Поурочное планирование по геометрии для 8 класса. Ориентировано на работу с УМК Атанасян и др. Геометрия 8 класс. Глава VII. ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ. Урок 37 Решение задач на применение признаков подобия треугольников. Вернуться к Списку уроков Тематического планирования.

Урок 37 Решение задач на применение
признаков подобия треугольников

Основные дидактические цели урока: совершенствовать навыки решения задач на применение признаков подобия треугольников; подготовка учащихся к предстоящей контрольной работе.

Ход урока

I. Организационный момент.

Мотивация к учебной деятельности. (Учитель сообщает тему урока, формулирует цели урока.)

II. Анализ ошибок, допущенных в самостоятельной работе

1. Провести общий анализ контрольной работы.
2. Работа над ошибками. (На интерактивной доске записаны готовые ответы и указания к задачам контрольной работы. Учитель делит класс на группы в зависимости от того, какой уровень и вариант самостоятельной работы они выполняли. В одной группе должны быть учащиеся, выполнявшие один и тот же уровень и вариант. Учитель контролирует работу групп и по мере необходимости оказывает помощь.)

Ответы и указания к задачам самостоятельной работы:

I уровень сложности

Вариант 1 уров. 1

№ 1. Рис. 7.38. Доказать: ΔАВС ~ ΔА₁В₁С₁
Указание к решению: Вычислите АС и B₁С₁ по теореме Пифагора. Найдите отношение сторон △АВС и △А₁В₁С₁.

№ 2. Продолжения боковых сторон трапеции ABCD пересекаются в точке О. Найдите ВО и отношение площадей треугольников ВОС и AOD, AD = 5 см, ВС = 2 см, АО = 25 см.
ОТВЕТ: ВО = 10 см, S_BOC : S_AOD = 0,16.
Решение: Рис. 7.44.
а) △ВОС ~ △AOD по двум углам (каким?).
б) ВО : АО = ВС : AD, ВО = ВС * АО / AD = 2 * 25 / 5 = 10 (см).
в) S_BOC : S_AOD = k², k = ВС : AD = 2 : 5, следовательно, k² = 4/25 = 0,16.

Вариант 2 уров. 1

№ 1. Рис. 7.39. Доказать: ΔАВС ~ ΔА₁B₁С₁.
Указание к решению: Вычислите ∠B и ∠A₁. Определите, по какому признаку △АВС ~ △А₁В₁С₁.

№ 2. АВ и CD пересекаются в точке О, АО = 12 см, ВО = 4 см, СО = 30 см, DO = 10 см. Найдите угол САО, если ∠DBO = 61°. Найдите отношение площадей треугольников АОС и BOD.
ОТВЕТ: ∠CAO = 61°, S_AOC : S_BOD = 9.
Решение: Рис. 7.45.
а) △АОС ~ △BOD по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.
б) ∠CAO = ∠DBO = 61°.
в) S_AOC : S_BOD = k², k = АО : ВО = 12 : 4 = 3, следовательно, k² = 9.

II уровень сложности

Вариант 1 уров. 2

№ 1. Рис. 7.40. Доказать: ΔАВС ~ ΔА₁В₁С₁
Указание к решению: Используйте второй признак подобия треугольников, введите обозначения АВ = ВС = х, А₁В₁ = В₁С₁ = у.

№ 2. Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС соответственно в точках М и Н. Найдите АС и отношение площадей треугольников АВС и ВМН, если МВ = 14 см, АВ = 16 см, МН = 28 см.
ОТВЕТ: АС = 32 см, S_ABC : S_BMN = 64 : 49.
Решение: Рис. 7.46.
а) △МВН ~ △AВС по двум углам (каким?).
б) ВМ : ВА = МН : АС, АС = 32 см.
в) S_ABC : S_BMN = k², k = АВ : ВМ = 16 : 14 = 8/7;  k² = 64/49.

Вариант 2 уров. 2

№ 1. Рис. 7.41. Доказать: ΔМВН ~ ΔСВA.
Указание к решению: Используйте первый признак подобия треугольников, найдите две пары равных углов.

№ 2. В треугольнике АВС АВ = 15 м, АС = 20 м, ВС = 32 м. На стороне АВ отложен отрезок AD = 9 м, а на стороне АС – отрезок АЕ = 12 м. Найдите DE и отношение площадей треугольников АВС и ADE.
ОТВЕТ: DE = 19,2 см, S_ABC : S_ADE = 25 : 9.
Решение: Рис. 7.47.
а) △ADE ~ △АВС по двум пропорциональным сторонам и углу между ними (докажите).
б) AD : АВ= DE : ВС, DE = 19,2 см.
в) S_ABC : S_ADE = k², k = АВ : AD = 5 : 3, k² = 25/9.

lll уровень сложности

Вариант 1 уров. 3

№ 1. Дано: ∠1 = ∠2, AD = 4, АС = 9 (рис. 7.42). Найти: АВ, S_ABD : S_ABC.
ОТВЕТ: АВ = 6; S_ABD : S_ABC = 4 : 9.
Решение: △ABC ~ △АDB по двум углам (каким?).
AD : AB = AC : АВ,  АВ = 6.
S_ABD : S_ABC = k² = (AD/AB)² = (4/6)² = 4/9.

№ 2. Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке О, АО • ВО = СО • DO. Докажите, что площади треугольников ACD и ABD равны.
ОТВЕТ: Рис. 7.48.
а) △AOD ~ △СОВ (∠BOC = ∠AOD, АО : СО = DO : ВО).
б) ВС || AD, так как ∠BDA = ∠CBD.
в) S_ACD = S_ABD, так как высоты, проведенные к стороне AD, равны.

Вариант 2 уров. 3

№ 1. Дано: ВС ⊥ АС, МН ⊥ ВС, 2МС = ВС, МН = 0,5АС (рис. 7.43). Доказать: АВ||СН. Найти. S_АВС : S_MCH.
ОТВЕТ: △АВС ~ △МСН по двум пропорциональным сторонам и углу между ними (каким?).
∠ABC = ∠MCH, следовательно, АВ || СН.
S_ABC : S_MCH = k² = (BC/MC)² = (2MC/MC)² = 4.

№ 2. В трапеции ABCD AD и ВС – основания, О – точка пересечения диагоналей, АО : ОС = 3 : 2. Найдите отношение площадей треугольников АВС и ACD.
ОТВЕТ: S_ABC : S_ACD =  2 : 3.
Решение: Рис. 7.49.
а) △ВОС ~ △ADOA по двум углам, следовательно, ВС : AD = ОС : АО = 2 : 3.
б) В △АВС и в △ACD высоты, проведенные к сторонам ВС и AD, равны, следовательно, S_ABC : S_ACD =  2 : 3.

III. Решение задач

Решить задачи № 1—5. (Учитель делит класс на группы и по мере необходимости оказывает индивидуальную помощь.)

1. В прямоугольном треугольнике ABC ∠A = 40°, ∠B = 90°, а в треугольнике MNK углы М, N, К относятся как 5 : 9 : 4. АВ = 3 см, KN — 9 см. Найдите: а) ВС : КМ; б) S_ABC : S_MNK; в) P_ABC : P_MNK.
2. Дано: MN||АС, S_ABC : S_BMN = 49 : 25, MN = 20 см (рис. 7.50). Найти: АС.
3. В параллелограмме ABCD АЕ — биссектриса угла А. Стороны параллелограмма АВ и ВС относятся как 4 : 9. АЕ пересекает диагональ BD в точке К. Найдите отношение ВК : KD.
4. В трапеции ABCD основания ВС и AD равны 2 и 8 см, а диагональ АС равна 4 см. В каком отношении делит диагональ АС площадь трапеции?
5. Прямая MN пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках М и N соответственно так, что ВС = 2ВМ, АВ = 2BN, ВМ : BN = 3 : 5. Найдите: а) Р_АВС : P_NBM; б) S_ABC : S_NBM; в) MN : АС.

Краткое решение задач (ответы):

IV. Рефлексия учебной деятельности

1. Какие треугольники называются подобными?
2. Сформулируйте признаки подобия треугольников.
3. Чему равно отношение периметров, площадей подобных треугольников?
4. Сформулируйте свойство биссектрисы угла.

Домашнее задание

Решить задачи № 1—3 и дополнительно (по желанию учащихся) задачи № 4—5.

1. Диагонали четырехугольника ABCD АС и BD пересекаются в точке О так, что ОС = 5 см, ОВ = 6 см, ОА = 15 см, OD = 18 см. Докажите, что в четырехугольнике ABCD ВС||AD и найдите отношение треугольников AOD и ВОС.
2. Перпендикулярно высоте BD треугольника АВС проведена прямая, пересекающая стороны АВ и ВС в точках М и Р соответственно. Найдите АВ и отношение площадей треугольников МРВ и АВС, если известно, что ВМ = 7 см, ВР = 9 см, PC = 18 см.
3. Прямая EF пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках Е и F соответственно так, что ∠A + ∠EFC = 180°, а площадь четырехугольника AEFC относится к площади треугольника EBF как 16 : 9. Докажите, что треугольник BFE подобен треугольнику ВАС и найдите коэффициент подобия данных треугольников.
4. Диагональ BD четырехугольника ABCD является биссектрисой его угла, ВС • ВА = ВD². Докажите, что ∠BAD = ∠BDC. В каком отношении площадь четырехугольника делится его диагональю BD, если известно, что DC : AD = 3 : 2?
5. На стороне АС треугольника АВС отмечена точка К так, что ΔАВК ~ ΔАВС. Найдите АК, КС, ВК, если известно, что АВ : ВС : АС = 3 : 7 : 9, а периметр треугольника АВС равен 57 см.

Вы смотрели: Поурочное планирование по геометрии для 8 класса. УМК Атанасян и др. (Просвещение). Глава VII. ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ. Урок 37 Решение задач на применение признаков подобия треугольников.

Вернуться к Списку уроков Тематического планирования.