Решение задач Параллельные прямые. Геометрия 7 класс (УМК Атанасян и др. — Просвещение). Уроки 36-38. Решение задач по теме «Параллельные прямые». Самостоятельные работы с ответами и подсказками к решению.
Геометрия 7 класс. Уроки 36-38.
Решение задач Параллельные прямые
Основная дидактическая цель урока: совершенствовать навыки решения задач
Задачи с решениями к уроку 36
№ 1. □ На рисунке 118 прямые а, b и с пересечены прямой d, ∠1 = 42°, ∠2 = 140°, ∠3 = 138°. Какие из прямых а, b и с параллельны?
Решение:
1) ∠1, ∠2 – односторонние углы при прямых а и b и секущей d, ∠1 + ∠2 = 42° + 140° = 182° ≠ 180°, следовательно, прямые а и b не параллельны (рис. 3.80).
2) ∠2 и ∠3 – соответственные углы при прямых с и b и секущей d и ∠2 ≠ ∠3 (∠2 = 140°, ∠3 = 138°), т. е. прямые с и b не параллельны.
3) ∠1 и ∠3 – односторонние углы при прямых a и c и секущей d и ∠1 + ∠3 = 42° + 138° = 180°, следовательно, прямые а и с параллельны.
ОТВЕТ: а || с.
№ 2. □ Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых а и b секущей с, если: а) один из углов равен 150°; б) один из углов на 70° больше другого.
Решение:
а) Пусть ∠1 = 150°, тогда ∠3 = 150°, ∠2 = 30°, ∠4 = 30°, ∠8 = 30°, ∠6 = 30°, ∠5 = 150°, ∠7 = 150° (рис. 3.81).
б) Пусть ∠1 на 70° больше, чем ∠2. Так как ∠1 + ∠2 = 180°, то ∠2 = 55°, ∠1 = 125°, тогда ∠3 = 125°, ∠4 = 55°. Так как а || b, то ∠8 = 55°, ∠5 = 125°, ∠6 = 55°, ∠7 = 125°.
№ 3. □ По данным рисунка 119 найдите ∠1.
Решение:
∠MPS = ∠APO как вертикальные, значит, ∠APO = 73°. ∠APO + ∠COP = 73° + 107° = 180°, a ∠APO и ∠COP – односторонние углы при прямых АВ и CD и секущей ME, значит, АВ || CD. Так как АВ || CD, то ∠NSB = ∠STD, следовательно, ∠NSB = 92° (т. е. ∠1 = 92°) (рис. 3.82).
№ 4. □ ∠ABC = 70°, a ∠BCD = 110°. Могут ли прямые АВ и CD быть: а) параллельными; б) пересекающимися?
Решение:
а) АВ может быть параллельна CD (рис. 3.83, а);
б) АВ и CD могут пересекаться (рис. 3.83, б).
№ 5. Доказать: АВ – биссектриса угла XAZ (рис. 3.85).
Доказательство:
1) ∠A + ∠B = 180°, следовательно ВС || AD. Так как ВС || AD, то ∠BCD + ∠CDA = 180°, тогда ∠C = 130°.
2) ∠BRZ + ∠RZA = 180°, следовательно, XR || AZ. ΔАХВ – равнобедренный, значит, ∠XAB = ∠XBA = 30°. XR || AZ, следовательно, ∠XBA = ∠BAZ= 30°.
Так как ∠XAB = 30° и ∠BAZ = 30°, то АВ – биссектриса ∠XAZ.
№ 6. Дано: АВ = CD, АК = DF, А = D = 60°, ∠AKB = ∠KBC = 90° (рис. 3.79).
Доказать: ВК || CF, ВС || AD.
Решение:
1) ∠KBC = ∠AKB = 90°, а так как это накрест лежащие углы при прямых ВС и AD и секущей КВ, то ВС || AD.
2) ΔАВК = ΔDCF по двум сторонам и углу между ними (АВ = CD, АК = DF, ∠A = ∠D), следовательно, ∠AKB = ∠CFD = 90°.
3) Так как ВС || AD, ∠CFD = 90°, то ∠KFC = 90°.
4) ∠AKB = ∠KFC = 90°, а так как эти углы соответственные при прямых ВК и CF и секущей AD, то ВК || CF.
Задачи по готовым чертежам с самопроверкой к уроку 37
Вариант 1
№ 1. Дано: а || b, ∠1 больше ∠2 в 2 раза (рис. 3.89).
Найти: ∠1, ∠2.
ОТВЕТ: ∠2 = 60°, ∠1 = 120°.
№ 2. Дано: а || b, ∠1 + ∠2 = 122° (рис. 3.90).
Найти: ∠3, ∠4, ∠5, ∠6, ∠7, ∠8.
ОТВЕТ: ∠4 = ∠7 = 61°, ∠3 = ∠5 = ∠6 = ∠8 = 119°.
№ 3. Дано: AD || ВС, ∠1 = 50°, ∠2 = 65° (рис. 3.91).
Найти: ∠ABC.
ОТВЕТ: ∠ABC= 115°.
Вариант 2
№ 1. Дано: m || n, ∠2 больше ∠1 на 30° (рис. 3.92).
Найти: ∠1, ∠2.
ОТВЕТ: ∠1 = 75°, ∠2 = 105°.
№ 2. Дано: а || b, ∠2 + ∠5 = 240° (рис. 3.93).
Найти: ∠1, ∠3, ∠4, ∠6, ∠7, ∠8.
ОТВЕТ: ∠4 = ∠7 = 120°, ∠1 = ∠3 = ∠6 = ∠8 = 60°.
№ 3. Дано: CD || АВ, ∠1 = 40°, ∠2 = 75° (рис. 3.94).
Найти: ∠ABC.
ОТВЕТ: ∠ABC = 115°.
Задачи с самопроверкой к уроку 37
I уровень сложности (легкий)
№ 1. Дано: ∠1 = 60°, ∠2 = 20°, а || b (рис. 3.96).
Найти: ∠3.
Указание: Через точку С провести прямую, параллельную прямой а, и доказать, что ∠3 = ∠1 + ∠2.
ОТВЕТ: ∠3 = 80°.
№ 2. Дано: ∠АОР = 80°, ∠OPS = 80°, ∠FSP = 40° (рис. 3.97).
Найти: ∠OFK, ∠KFB.
Решение: ∠AOP = ∠OPS, тогда АВ || CD, тогда ∠OFK = 40°, ∠KFB= 140°.
ОТВЕТ: ∠OFK = 40°, ∠KFB= 140°.
№ 3. Найти: х, у (рис. 3.98).
Решение: ∠E + ∠F = 180°, тогда ЕК || FP, поэтому х = 50°, у= 130°.
ОТВЕТ: х = 50°, у= 130°.
№ 4. Дано: АЕ – биссектриса ∠BAD (рис. 3.99).
Найти: ∠ABE, ∠BEA.
Решение: ∠C + ∠D = 180°, значит, ВС || AD, тогда ∠BEA = ∠EAD = 30°. АЕ – биссектриса ∠BAD, поэтому ∠BAE = ∠EAD = 30°, a ∠BAD = 60°. ВС || AD, значит, ∠ABE + ∠BAD = 180°, тогда ∠ABE = 120°.
ОТВЕТ: ∠ABE = 120°, ∠BAE = 30°.
II уровень сложности (средний)
№ 1. Найти: х, у (рис. 3.100).
Указание: Докажите, что РЕ || KF из равенства углов, градусные меры которых 70°.
ОТВЕТ: у = 52°, х = 128°.
№ 2. Найти: х, если ∠ABE = ∠CBE (рис. 3.101).
Решение: ∠C + ∠D = 180°, значит, ВС || AD, тогда ∠AEB = ∠EBC = 52°.
∠ABE = ∠CBE, поэтому ∠ABC = 104°. Так как BC || AD, a ∠ABC = 104°, то ∠BAE =76°, т. е. х = 76°.
ОТВЕТ: х = 76°.
№ 3. Дано: РТ – биссектриса ∠KPM (рис. 3.102).
Найти: х.
Решение: ∠M+ ∠N = 180°, значит, NK || МР, тогда ∠K = ∠KPM = 68°.
РТ – биссектриса ∠KPM, значит, ∠TPM = 34°.
NK || МР, тогда ∠TPM = ∠PTK = 34°, т. е. х = 34°.
ОТВЕТ: х = 34°.
№ 4. Дано: а || b (рис. 3.103).
Найти: ∠MOE.
Указание: Через точку О провести прямую, параллельную прямой МА, и доказать ∠MOE = ∠AMO + ∠OEB.
Так как а || b, то ∠AME + ∠MEB = 180°, но ∠AMO = 1/2 • ∠AME,
∠OEB = 1/2 • ∠MEB, тогда ∠AMO + ∠OEB = 1/2 • (∠AME + ∠MEB) = 90°, т. e. ∠MOE = 90°.
ОТВЕТ: ∠MOE = 90°.
Задачи с самопроверкой к уроку 38
№ 1. Две параллельные прямые пересечены секущей. Докажите, что биссектрисы накрест лежащих углов параллельны
Дано: а || b, с – секущая, ∠ABC и ∠BCD – накрест лежащие, BE – биссектриса ∠ABC, СК – биссектриса ∠BCD (рис. 3.104).
Доказать: BE || СК.
Доказательство: Так как ∠ABC и ∠BCD – накрест лежащие при параллельных а и b и секущей с, то ∠ABC = ∠BCD. Учитывая, что BE и КС – биссектрисы углов ∠ABC и ∠BCD, получаем ∠EBC = ∠BCK, т. е. накрест лежащие углы ЕВС и ВСК при прямых BE и КС и секущей ВС равны, значит, BE || КС. Итак, биссектрисы накрест лежащих углов параллельны.
№ 2. Две параллельные прямые пересечены секущей. Докажите, что биссектрисы односторонних углов перпендикулярны.
Дано: АВ || CD, АС – секущая, АЕ – биссектриса ∠BAC, СЕ –биссектриса ∠ACD, ∠BAC и ∠ACD – односторонние (рис. 3.105).
Доказать: АЕ ⊥ СЕ.
Доказательство: Так как АВ || CD, то ∠BAC + ∠ACD = 180°. АЕ – биссектриса ∠BAC, СЕ – биссектриса ∠ACD, поэтому ∠CAE = 1/2 • ∠BAC, ∠ACE = 1/2 • ∠ACD, получаем ∠CAE + ∠ACE = 1/2 • (∠BAC + ∠ACD) = 90°, следовательно, ∠AEC = 90°. Итак, биссектрисы односторонних углов перпендикулярны.
№ 3. Дано: ∠1 = ∠2 = 35°, ∠3 меньше ∠4 на 50° (рис. 3.109).
Найти: ∠3, ∠4.
Решение: ∠1 = ∠2 = 35°, значит, АВ || CD, тогда ∠3 = ∠BDC, но ∠BDC и ∠4 – смежные и ∠BDC + ∠4 = 180°.
∠BDC на 50° меньше ∠4, поэтому ∠BDC + 50° + ∠BDC = 180°, откуда ∠BDC = 65°, значит, ∠3 = 65°, ∠4 =115°.
ОТВЕТ: ∠3 = 65°, ∠4 = 115°.
№ 4. Дано: АВ || СЕ, ∠BAC = 20°; ∠BCE : ∠ECD = 4 : 1 (рис. 3.110).
Найти: ∠BCD.
Решение: АВ || СЕ, значит, ∠BAC = ∠ECD = 20°.
∠BCE : ∠ECD = 4 : 1, значит, ∠BCE = 80°.
∠BCD = ∠BCE + ∠ECD = 100°.
ОТВЕТ: ∠BCD = 100°.
№ 5. Дано: ∠A = ∠B, ∠ACD = ∠ECD (рис. 3.111).
Доказать: АВ || CD.
Доказательство: Пусть ∠A = ∠B = x, тогда ∠ACB = 180° – 2x, a ∠ACE = 180° – ∠ACB = 2x.
Так как ∠ACD = ∠ECD, a ∠ACE = 2x, тo ∠ACD = x.
Получили, что ∠A = ∠ACD = x, значит, AB || CD.
№ 6. Дано: ∠1 : ∠2 = 5 : 4 (рис. 3.130).
Найти: ∠1, ∠2, ∠3, ∠4.
Решение: 52° + 128° = 180°, следовательно, а||b.
Так как а||b, то ∠2 = ∠3 = ∠6, a ∠1 + ∠6 = 180°, тогда ∠1 + ∠2 = 180° (рис. 3.131).
Так как ∠1 : ∠2 = 5 : 4, то ∠1 = 5х, ∠2 = 4х, тогда 5х + 4х = 180°, х = 20°.
Значит, ∠1 = 100°, ∠4 = 100°, ∠2 = 80°, ∠3 = 80°.
Ответ: ∠1 = ∠4 = 100°, ∠2 = ∠3 = 80°.
№ 7. Дано: АС||BD, АВ = АС, ∠ACB = 25° (рис. 3.132).
Найти: ∠DBC.
Решение: АС||BD, поэтому ∠ACB = ∠CBD = 25°.
АВ = АС, тогда ΔАВС – равнобедренный, ∠ABC = ∠ACB = 25°, значит, ∠ABD = 50°, a ∠DBC = 130°.
Ответ: ∠DBC = 130°.
№ 8. Дано: АВ||DE, ∠BCD = 70°, ∠ABC : ∠EDC= 3 : 4 (рис. 3.133).
Найти: ∠ABC, ∠EDC.
Решение: СК||АВ, по условию АВ||DE, тогда СК||DE, значит, ∠ABC = ∠BCK, ∠KCD = ∠CDE, a ∠BCD = ∠BCK + ∠KCD = ∠ABC +∠CDE = 70° (рис. 3.134).
Так как ∠ABC : ∠EDC = 3 : 4, то ∠ABC = 3x, ∠EDC = 4x, тогда 3x + 4x = 70°, x = 10°.
∠ABC = 30°, ∠EDC = 40°.
Ответ: ∠ABC = 30°, ∠EDC = 40°.
№ 9. Дано: DC||BE, ∠CDB = 40°, ∠CBD на 20° больше ∠CBE (рис. 3.135).
Найти: ∠ABC.
Решение: DC||BE, ∠CDB = 40°, значит, ∠ABE = ∠CDB = 40°.
∠ABE = 40°, тогда ∠EBD = 140°, а так как ∠EBD = ∠EBC + ∠CBD и ∠CBD на 20° больше ∠EBC, то 2∠EBC + 20° = 140°, ∠EBC = 60°.
Так как ∠ABC = ∠ABE + ∠EBC, ∠ABE = 40°, ∠EBC = 60°, то ∠ABC = 100°.
Ответ: ∠ABC = 100°.
Вы смотрели: Решение задач Параллельные прямые. Геометрия 7 класс (УМК Атанасян и др. — Просвещение). Уроки 36-38. Решение задач по теме «Параллельные прямые». Самостоятельные работы с ответами и решениями. Ориентировано на работу с базовым учебником: «Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. 7—9 классы. Учебник для общеобразовательных организаций. М.: Просвещение».