Конспект по математике "Решения задач на проценты" - УчительPRO

Решения задач на проценты

Ключевые слова конспекта: решения задач на проценты, ответы на типовые задачи, решения с пояснениями, математика для 5-6 классов; нахождение нескольких процентов от данной величины, восстановление величины по известным ее процентам, выражение отношения в процентах, увеличение (уменьшение) на несколько процентов, прикидка вместо точных подсчетов, увеличение (уменьшение) на несколько процентов раз и еще раз, сложные проценты, увеличение на 100%, 200%, уменьшение в несколько раз, проценты от процентов целого, нахождение целого по его процентам, выражение остатка процентами целого, выражение величины процентами целого, проценты от процентов целого, оставшиеся проценты целого, сложение процентов, уменьшение (увеличение) на несколько процентов, сравнение величин, отношение процентов, «потери», выраженные в процентах, концентрация раствора.



Задача № 1. Нахождение нескольких процентов от данной величины.

В избирательном округе 35 000 избирателей. В голосовании приняло участие 67% всех избирателей. Сколько человек голосовало?

РЕШЕНИЕ:

 Способ 1.
 Сначала найдем 1% всего числа избирателей, т.е. одну сотую целого: 35 000 : 100 = 350. Теперь найдем 67% всего числа избирателей: 350 • 67 = 23 450.

Способ 2.
 Используем умение находить часть целого. 67% величины – это 67 ее сотых долей, т.е. 67% выражаются дробью 67/100, или 0,67. Чтобы найти 67/100 (или 0,67), нужно 35 000 умножить на дробь: 35 000 • 0,67 = 23 450.

Ответ: 23 450 избирателей.

Задача № 2. Восстановление величины по известным ее процентам.

В избирательном округе голосовало 23 450 избирателей, что составило 67% всех избирателей. Сколько всего избирателей в округе?

РЕШЕНИЕ:

Способ 1.
Сначала найдем 1% избирателей, принявших участие в голосовании: 23 450 : 67 = 350. Теперь найдем 100% всего числа избирателей: 350 • 100 = 35 000.

Способ 2.
Используем умение восстанавливать целое по известной его части.
67% величины – это 67 ее сотых долей, т.е. 67% выражаются дробью 67/100 или 0,67.
Чтобы найти 67/100 (или 0,67), нужно 23 450 разделить на дробь: 23 450 : 0,67 = 35 000.

Ответ: 35 000 избирателей.

Задача № 3. Выражение отношения в процентах.

На телеграфе получено 360 телеграмм. Из них 144 телеграммы – поздравительные. Сколько процентов составляет часть поздравительных телеграмм?

РЕШЕНИЕ:

Сначала найдем, какую часть одна величина (число поздравительных телеграмм) составляет от другой (общего числа телеграмм): 144/360 = 2/5, затем выразим ее при необходимости десятичной дробью, а затем – и процентах 40%.

Ответ: 40%.

Задача № 4. Увеличение (уменьшение) на несколько процентов.

Цена упаковки составляет 6% цены игрушки. Какова стоимость игрушки с упаковкой, если цена игрушки 650 р.?

РЕШЕНИЕ:

Способ 1.
Сначала найдем цену упаковки: 650 : 100 • 6 = 39 (р.). Теперь, увеличив цену, найдем стоимость игрушки с упаковкой: 650 + 39 = 689 (р.).

Способ 2.
Стоимость игрушки с упаковкой увеличилась на 6% и составила 100% + 6% = 106% цены игрушки. Так как 106% соответствует дроби 1,06 (или 106/100), то найдем 1,06 от 650. Имеем 650 • 1,06 = 689 (р.)

Ответ: 689 р.

Задача № 5. Прикидка вместо точных подсчетов.

Примечание. Полезно знать некоторые факты. Так, чтобы увеличить целое на 50%, достаточно прибавить к нему половину; чтобы найти 20% величины, надо найти ее пятую часть; что треть величины – это примерно 33%. Кроме того, нередко в реальной жизни достаточно вместо точных подсчетов выполнить грубую прикидку.

Во время распродажи масляные краски для рисования стоимостью 213 р. за коробку продавали на 19% дешевле. Сколько примерно денег сэкономит художественная студия, если она купит партию в 150 коробок?

РЕШЕНИЕ:

213 р. – это примерно 200 р., 19% – это примерно 20%, т.е. пятая часть цены. Следовательно, коробка красок стоит на 200 : 5 = 40 р. дешевле, а 150 коробок на 40 • 150 = 6000 р. дешевле.

Ответ: примерно 6 тыс. р.

Задача № 6. Увеличение (уменьшение) на несколько процентов раз и еще раз.

а) Зонт стоит 360 р. В ноябре цена зонта была снижена на 15%, а в декабре – еще на 10%. Какой стала стоимость зонта в декабре?

РЕШЕНИЕ:

Найдем стоимость зонта в ноябре: она составляет 85% от 360 р. Имеем: 360 • 0,85 = 306 (р.). Второе снижение цены происходило относительно новой цены зонта; теперь следует находить 90% от 306 р. Имеем: 306 • 0,9 = 275,4 (р.).

Ответ: 275 р. 40 к.

Дополнительный вопрос: на сколько процентов по отношению к первоначальной цене подешевел зонт?
Подсказка к решению. Найдите отношение последней цены к исходной, выразите его в процентах и сравните со 100%.

Ответ: зонт подешевел на 23,5%.

Задача № 7. Сложные проценты.

а) Несколько лет тому назад в лесничестве росло 10 000 берез. Ежегодно подсаживали примерно 10% новых берез и в этом году насчитали примерно 13 300 берез. За сколько лет произошел такой прирост березовой рощи?

РЕШЕНИЕ:

Ежегодно число деревьев увеличивалось на 10%, т.е. в 1,1 раза, и составило в первый год 10 000 • 1,1 = 11 000, во второй 11 000 • 1,1 = 12 100, в третий 12 100 • 1,1 = 13 310 берез.

Ответ: за 3 года.

Задача № 8. Увеличение на 100%, 200%.

Фирма в первый месяц выпустила 160 игрушечных автомобилей. В следующем месяце она увеличила выпуск этих игрушек на 200%. Во сколько раз увеличился выпуск игрушечных автомобилей? Сколько игрушечных автомобилей стала выпускать фирма?

РЕШЕНИЕ:

Исходный выпуск автомобилей составляет 100%, т.е. 160 автомобилей – это 100%. Тогда в следующем месяце выпуск автомобилей составил 100% + 200% = = 300%, т.е. в 3 раза больше. Значит, фирма стала выпускать 160 • 3 = 480 автомобилей.

Ответ: в 3 раза, 480 автомобилей.

Задача № 9.   Уменьшение в несколько раз.

Во сколько раз меньше стал стоить товар, если его уценили на 98% ?

РЕШЕНИЕ:

Стоимость товара 100%, а после его уценки на 98% стала 100% – 98% = 2%, т.е. уменьшилась в 100 : 2 = 50 раз.

Ответ: в 50 раз.

Задача № 10. Проценты от процентов целого.

Из 550 учащихся школы в референдуме по вопросу о введении Ученического совета участвовали 88% всех учащихся. На вопрос референдума 75% учащихся, принявших участие в голосовании, ответили «да». Какой процент от числа всех учащихся школы составили те, которые ответили положительно?

РЕШЕНИЕ:

Способ 1.
Выразим проценты дробями и вычислим число учащихся, утвердительно ответивших на вопрос референдума. Имеем 550 • 0,88 • 0,75 = 363 (уч.). Теперь найдем ответ на вопрос задачи: 363 : 550 = 0,66 – это 66%.

Способ 2.
Выразим проценты дробями и перемножим дроби, т.е найдем 0,75 от 0,88 и получим 0,66 – это 66%.

Ответ: 66%.

Задача № 11. Нахождение целого по его процентам.

Летом на дачу с детским садом выехали 180 детей. Известно, что 10% детей не поехали на дачу. Сколько всего детей в детском саду?

РЕШЕНИЕ:

Выразим в процентах число детей, которые поехали на дачу: 100% – 10% = 90% и продолжим решение.

Способ 1: если 90% – это 180 детей, то 10% в 9 раз меньше, т.е. 20 детей, а 100% – это 200 детей.

Способ 2: 180 детей составляют 90%, т.е. 0,9 всех детей, найдем целое по его части: 180 : 0,9 = 200.

Ответ: 200 детей.

Задача № 12. Выражение остатка процентами целого.

Андрей за работу над новым проектом получил премию. Он истратил часть денег на подарки: 5% – родителям, 10% – жене, 7% – сыну и у него осталось 11 700 р. Какую сумму денег составила премия?

РЕШЕНИЕ:

Выразим в процентах количество денег, оставшихся от премии, и вычислим целое по его проценту.
100% – 5% – 10% – 7% = 78%.
11 700 : 78/100 = 15 000 (р)

Ответ: 15 тыс. р.

Задача № 13. Выражение величины процентами целого.

Среди участников кросса 35% студенты, остальные – старшеклассники, причем их на 252 человека больше, чем студентов. Сколько спортсменов участвует в кроссе?

РЕШЕНИЕ:

Найдем, на сколько процентов больше старшеклассников, чем студентов: (100% – 35%) – 35% = 30%. Эти 30% составляют 252 человека. Имеем 252 : 0,3 = = 840 (чел.).

Ответ: 840 человек.

Задача № 14. Проценты от процентов целого.

Четверть тиража новой газеты раскуплена в первый же день ее выпуска, причем 64% этой газеты продано в газетных киосках. Сколько процентов всего тиража продано в газетных киосках?

РЕШЕНИЕ:

Четверть тиража новой газеты составляют его 25%. Найдем 64% от 25%, получим 0,16, т.е. 16%.

Ответ: 16% тиража.

Задача № 15. Оставшиеся проценты целого.

Автомобиль прошел 40% пути, а затем 30% оставшегося расстояния. Сколько процентов всего пути ему осталось пройти?

РЕШЕНИЕ:

Способ 1.
После того как автомобиль прошел 40% пути, ему осталось пройти еще 60% пути. Найдем 30%, т.е. 0,3 от 60%, получим 18%. Значит, всего автомобиль прошел 40% + 18% = 58% пути и ему осталось пройти 100% – 58% = 42% пути.

Способ 2.
После того как автомобиль прошел 40% пути, ему осталось пройти еще 60% пути. А когда он пройдет 30% оставшегося расстояния, то ему останется пройти 70% оставшегося расстояния. Найдем 70%, т.е. 0,7 от 60%, получим 42%.

Ответ: 42% пути. Проверьте ответ, считая путь равным конкретному числу, например, 100 км.

Задача № 16. Сложение процентов.

В школе 16% девочек и 28% мальчиков занимаются в спортивных секциях. Сколько всего процентов школьников занимаются в спортивных секциях, если число мальчиков и число девочек в школе одинаково?

РЕШЕНИЕ:

Число мальчиков и девочек в школе одинаково, а значит, в школе 50% мальчиков и 50% девочек. Найдем 16%, т.е. 0,16 от 50%, получим 8%. Найдем 28%, т.е. 0,28 от 50%, получим 14%. Сложим проценты: 8% + 14% = 22% – столько процентов составляют учащиеся школы, которые занимаются в спортивных секциях.

Ответ: 22% школьников.

Задача № 17. Уменьшение (увеличение) на несколько процентов.

На весенней распродаже в одном магазине товар уценили на 40%, а через неделю еще на 5%. На ярмарке тот же товар уценили сразу на 45%. Где выгоднее покупателю купить эту вещь?

РЕШЕНИЕ:

Товар выгоднее купить там, где он дешевле. В магазине после двух уценок цена товара составит 0,6 • 0,95 = 0,57 его первоначальной цены, а на ярмарке – 0,55 первоначальной цены. Так как 0,57 > 0,55, то правильный ответ: на ярмарке.

Ответ: на ярмарке.

Задача № 18. Сравнение величин.

Во время распродажи кресло, стоившее 3000 р., продавали за 2400 р. На сколько процентов была снижена цена кресла на распродаже?

РЕШЕНИЕ:

Способ 1.
На сколько рублей новая цена меньше старой? На 600 р. На какую часть была снижена цена кресла? На 600/3000 = 1/5. На сколько процентов была снижена цена кресла? На 1/5 часть (на 2/10), т.е. на 20%.

Способ 2.
Какую часть новая цена составляет от старой? 2400/3000 = 8/10 = 0,8, т.е 80%. А это значит, что цена снижена на 20%.

Ответ: цена снижена на 20% .

Задача № 19. Отношение процентов.

Отношение числа девочек в школе к числу мальчиков равно 4:5. Какую часть составляют девочки от числа всех учащихся школы? А мальчики? Выразите ответ в процентах.

РЕШЕНИЕ:

Если отношение числа девочек в школе к числу мальчиков равно 4:5, то число девочек составляет 4 части, а мальчиков 5 частей, а число всех учащихся школы – 9 таких же частей. Поэтому девочки от числа всех учащихся школы составляют 4/9, а мальчики 5/9.

Ответ: примерно 44% и 56%.

Задача № 20. «Потери», выраженные в процентах.

При сушке яблоки теряют 75% своей массы, т.е. ту часть влаги, которая из нее выпаривается. Сушеные яблоки содержат 20% влаги. Какова влажность свежих яблок?

РЕШЕНИЕ:

Масса сушеных яблок составляет 100% – 75% = = 25% массы свежих яблок, и она содержит 0,25 • 0,2 = = 0,05, т.е. 5% влаги. Таким образом, влажность свежих яблок 75% + 5% = 80%.

Ответ: 80% массы.

Задача № 21. Концентрация раствора.

Сколько граммов воды надо добавить к 180 г сиропа, содержащего 25% сахара, чтобы получить сироп, содержащий 20% сахара?

РЕШЕНИЕ:

Определим, сколько сахара в данной массе сиропа: 180 • 0,25 = 45 (г). Теперь найдем, сколько граммов 20–процентного сиропа получится, если взять 45 г сахара: 45 : 0,2 = 225 (г). Таким образом, в данную массу сиропа надо добавить 225 – 180 = 45 (г) воды.

Ответ: 45 г.

 


Это конспект по математике на тему «Решения задач на проценты». Выберите дальнейшие действия:

Решения задач на проценты
5 (100%) 3 vote[s]

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Send this to a friend