Система координат. Координаты вектора
Геометрия 9 класс (углубленное изучение). Конспект по темам: Прямоугольная система координат. История появления системы координат. Примеры заданий с координатами. Векторы и координаты. Коллинеарные векторы. Векторы в системе координат. Длина вектора в системе координат. Операции с координатами вектора. Координаты коллинеарных векторов. Расстояние между точками на плоскости. Координаты середины отрезка. Координаты центра масс треугольника.
Смотрите также смежные темы:
«Векторы: равенство, сложение, разность, умножение»
«Умножение вектора на число. Скалярное произведение»
Прямоугольная система координат
Координатной прямой или координатной осью называется прямая, на которой выбраны точка O, называемая началом координат, и единичный отрезок OE, указывающий положительное направление координатной прямой.
Координатой точки А на координатной прямой называется расстояние х от точки А до начала координат О, взятое со знаком «+», если А принадлежит положительной полуоси, и со знаком «–», если А принадлежит отрицательной полуоси.
ТЕОРЕМА. Расстояние между точками А1, A2 на координатной прямой с координатами х1, х2 соответственно выражается формулой А1A2 = |х1 – х2|.
Доказательство проводится разбором различных случаев взаимного расположения точек на координатной прямой. Например, если точки А1, A2 расположены на положительной полуоси и A2 лежит между О и А1, ОА1 = х1, OA2 = х2, то в этом случае х2 < х1 и А1A2 = ОА1 – ОA2 = х1 – х2 = |х1 – х2|.
Прямоугольной системой координат на плоскости называется пара перпендикулярных координатных прямых с общим началом координат. Начало координат обозначается буквой O, а координатные прямые обозначаются Oх, Oy и называются соответственно осью абсцисс и осью ординат. Плоскость с заданной прямоугольной системой координат называется координатной плоскостью.
Пусть A – точка на координатной плоскости. Через точку A проведём прямую, перпендикулярную оси Oх, и точку её пересечения с осью Oх обозначим А1. Координата этой точки на оси Oх называется абсциссой точки A и обозначается х. Аналогично через точку А проведём прямую, перпендикулярную оси Оу, и точку её пересечения с осью Оу обозначим Ay. Координата этой точки на оси Oy называется ординатой точки А и обозначается у.
Таким образом, точке А на координатной плоскости соответствует пара (х, у), называемая координатами точки на плоскости относительно данной системы координат. Точка А с координатами (х, у) обозначается А(х, у).
Введение прямоугольных координат на плоскости позволило свести многие геометрические задачи к чисто алгебраическим и, наоборот, алгебраические задачи – к геометрическим. Метод, основанный на этом, называется методом координат.
История появления системы координат
Считается, что прямоугольные координаты были введены Р. Декартом (1596–1650), поэтому прямоугольную систему координат называют также декартовой системой координат (система Декарта), а сами координаты – декартовыми координатами.
На самом деле такая прямоугольная система координат — вещь очень естественная, и придумана она была задолго до Рене Декарта. Например, в Древнем Риме ещё до новой эры именно так размечали землю. Для этого на равнине находили возвышение, устанавливали на нём столб, а потом проводили через него две перпендикулярные линии: одну — с востока на запад, другую — с юга на север. По сути, две эти прямые и были координатными осями.
Впрочем, главную идею системы координат — записывать положение точки на плоскости двумя числами — человечество открывало ещё много раз. Например, каждая клетка на шахматной доске обозначена сейчас буквой и цифрой, поэтому первый ход пешкой можно записать так: e2–e4. Такая система записи шахматных партий, или нотация, появилась в конце XVIII века. Примерно та же история происходила с нумерацией мест в зрительном зале. Поначалу этой нумерации вовсе не было, что приводило к постоянной путанице и спорам. Привычная же нам двойная нумерация мест в зале по рядам и номерам кресел в каждом ряду появилась в России только в XVIII веке. Сегодня систему координат вы встречаете на уроках алгебры, когда рисуете графики функций. Но даже если с другом вы играете в «Морской бой», то всё равно пользуетесь системой координат — двойной нумерацией клеток на игровом поле. Изображение на экране вашего компьютера получается по тому же принципу — оно состоит из огромного числа пикселей — светящихся точек: каждая точка на экране должна гореть своим цветом, а её положение на нём задают два числа — координаты.
Стоит добавить, что сам Рене Декарт придумал не совсем такую систему координат. Его система представляла собой лишь один координатный угол или два луча с общим началом, на которые он проектировал точки, лежащие внутри этого угла. Произошло это потому, что в XVII веке отрицательные числа ещё не считали настоящими числами. Современная же прямоугольная система координат появилась только через 50 лет после смерти Декарта в трудах немецкого учёного и философа Готфрида Лейбница.
Примеры заданий с координатами
ПРИМЕР № 1. На координатной прямой точки А1, A2 имеют координаты х1 и х2 соответственно. Найдите координату середины A отрезка А1A2.
Решение. Рассмотрим случай, когда точки А1 и A2 лежат справа от начала координат O и точка А1 лежит между O и A2 (рис. 17.4).
По условию расстояния от точек А1 и A2 до начала координат равны соответственно х1 и х2. Длина отрезка А1A2 равна х2 – х1. Так как A – середина А1A2, то длина отрезка А1A равна (х2 – х1) / 2. Длина отрезка OA равна сумме длин отрезков OА1 и А1A и, значит, равна х1 + (х2 – х1) / 2 = (х1 + х2) / 2. Следовательно, координата точки A равна (х1 + х2) / 2. Аналогичным образом рассматриваются остальные случаи взаимного расположения точек А1 и A2.
ПРИМЕР № 2. Найдите геометрическое место точек на координатной плоскости, для которых: а) х ≥ 0; б) у < 0; в) х ≤ 0, у ≥ 0; г) ху > 0.
Решение.
а) – полуплоскость, расположенная справа от оси ординат; б) – полуплоскость, расположенная ниже оси абсцисс, без самой оси абсцисс; в) – левый верхний квадрант координатной плоскости; г) – правый верхний и левый нижний квадранты координатной плоскости без осей координат.
Векторы и координаты
Во времена Декарта понятия вектора ещё не было, поэтому он не мог знать, что векторы имеют прямое отношение к открытой им системе. На уроках физики вы теперь не только складываете векторы сил или скоростей, но и, наоборот, раскладываете их по двум различным направлениям. Без этого очень неудобно решать, например, задачу о полёте брошенного камня или о мяче, который катится по наклонной плоскости. Как правило, силы и скорости в таких задачах раскладывают по двум перпендикулярным направлениям. По этим же направлениям располагают и оси системы координат.
На самом деле любая система координат связана с векторами. Предположим, на чистом листе бумаги вы нарисовали стрелку. Можно ли только одними словами сообщить другому человеку, какая это стрелка? Вряд ли у вас получится это сделать так, чтобы на своём листе он изобразил точно такую же стрелку. Другое дело, если ваша стрелка нарисована на листе тетради в клеточку. Пусть это будет вектор с, изображённый на рисунке. Как описать его словами другому человеку? Скорее всего, вы произнесёте примерно такую фразу: «Рисуйте стрелку — отступите от её начала на три клетки вправо и поднимитесь на четыре клетки вверх». По этой инструкции другой человек легко нарисует вектор с, равный вашему. Правда, если у него будет такая же тетрадка в клеточку.
Выражение «одна клетка вправо» задаёт вектор перемещения а по горизонтальной линии вашей тетради на один шаг, а оборот «одна клетка вверх» — вектор перемещения b на один шаг, но в перпендикулярном направлении. Поэтому переданное вами сообщение означает, что от начальной точки нужно сделать три шага направо и четыре шага вверх, то есть сложить три вектора а и четыре вектора b. Поэтому логично считать, что вектор с будет равен сумме 3а + 4b.
Пара чисел (3; 4) однозначно определяет вектор с относительно векторов а и b. Вот почему такие числа называют координатами этого вектора в системе векторов а и b. Сами же векторы а и b называют координатными. Обычно через них проводят оси системы координат и откладывают их от одной точки, которую называют началом координат.
Коллинеарные векторы
Любой вектор на плоскости можно однозначно разложить по двум направлениям, и эти направления не обязательно должны быть перпендикулярны друг другу. Какие же это могут быть направления? На самом деле — почти любые. Главное, чтобы они не совпадали и не были противоположными. Если же направления задавать не лучами, а векторами, то эти векторы должны лежать на пересекающихся прямых. Именно такие векторы называют неколлинеарными. Ведь слово коллинеарный пришло из латыни и означает «расположенный на одной линии». Значит, коллинеарными векторы будут только тогда, когда равные им векторы можно поместить на одну прямую.
Коллинеарные векторы обладают одним важным свойством: любой из них может быть получен из другого умножением на некоторое действительное число. Обычно это формулируют как лемму о коллинеарных векторах.
ЛЕММА О КОЛЛИНЕАРНЫХ ВЕКТОРАХ. Если векторы а и b коллинеарны, то существует такое действительное число х, что а = х • b. Если a || b, то а = х • b.
Векторы в системе координат
По традиции векторы, образующие систему координат, рисуют выходящими из одной точки О — начала координат и обозначают их буквами i и j. Такие векторы называют базисными или координатными векторами.
Самой распространённой является система координат, в которой базисные векторы перпендикулярны друг другу, а длина каждого из них равна 1 (нормированная прямоугольная система координат). Обычно её рисуют, не указывая базисные векторы, а просто ставят направления этих векторов на координатных лучах и отмечают на них единицы длины. Сами же координатные оси соответственно обозначают буквами x и у.
Как же по базисным векторам определить координаты произвольной точки А? Делают это так: из начала координат в точку А проводят отрезок ОА и считают, что точка А имеет те же самые координаты, что и вектор ОА.
Такой вектор мы будем называть радиус–вектором. Координаты радиус–вектора ОА показывают, каким образом в точку А можно попасть из начала координат О. Можно даже сказать, что вектор ОА — это стрелка, которая указывает из начала координат на данную точку А.
В любую точку плоскости из начала координат можно провести радиус–вектор, поэтому у каждой точки есть пара координат. Их обозначают так же, как и координаты вектора: пишут пару этих чисел в порядке соответствия координатным векторам i и j и помещают их в скобки. Например, запись А(–3; –2) означает, что точка А или радиус-вектор ОА в базисе i и j имеет координаты –3 и –2.
Координаты вектора
ТЕОРЕМА. Вектор а имеет координаты (x, у) тогда и только тогда, когда он представим в виде а = xi + yj.
Любые два неколлинеарных вектора a и b на плоскости образуют свою систему, или базис, по направлениям которого можно разложить другой произвольный вектор с. А о том, почему это можно сделать единственным образом, говорит следующая теорема.
ТЕОРЕМА. Если векторы а и b неколлинеарны, то любой вектор с на плоскости можно разложить по базису этих векторов единственным образом, то есть существует только одна пара действительных чисел х и у, такая, что с = х • а + у • b. Числа х и у называют координатами вектора с в базисе векторов а и b и записывают это так: с{х; у}.
Как связаны координаты самого вектора с координатами его концов? На это отвечает следующая теорема.
ТЕОРЕМА. Координаты вектора в данной системе равны разностям координат его конца и начала АВ {х2 – х1; у2 – у1}
Длина вектора в системе координат
Длину или модуль вектора в прямоугольной системе координат (системе Декарта) можно выразить через его координаты по теореме Пифагора. И это показывает следующая теорема.
ТЕОРЕМА. Квадрат длины вектора в декартовой системе координат равен сумме квадратов его координат.
Операции с координатами вектора
Зная координаты нескольких векторов в данном базисе, очень легко находить координаты их суммы или разности в этом базисе, а также координаты этих векторов, умноженных на произвольные числа. Для этого необязательно рисовать вектор суммы или разности самих векторов. Достаточно просто сложить или вычесть их координаты. Так же и при умножении вектора на любое число можно просто умножить на это число каждую его координату. А почему это можно сделать, показывает следующая теорема.
ТЕОРЕМА. 1. При сложении или вычитании векторов в данном базисе их координаты соответственно складываются или вычитаются.
2. При умножении вектора на действительное число все его координаты умножаются на это число.
Координаты коллинеарных векторов
Вы уже знаете: если два вектора коллинеарны, то один из них может быть получен из другого умножением на некоторое действительное число. Похожее утверждение можно сформулировать для координат таких векторов.
СВОЙСТВО КОЛЛИНЕАРНЫХ ВЕКТОРОВ. Координаты коллинеарных векторов пропорциональны.
Расстояние между точками на плоскости
Между любыми двумя точками А(х1, у1) и В(х2; у2) на плоскости можно провести вектор АВ. По определению модуль вектора — это просто длина отрезка АВ.
Мы с вами знаем, что в системе Декарта длину вектора можно выразить через его координаты по теореме Пифагора. Координаты вектора АВ равны х2 – х1 и у2 – у1. Поэтому для длины отрезка АВ в декартовой системе справедлива такая формула: АВ2 = (х2 – х1)2 + (у2 – у1)2. Мы запишем её как формулу расстояния между точками.
Координаты середины отрезка
Векторный подход позволяет легко находить координаты середины данного отрезка, если известны координаты его концов.
СВОЙСТВО СЕРЕДИНЫ ОТРЕЗКА. Координаты середины отрезка равны среднему арифметическому координат его концов.
х0 = (х1 + х2) : 2; у0 = (у1 + у2) : 2.
Координаты центра масс треугольника
Центр масс треугольника — это точка, для которой сумма векторов, отложенных в вершины этого треугольника, равна нулю. Кроме того, центр масс треугольника находится в точке пересечения его медиан. Но какие координаты имеет центр масс треугольника относительно его вершин?
КООРДИНАТЫ ЦЕНТРА МАСС ТРЕУГОЛЬНИКА. Координаты центра масс треугольника равны среднему арифметическому координат всех его вершин.
Продолжение темы смотрите в конспекте «Умножение вектора на число. Скалярное произведение векторов«.
(с) В учебных целях использованы цитаты из учебных пособий:
— «Математическая вертикаль. Геометрия. 9 класс : учебное пособие / М.А.Волчкевич — 1-е изд. — М.: Просвещение, 2022».
— «Геометрия. 7-9 классы : учеб, для общеобразоват. организаций/ А. В. Погорелов. — 2-е изд. — М. : Просвещение, 2014»
— «Геометрия. 9 класс : учебное пособие для общеобразоват. организаций / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – М. : Мнемозина, 2024»
Геометрия 9 класс. Конспект по теме: «Система координат. Координаты вектора». Выберите дальнейшие действия: