Решение задач на проценты через уравнения

Ключевые слова конспекта: Решение задач на проценты через уравнения, решения задач по математике в 5-6 классе, ответы на задачи.

Решение основных и типовых Задач на проценты, решаемые с помощью уравнений, для учащихся 5-6 классов, включая углубленный уровень изучения математики.

Типовая задача № 1. Нахождение первоначальной стоимости.

Задача № 1.1. После снижения цен на 20% килограмм груш стал стоить 36 р. Сколько стоил килограмм груш до снижения цен?
РЕШЕНИЕ:
Способ 1.
Пусть ар. — первоначальная цена груш, тогда снижение цен на 20% означает ее уменьшение на 0,2а, т.е. новая цена груш равна а — 0,2 • а = 0,8а. Имеем 0,8а = 36, отсюда а = 45.
Способ 2.
Если первоначальная цена груш а р. и она составляет 100%, то новая цена составляет 100% — 20% = 80% от прежней и равна 0,8а. Имеем 0,8а = 36, отсюда а = 45.
✅ Ответ: 45 р.

Задача № 1.2. Спортивный костюм после уценки товаров стал стоить 765 р. Сколько стоил этот костюм, если теперь он продается со скидкой 15% ?
✅ Ответ: 900 р.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Задача № 1.3. Стоимость коробки для упаковки игрушки составляет 5% стоимости самой игрушки. Упакованная игрушка стоит 630 р. Найдите стоимость игрушки.
✅ Ответ: 600 р.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Типовая задача № 2. Сравнение цен.

Задача № 2.1. Книга дороже альбома на 25%. На сколько процентов альбом дешевле книги?
РЕШЕНИЕ:
Способ 1.
Пусть а — цена альбома, тогда цена книги 1,25а. Цена альбома составляет a/(1,25a)-=-100/125-= 4/5 цены книги, т.е. на 1/5 (иначе 20%) дешевле.
Способ 2.
Решим задачу, используя схематические рисунки. Цену альбома — 100% изобразим каким-либо отрезком. Увеличим этот отрезок на 25%, то есть на ¼ его часть; получим отрезок, соответствующий цене книги.

Теперь цена книги составляет 100%. Она изображена большим отрезком. Цена альбома меньше цены книги на 1/5 этого отрезка. Так как 1/5 составляет 20%, то альбом дешевле книги на 20%.

✅ Ответ: на 20%.

Задача № 2.2. Блюдце на 20% дешевле тарелки. На сколько процентов тарелка дороже блюдца?
✅ Ответ: на 25% (проверьте ответ, используя схематические рисунки).

Задача № 2.3. В этом году тарифы на услуги лодочной станции на 20% ниже по сравнению с прошлым годом. Можно ли утверждать, что в прошлом году тарифы были на 20% выше, чем в этом году?
✅ Ответ: нет (сделав рисунок, убедимся, что в прошлом году тарифы по отношению к нынешним были выше на 25%).

Задача № 2.4. Конфеты стали продавать в новой упаковке, при этом масса конфет была увеличена на 25% по сравнению с массой в прежней упаковке. На сколько процентов подешевели конфеты, если стоимость новой упаковки осталась прежней?
✅ Ответ: на 20%.

Типовая задача № 3. Доход по вкладу.

Задача № 3.1. Петр открыл счет в банке на некоторую сумму денег. Годовой доход по этому вкладу составляет 8%. Если бы он добавил 2000 р., то через год получил бы доход 960 р. Какая сумма была внесена им в банк?
РЕШЕНИЕ:
Пусть х р. — сумма, которую Петр внес в банк. Тогда (х + 2000) р. было бы на вкладе, если бы он добавил 2000 р.
0,08(х + 2000) р. — доход в 8%, который мог бы получить Петр с этой суммы.
Так как доход равен 960 р., то имеем равенство:
0,08(х + 2000) = 960.
Решив уравнение, получим х = 10 000.
✅ Ответ: 10 000 р.

Задача № 3.2. Ольга открыла счет в банке на некоторую сумму денег. Годовой доход по этому вкладу составляет 12%. Если бы она добавила 1000 р., то через год получила бы доход 720 р. Какая сумма была внесена ею в банк?
✅ Ответ: 5000 р.

Задача № 3.3. Клиент банка внес некоторую сумму денег на вклад с годовым доходом 8%. Если бы он внес на 5 тыс. рублей меньше, то его годовой доход составил бы 1,2 тыс. рублей. Какая сумма была внесена им в банк?
✅ Ответ: 20 тыс. р.

Типовая задача № 4. Выделение частей целого.

Задача № 4.1. В конкурсе юношеских творческих работ на первые и вторые премии было выделено 15 тыс. р., причем 40% этих денег выделено на первые премии. Известно, что вторая премия составила 50% от первой. В результате конкурса вторых премий было выдано на 4 больше, чем первых. Сколько юношей получили первые премии и сколько вторые?
РЕШЕНИЕ:
Если 40% выделенных денег составляют первые премии, то это б тыс. р., а значит, на вторые премии выделено 9 тыс. р. Далее введем неизвестное.
Способ 1.
Обозначим буквой х величину одной из премий — пусть первая премия составляет х р., тогда вторая премия составляет 0,5х р. Составим уравнение
9/(0,5x) – 6/x = 4 и решим его: х = 3. Таким образом, первая премия составляет 3 тыс. р., ее получили двое юношей, а вторых премий на 4 больше, т.е. их получили шестеро юношей.
Способ 2.
Обозначим буквой х число юношей, получивших первую премию, тогда х + 4 число юношей, получивших вторую премию, 6/x — величина первой премии, 9/(x+4) — величина второй премии. Так как вторая премия составляет 50% первой, то 6/x = 2 • 9/(x+4). Решив уравнение, получим х = 2. Таким образом, первую премию получили двое юношей, а вторых премий на 4 больше, т.е. их получили шестеро юношей.
✅ Ответ: 2 и 6 юношей.

Задача № 4.2. Заказ на пошив рубашек был распределен между швеей и ее ученицей. Швея выполнила 75% заказа, сшив 90 рубашек. Количество рубашек, которое шила в день ученица, составило 30% количества рубашек, изготовляемых в день швеей. Ученица работала на один день дольше швеи. Сколько рубашек в день шила швея и сколько ее ученица?
✅ Ответ: 10 и 3 рубашки.

Задача № 4.3. Две группы туристов одновременно вышли с турбазы по одному и тому же маршруту и ежедневно проходили определенное для каждой группы число

километров. Когда первая группа прошла 50% маршрута, то это составило 24 км. Число километров, которое проходила в день вторая группа, составило 75% от числа километров, пройденных в день другой группой, а поэтому вторая группа была на маршруте на 1 день дольше. Сколько километров в день проходила каждая группа?
✅ Ответ: 16 км и 12 км в день.

Задача № 4.4. На покупку пачек цветной и белой бумаги для детского творчества было выделено 1000 р., причем 40% этих денег выделено на покупку белой бумаги. Пачка цветной бумаги дороже на 25% пачки белой бумаги. В итоге купили белой бумаги на 1 пачку меньше. Сколько купили белой и сколько цветной бумаги?
✅ Ответ: 5 и 6 пачек.

Типовая задача № 5. Изменение процентного содержания.

Задача № 5.1. а) Сколько воды надо выпарить из 500 кг целлюлозной массы, содержащей 85% воды, чтобы получить массу с 75%-ным содержанием воды?
РЕШЕНИЕ:
Найдем, сколько воды содержится в 500 кг целлюлозной массы: 500 • 0,85 = 425 (кг).
Пусть надо выпарить х кг воды, тогда останется (425 — х) кг воды после выпаривания, что составит 75% полученной массы, равной (500 — х) кг. Имеем уравнение:
425 — х = 0,75 (500 — х),
откуда х = 200.
✅ Ответ: 200 кг.

Задача № 5.2. Сколько воды надо выпарить из 5 кг грибов, содержащих 80% воды, чтобы полученная масса грибов содержала 15% воды?
✅ Ответ: примерно 3,8 кг.

Задача № 5.3. Сколько сахарного сиропа, содержащего 25% сахара, надо добавить к 200 г воды, чтобы получить раствор, содержащий 5% сахара?
✅ Ответ: 50 г.

Задача № 5.4. Имеется 50 г 60%-го раствора соли. Сколько граммов 15%-го раствора той же соли надо добавить в этот раствор, чтобы получить 40%-ный раствор соли?
✅ Ответ: 40 г.

Типовая задача № 6. Разделение целого на части.

Задача № 6.1. Известно, что в двух упаковках всего 85 м кружев. Когда использовали 80% одной упаковки и 60% другой упаковки, осталось всего 24 м. Сколько метров кружев в каждой упаковке?
РЕШЕНИЕ:
Пусть в первой упаковке х м кружев, тогда во второй (85 — х) м кружев. Когда использовали 80% первой упаковки, в ней осталось 0,2x метров кружев. Когда использовали 60% второй упаковки, в ней осталось 0,4(85 — х) метров кружев. Имеем уравнение:
0,2х + 0,4(85 — х) = 24,
откуда х = 50.
✅ Ответ: 50 м и 35 м.

Задача № 6.2. Два участка шоссе, требующие ремонта, составляют 55 км. За неделю отремонтировали 60% первого участка и 30% второго, всего 21 км. Какова длина каждого участка?
✅ Ответ: 15 км и 40 км.

Задача № 6.3. в) В марте и апреле прошлого года было 35 солнечных дней. В этом году число солнечных дней в марте увеличилось на 30%, а в апреле уменьшилось на 20% и было всего 38 дней. Сколько было солнечных дней в марте и сколько в апреле прошлого года?
✅ Ответ: 20 и 15 дней.

Смотрите также другие Решения задач по математике:

• Решение задач на дроби
• Решения задач на проценты
• Решение задач на круговые диаграммы
• Решение задач на проценты через уравнения

Это конспект по математике на тему «Решение задач на проценты через уравнения». Выберите дальнейшие действия:

• Перейти к следующему конспекту: 
• Вернуться к списку конспектов по Математике.
• Проверить знания по Математике.