Контрольная работа № 1 по геометрии в 9 классе «Векторы» с ответами УМК Атанасян (средний уровень). Урок 14 поурочного планирования по геометрии. Геометрия 9 класс КР-1 Уровень 2 (средний). Цитаты использованы в учебных целях.
2. На сторонах ВС и CD параллелограмма ABCD отмечены точки К и Е так, что ВК = КС, СЕ : ED = 2 : 3. Выразите векторы АК, АЕ, КЕ через векторы а = АВ и b = AD.
3. «В трапеции ABCD ∠A = 60°, ∠D = 45°, боковые стороны равны 10 см и 12 см, а меньшее основание 8 см. Найдите среднюю линию трапеции». Примечание от 20.02.2024 г:Данная редакция задания из учебного пособия признана некорректной! Предлагается следующая редакция: 3. В трапеции ABCD ∠A = 60°, ∠D = 45°, боковая сторона равны 10 см, а меньшее основание 8 см. Найдите среднюю линию трапеции.
4. * В треугольнике АВС точка В1 — середина АС, точка А1 лежит на стороне ВС так, что ВА1 : А1С = 1 : 2. Используя векторы, докажите, что середина ВВ1 лежит на прямой АА1.
КР–1 Вариант 2
1. Начертите неколлинеарные векторы х, у, z. Постройте векторы, равные: а) у/3 – х/4; б) 0,2z – у + 3х/5.
2. На сторонах АВ и AD параллелограмма ABCD отмечены точки М и N так, что AM = MB, AN : ND = 3 : 4. Выразите векторы CM, CN, MN через векторы х = СВ и у = CD.
3. «В трапеции MNKP ∠M = 45°, ∠P = 30°, боковые стороны равны 8 см и 10 см, а меньшее основание — 5 см. Найдите среднюю линию трапеции».Примечание от 20.02.2024 г:Данная редакция задания из учебного пособия признана некорректной! Предлагается следующая редакция: 3. В трапеции MNKP ∠M = 45°, ∠P = 30°, боковая сторона равна 8 см, а меньшее основание — 5 см. Найдите среднюю линию трапеции.
4. * «В трапеции ABCD ВС : AD = 1 : 2, Е — середина боковой стороныСВ, точка М лежит на АЕ так, что AM : ME = 4 : 1. Используя векторы, докажите, что точка М лежит на диагонали BD«. Примечание:в условии допущена ошибка, если решать это задание, то доказано будет обратное: точка М не лежит на диагонали BD. Скорее всего правильное условие будет таким: 4. * В трапеции ABCD ВС : AD = 1 : 2, Е — середина боковой стороны СD, точка М лежит на АЕ так, что AM : ME = 4 : 1. Используя векторы, докажите, что точка М лежит на диагонали BD.
ОТВЕТЫ на контрольную работу КР-1:
Ответы на задачи Варианта 1
№ 2. На сторонах ВС и CD параллелограмма ABCD отмечены точки К и Е так, что ВК = КС, СЕ : ED = 2 : 3. Выразите векторы АК, АЕ, КЕ через векторы а = АВ и b = AD.
ОТВЕТ: АК = а + b/2; AE = b + 3а/5; KE = b/2 – 2а/5.
№ 3. В трапеции ABCD ∠A = 60°, ∠D = 45°, боковая сторона равна 10 см, а меньшее основание 8 см. Найдите среднюю линию трапеции.
ОТВЕТ: 10,5 + 3√2 см.
Смотреть РЕШЕНИЕ задачи № 3 Варианта 1
Дано: АВСD — трапеция, ∠А = 60°, ∠D = 45°, АВ = 10 см, ВС = 8см, ЕМ — средняя линия. Найти: ЕМ = ?. Решение. Проведем высоты ВН и СК.
ΔАВН — прямоугольный, ∠А = 60° (по условию), тогда ∠АВН = 90 – 60 = 30°, а АН = 1/2 АВ по свойству катета, лежащего против угла 30 градусов.
АН = 10 : 2 = 5 (см).
ΔКDС — прямоугольный, ∠D = 45°, ∠DСК = 90 – 45 = 45°, значит КD = СК.
Пусть КD = СК = х см, тогда по теореме Пифагора х² + х² = 12²
2х² = 144 ⇒ х² = 72 ⇒ х = √72 = 6√2 (см).
КD = СК = 6√2 см.
АD = АН + КН + КD = 5 + 8 + 6√2 = 13 + 6√2 (см) — большее основание.
ЕМ = (ВС + АD) : 2 = (8 + 13 + 6√2) : 2 = (21 + 6√2) : 2 = 1,5*(7 + 2√2) = 10,5 + 3√2 (см).
№ 4. В треугольнике АВС точка В1 — середина АС, точка А1 лежит на стороне ВС так, что ВА1 : А1С = 1 : 2. Используя векторы, докажите, что середина ВВ1 лежит на прямой АА1.
Смотреть РЕШЕНИЕ задачи № 4 Варианта 1
Другой вариант доказательства:
Пусть О — середина BB1. Тогда необходимо доказать, что вектора AO и AA1 коллинеарны.
Выберем базис векторов (AB, AC).
В этом базисе вектор BC = AC — AB, и BA1 = 1/3 * BC = 1/3 * (AC — AB), и тогда
AA1 = AB + BA1 = AB + 1/3 * AC — 1/3 * AB = 2/3 * AB + 1/3 * AC = 1/3 * (2 * AB + AC)
Вектор AO = AB + BO, а BO = 1/2 * BB1, где BB1 = AB1 — AB = 1/2 * AC — AB, или
AO = AB + 1/2 * (1/2 * AC — AB) = 1/2 * AB + 1/4 * AC = 1/4 * (2 * AB + AC)
Обозначая вектор 2 * AB + AC как a, получаем AO = 1/4 * a, AA1 = 1/3 * a,
т.е. AO и AA1 коллинеарны.
Ответы на задачи Варианта 2
№ 2. На сторонах АВ и AD параллелограмма ABCD отмечены точки М и N так, что AM = MB, AN : ND = 3 : 4. Выразите векторы CM, CN, MN через векторы х = СВ и у = CD.
ОТВЕТ: СМ = х + у/2; CN = у + 4х/7; MN = y/2 – 3x/7.
№ 3. В трапеции MNKP ∠M = 45°, ∠P = 30°, боковая сторона равна 8 см, а меньшее основание — 5 см. Найдите среднюю линию трапеции. РЕШЕНИЕ по аналогии с вариантом 1. Ср.линия = (NK + MP) : 2 = (5 + (5 + 4√2 + 5√3)) / 2.
ОТВЕТ: 5 + 2√2 + 2,5√3 ≈ 12,16 см.
№ 4. В трапеции ABCD ВС : AD = 1 : 2, Е — середина боковой стороны СD, точка М лежит на АЕ так, что AM : ME = 4 : 1. Используя векторы, докажите, что точка М лежит на диагонали BD.
Смотреть РЕШЕНИЕ задачи № 4, если боковая сторона СD
Смотреть РЕШЕНИЕ задачи № 4, если боковая сторона СВ
Векторная запись ответов:
Смотрите также задания и ответы на контрольную работу № 1 для других уровней:
Вы смотрели: Контрольная работа № 1 по геометрии в 9 классе «Векторы» с ответами УМК Атанасян (средний уровень). Урок 14 поурочного планирования по геометрии. Геометрия 9 класс КР-1 Уровень 2 (средний). Цитаты использованы в учебных целях.
(с) В учебных целях использованы цитаты из учебного пособия «Поурочные разработки по геометрии. 9 класс / Гаврилова Н.Ф. — М.: ВАКО», которое используется в комплекте с учебником «Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. 7—9 классы. Учебник для общеобразовательных организаций. М.: Просвещение».
решение задачи 4 вариант 1 неполное (первый вариант на картинке). Мы не показали, что вектор AA1 можно представить как вектор OA1 умноженный на какое-либо число. а значит не показали что векторы коллинеарные (лежат на одной прямой).
14 Комментарии
Некорректные данные в задачах №3, 2 уровень
Чем некорректны?
высоты разной длины
из треугольника АВН: ВН=корень из 75,
а из треугольника KCD: CK=корень из 72.
высоты ВН и СК должны быть равны
С Вами полностью согласно. Некорректное условие задачи
надеюсь исправили?
Это задача из учебного пособия. Поэтому её уже не исправить.
Заданий 4, а ответов 2 че за хрень?
в задаче 4 варианта 2 опечатка, боковая сторона CD
иначе задача не решается
Добавлены комментарий и решение к этой задаче. Спасибо.
решение задачи 4 вариант 1 неполное (первый вариант на картинке). Мы не показали, что вектор AA1 можно представить как вектор OA1 умноженный на какое-либо число. а значит не показали что векторы коллинеарные (лежат на одной прямой).
Эхх неужели некому это не интересно? Только взрослым надо чтобы наши дети учились хорошо. Пишу из 2023 года.
нужно убрать из условия АD=12, тогда задача будет иметь смысл. Аналогично и во 2 варианте
Исправлено.