Опорный конспект по геометрии № 2 "Треугольники" - УчительPRO
треугольники

Треугольники

Треугольники: равные, равнобедренные. Первый, второй и третий признаки равенства треугольников. Перпендикуляр, высота, медиана, биссектриса, основание, вершина, боковая сторона. Свойства и признаки равнобедренного треугольника. Серединный перпендикуляр, геометрическое место точек, первая замечательная точка. Подробные доказательства теорем.

Наглядная геометрия 7 класс. Опорный конспект № 2 «Треугольники».

треугольники



Треугольник — одна из самых замечательных и самых важных фигур в геометрии. Все знают, как он выглядит. Но что же такое треугольник? Допустим, что треугольник — это замкнутая ломаная из трех звеньев. Можно представить себе треугольник, сделанный из проволоки. Но известно, что у него есть площадь. Поэтому треугольник — это трехзвенная замкнутая ломаная вместе с частью плоскости, которую она ограничивает. Представьте себе треугольник, сделанный из фанеры или вырезанный из картона.

Очень важным моментом при решении геометрических задач является нахождение равных треугольников. Очевидно, что если у двух треугольников все стороны и углы окажутся соответственно равными, то и треугольники будут равны. На практике равные треугольники определяют, прикладывая их друг к другу. Если треугольники совпадут при наложении, значит, они равны. Этот способ и позволяет дать определение равных треугольников.

Но вот, допустим, у каждого из двух треугольников есть две стороны, которые равны 5 см и 6 см, и какой-то из углов равен 50°. Можно ли утверждать, что треугольники равны? Оказывается, нет. На рисунке вы видите два треугольника с указанными размерами. Они не равны.

При каких же минимальных условиях треугольники будут равны? Существуют по крайней мере три признака равенства треугольников, когда по равенству некоторых сторон и углов можно абсолютно точно сказать, что они равны. Например, если бы угол 50° был образован сторонами длиной 5 см и 6 см, то треугольники были бы равны между собой.

треугольники опорный конспект 2

 

Опорный конспект «Треугольники»

Треугольник — это трехзвенная замкнутая ломаная вместе с частью плоскости, которую она ограничивает. Сумма длин всех трех сторон треугольника называется периметром. Треугольники называются равными, если совпадают при наложении. Если равные треугольники наложить так, что они совпадут, то окажется, что в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, а против равных углов лежат равные стороны.

Первый признак равенства треугольников. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. Действительно, если наложить треугольники друг на друга равными углами, то совпадут и равные стороны. Значит, совпадут и оставшиеся две вершины.

Второй признак равенства треугольников. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Если наложить треугольники друг на друга равными сторонами, то совпадут углы, прилежащие к этим сторонам. Значит, совпадут и третьи вершины.

Перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную прямую, называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, проходящей через данную точку, с концами в данной точке и в точке пересечения с данной прямой. Точка пересечения называется основанием перпендикуляра.

Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или ее продолжение.

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, заключенный между вершиной и точкой пересечения биссектрисы угла и стороны треугольника.

Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. Равные стороны называются боковыми сторонами, третья сторона — основанием, вершина напротив этой стороны — вершиной равнобедренного треугольника. Причем названия «основание», «боковые стороны» и «вершина» равнобедренного треугольника сохраняются, как бы треугольник ни был расположен.

Свойства равнобедренного треугольника. 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. 2. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная из вершины к основанию, является высотой и медианой.

Признак равнобедренного треугольника (по двум углам). Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

Есть еще три признака равнобедренного треугольника. Треугольник является равнобедренным, если:

  • высота треугольника является и медианой;
  • высота треугольника является и биссектрисой;
  • медиана треугольника является и биссектрисой (доказывается продлением медианы на ее длину).

Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, перпендикулярная этому отрезку и проходящая через его середину.

Свойство точек серединного перпендикуляра. Любая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка. Если точка равноудалена от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Геометрическое место точек (ГМТ) — это множество всех точек плоскости, обладающих общим свойством. Например, все точки серединного перпендикуляра равноудалены от концов отрезка, и все точки плоскости, равноудаленные от концов отрезка, лежат на серединном перпендикуляре.

Первая замечательная точка. Все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке — центре описанной окружности.

 

Подробные доказательства теорем

 

Ответы на вопросы по теме «Треугольники»

1. Треугольник — это трехзвенная замкнутая ломаная вместе с частью плоскости, которую она ограничивает.
2. Периметром называется сумма длин всех сторон треугольника.
3. Треугольники называются равными, если они совпадают при наложении.
4. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы и против равных углов лежат равные стороны.
5. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Наложим треугольники друг на друга так, чтобы ∠A совпал с ∠A1 Тогда совпадут лучи АВ и А1В1, АС и А1С1. Так как отрезок АВ равен отрезку А1В1, то точка В совпадет с точкой В1. Так как отрезок АС равен отрезку А1С1, то точка С совпадет с точкой С1. Но через две точки можно провести единственную прямую. Поэтому совпадут и отрезки ВС и В1С1. Треугольники совпали. Значит, они равны.

6. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Наложим треугольники друг на друга так, чтобы сторона АС совпала со стороной А1С1. Так как ∠А равен ∠А1, то они совпадут при наложении. Так как ∠C равен ∠C1, то они совпадут при наложении. Тогда совпадут лучи АВ и А1В1, СВ и С1В1. Совпадут и вершины В и В1. Треугольники совпали. Значит, они равны.

7. Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или ее продолжение. Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, заключенный между вершиной и точкой пересечения биссектрисы угла и стороны треугольника.
8. Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным.
9. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Доказательство. Проведем биссектрису треугольника из вершины к основанию. Из равенства полученных треугольников по двум сторонам и углу между ними следует равенство углов при основании.

10. Если у треугольника два угла равны, то он равнобедренный.

Доказательство. Перевернем треугольник и наложим на данный так, чтобы совпали нижние стороны. При этом совпадут левый и правый углы, так как они равны по условию. Треугольники совпадут. Тогда правая сторона совпадет с левой стороной.

11. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная из вершины к основанию, является высотой и медианой.

Доказательство. Из равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними следует, что углы 1 и 2 равны. Так как эти углы смежные, то каждый из них равен 90°. Поэтому биссектриса является высотой. Из равенства треугольников следует, что равны отрезки основания. Поэтому биссектриса является и медианой.

12. Если в треугольнике высота является и медианой, то он равнобедренный.

Доказательство. Данная высота разбивает треугольник на два треугольника, которые равны по 1-му признаку. Отсюда следует равенство сторон, лежащих против прямых углов в этих треугольниках.

13. Если в треугольнике высота является и биссектрисой, то он равнобедренный.

Доказательство. Данная высота разбивает треугольник на два треугольника, которые равны по 2-му признаку. Отсюда следует равенство сторон, лежащих против прямых углов в этих треугольниках.

14. Если в треугольнике медиана является и биссектрисой, то он — равнобедренный.

Доказательство. Продлим медиану на ее длину. Треугольники с равными вертикальными углами равны по 1-му признаку. Тогда равны их третьи стороны и равны углы 2 и 3. Так как биссектриса делит угол пополам, то ∠l = ∠2, ∠l = ∠3 и левый большой треугольник равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника. Тогда равны все три стороны, обозначенные стрелками, и данный треугольник — равнобедренный.

15. Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним.
16. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Приложим данные треугольники равными сторонами и соединим их противоположные вершины. Полученные левый и правый треугольники будут равнобедренными и поэтому углы при их основаниях будут равны. Тогда верхний и нижний треугольники равны по 1-му признаку.

17. Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, перпендикулярная этому отрезку и проходящая через его середину.
18. Любая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка. Если точка равноудалена от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к нему.

Доказательство. Из равенства треугольников по 1-му признаку следует, что данная точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка. Если некоторая точка плоскости равноудалена от концов отрезка, то получим равнобедренный треугольник. Его медиана, проведенная к основанию, будет и высотой. Значит, эта точка будет лежать на серединном перпендикуляре к отрезку.

19. Геометрическое место точек (ГМТ) — множество всех точек плоскости, обладающих общим свойством.
20. Все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке — центре описанной около этого треугольника окружности.

Доказательство. Точка пересечения двух серединных перпендикуляров будет равноудалена от концов каждой из этих двух сторон, а значит, и от концов третьей стороны. Поэтому она будет лежать на третьем серединном перпендикуляре.

Если поставить ножку циркуля в точку О, то раствором циркуля радиусом, равным АО, можно провести окружность, которая пройдет через все три вершины треугольника. Такая окружность называется описанной около треугольника.


Это конспект по геометрии «Треугольники». Выберите дальнейшие действия:

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Send this to a friend