Сложение и вычитание многочленов

Ключевые слова конспекта: Сложение многочленов, вычитание многочленов, правило раскрытия скобок, представить многочлен в виде суммы или разности многочленов.

Пусть требуется сложить многочлены а³ – 7а² – 1 и 3а³ – а² + 6.
Составим их сумму: (а³ – 7а² – 1) + (3а³ – а² + 6).

Из сочетательного свойства сложения следует: для того чтобы прибавить сумму, надо прибавить каждое слагаемое, входящее в эту сумму. Отсюда получается правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «плюс»:

• если перед скобками стоит знак «плюс», то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заключённого в скобки.

Воспользовавшись этим правилом, раскроем скобки в составленной сумме и приведём подобные члены полученного многочлена:
 (а³ – 7а² – 1) + (3а³ – а² + 6) = а³ – 7а² – 1 + 3а³ – а² + 6 = 4а³ – 8а² + 5.

Вычтем теперь из многочлена 5b² – b + 1 многочлен 8b² + 3b – 6.
Составим разность этих многочленов: (5b² – b + 1) – (8b² + 3b – 6).

Из свойств действий с числами следует: для того чтобы вычесть сумму, надо вычесть каждое слагаемое, входящее в эту сумму. Так как вычитание некоторого числа можно заменить прибавлением числа, ему противоположного, то вычитание суммы можно заменить прибавлением чисел, противоположных слагаемым. Отсюда получается правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «минус»:

• если перед скобками стоит знак «минус», то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого на противоположный.

Пользуясь этим правилом, раскроем скобки в составленной разности и приведём подобные члены полученного многочлена:
(5b² – b + 1) – (8b² + 3b – 6) = 5b² – b + 1 – 8b² – 3b + 6 = –3b² – 4b + 7.

В рассмотренных примерах сумму и разность многочленов мы представили в виде многочленов. Вообще сумму или разность любых многочленов можно представить в виде многочлена. При этом степень получившегося многочлена будет не больше степени многочленов–слагаемых.

Иногда требуется решить обратную задачу – представить многочлен в виде суммы или разности многочленов. При этом пользуются следующими правилами:

• если перед скобками ставится знак «плюс», то члены, заключаемые в скобки, записываются с теми же знаками;
• если перед скобками ставится знак «минус», то у всех членов, заключаемых в скобки, нужно изменить знак на противоположный.

Представим, например, многочлен 5х – 3у + 1 в виде суммы двух слагаемых, одно из которых равно 5х:
 5х – 3у + 1 = 5х + (–3у + 1).

Представим теперь тот же многочлен в виде разности, в которой уменьшаемое равно 5х:
 5х – 3у + 1 = 5х – (3у – 1).

Это конспект по математике на тему «Сложение и вычитание многочленов». Выберите дальнейшие действия:

• Перейти к следующему конспекту: 
• Вернуться к списку конспектов по Математике.
• Проверить знания по Математике.