. Через точку в пространстве, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и к тому же только одну.

• Доказательство. Пусть точка В не принадлежит прямой а. Проведем через эту прямую и точку В плоскость α (рис. 6.4). Эта плоскость — единственная. В плоскости α через точку В проходит единственная прямая, назовем ее b, параллельная прямой а. Она и будет единственной искомой прямой, параллельной данной. □чтд.
  

Из определения параллельности прямых в пространстве и теоремы 6.2 следует, что через две различные параллельные прямые в пространстве можно провести плоскость, и к тому же только одну. Следовательно, к известным способам задания плоскости можно отнести еще один: плоскость можно задать двумя параллельными прямыми.

Как и на плоскости, имеет место так называемое свойство транзитивности¹ параллельности прямых, выражающее также признак параллельности прямых.

¹Транзитивность (от лат. transitions — переходный) — одно из свойств логического отношения величин. Для параллельности прямых транзитивность означает: «Если прямая а параллельна прямой b, а прямая b параллельна прямой с, то прямая а параллельна прямой с».

✅ Теорема 6.3. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.

• Доказательство. Пусть прямые b и с параллельны прямой а. Докажем, что прямые b и с параллельны. Случай, когда прямые а, b, с лежат в одной плоскости, был рассмотрен в планиметрии. Поэтому предположим, что наши прямые не лежат в одной плоскости. Пусть параллельные прямые а и с лежат в плоскости α, а параллельные прямые а и b — в плоскости β. Плоскости α и β различны (рис. 6.5).
  Возьмем на прямой b произвольную точку В и проведем плоскость γ через прямую с и точку В. Она пересечет плоскость β по некоторой прямой b₁. Прямая b₁ не пересекает плоскость α (а значит, и прямую с). Действительно, если предположить, что прямая b₁ пересекает плоскость α, то точка пересечения должна принадлежать прямой а, поскольку прямая b₁ лежит в плоскости β. В то же время она должна лежать на прямой с, так как прямая b₁ лежит в плоскости γ. Но прямые а и с параллельны и не пересекаются. Тогда прямая b₁ лежит в плоскости β и не пересекает прямую а, поэтому она параллельна прямой а, а значит, совпадает с прямой b по аксиоме параллельных. Таким образом, прямая b, совпадающая с прямой b₁, лежит в одной плоскости с прямой с (в плоскости γ) и не пересекает ее. Следовательно, прямые b и с параллельны. □чтд.

Например, в кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ (рис. 6.6) ребра АВ и D₁C₁ параллельны, поскольку каждое из них параллельно ребру DC.

Примеры решения задач

Задача 1. Прямые а и b пересекаются. Докажите, что все прямые, параллельные прямой а и пересекающие прямую b, лежат в одной плоскости.

Замечание. Полученный результат можно кратко сформулировать следующим образом: все параллельные прямые, пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости.

Задача 2. Через концы отрезка АВ и его середину М проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость в точках А₁, В₁ и М₁ соответственно. Найдите длину отрезка ММ₁, если отрезок АВ не пересекает плоскость, АА₁ = 8 см, ВВ₁ = 6 см.

Задача 3*. Докажите, что отрезки, соединяющие середины скрещивающихся сторон пространственного четырехугольника, пересекаются и точкой пересечения делятся пополам (вершины пространственного четырехугольника не лежат в одной плоскости).

Это конспект по геометрии в 10 классе «Расположение двух прямых в пространстве». Выберите дальнейшие действия:

• Вернуться к Списку конспектов по геометрии
• Найти конспект по Кодификатору ОГЭ по математике