Трапеция и её свойства

Трапеция: определение.

Трапеция — четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие не параллельны.
AD, ВС — основания; AB, CD — боковые стороны.
Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.
Высота трапеции — перпендикуляр, проведенный из любой точки одного основания на другое или его продолжение (расстояние между прямыми оснований).

Трaпеция встречается впервые у греческого математика Посидония (I в.). О том, что средняя линия трапеции равна половине суммы ее оснований, было известно еще древним египтянам (не позже II в. до н.э.).
Слово «трапeция» — греческое. Оно когда-то означало «столик». Этот термин и слово «трапеза» имеют общее происхождение. Слово «трапеза» дословно означает «застолье».

Свойства и признаки трапеции

   Свойства трапеции

1. Основания трапеции параллельны.
2. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна полусумме оснований.
3. Сумма углов, прилегающих к боковой стороне, равна 180°.
4. Средняя линия делит любой отрезок с концами, лежащими на прямых, проведенных через основания, пополам.

   Признак трапеции

Если в четырехугольнике сумма углов, прилегающих к одной стороне, равна 180°, а сумма углов, прилегающих к соседней стороне, не равна 180°, то он будет трапецией.

   Дополнительные свойства трапеции

1. Середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции лежат на одной прямой.
2. Треугольники, образованные боковыми сторонами и отрезками диагоналей, равновелики.
3. Треугольники, образованные основаниями и отрезками диагоналей, подобны.

Частные случаи трапеции

Равнобокая, или равнобедренная, трапеция — это трaпеция с равными боковыми сторонами (AB = CD).
 Свойства равнобедренной трапеции: 1) углы при основании равны (∠A = ∠D); 2) диагонали равны (AC = BD);
 Признак равнобедренной трапеции: Если ∠A = ∠D или AC = BD, то AB = CD.

Прямоугольная трапеция — это трапeция, у которой одна боковая сторона перпендикулярна основаниям.

Признаки прямоугольной трапеции:
1) В трапеции есть два смежных прямых угла: ∠BAD = 90° и ∠ABC = 90°.
2. Одна боковая сторона перпендикулярна основаниям: AB ⊥ BC, AB ⊥ AD.

Свойства прямоугольной трапеции:
1) Высота прямоугольной трапеции равна ее меньшей боковой стороне.
2) У прямоугольной трапеции два угла — прямые, один — острый и один — тупой.
3) Высота, проведенная из вершины тупого угла, делит прямоугольную трапецию на прямоугольник и прямоугольный треугольник.
4) Квадрат меньшей диагонали прямоугольной трапеции равен сумме квадратов ее высоты и меньшего основания.
5) Квадрат большей диагонали прямоугольной трапеции равен сумме квадратов ее высоты и большего основания.

Таблица. Трапеция и её свойства

Это конспект по теме «Трапеция и её свойства». Выберите дальнейшие действия:

• Перейти к следующему конспекту: 
• Вернуться к Списку конспектов по геометрии