Геометрическая прогрессия

Коды ОГЭ по математике: 4.2.3. Геометрическая прогрессия. Формула общего члена геометрической прогрессии. 4.2.4. Формула суммы первых нескольких членов геометрической прогрессии

Определения и обозначения

Определение. Геометрической прогрессией называют последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число. (Первый член геометрической прогрессии также не может быть равен нулю.)

В геометрической прогрессии отношение любого члена, начиная со второго, к предыдущему члену равно одному и тому же числу. Это число называют знаменателем геометрической прогрессии и обозначают буквой q. Правило, по которому образуются члены геометрической прогрессии, можно записать в виде рекуррентной формулы: 

Или b_n+1 = b_n • q.

Пример 1. Пусть b₁ = 1 и q = 3. Получаем геометрическую прогрессию: 1; 3; 9; 27; 81; 243; … Это возрастающая последовательность.

Пример 2. Пусть b₁ = 5 и q = –2. В этом случае знаки у членов прогрессии чередуются: 5; –10; 20; –40; 80; –160; 320; … . Это последовательность не является ни возрастающей, ни убывающей.

Геометрическая прогрессия, члены которой – положительные числа, обладает свойством: любой её член, начиная со второго, равен среднему геометрическому предыдущего и последующего членов, т. е.

Формулы n–го члена геометрической прогрессий

Формула n–го члена геометрической прогрессии (b_n), первый член которой равен b₁, a знаменатель равен q:

b_n = b₁ • q^n–1

Формула содержит три переменные. Если известны значения двух из них, то можно вычислить и значение третьей.

Если последовательность (b_n) – геометрическая прогрессия, то для любых натуральных n и m верно равенство: b_n = b_m • q^n-m.

Пример 3. В геометрической прогрессии b₃ = –1/2, b₆ = 4. Найдём b₁₂.

Так как b₆ = b₃ • q³, то q³ = b₆ / b₃ = –8. Далее имеем: b₁₂ = b₆ • q⁶ = b₆ • (q³)² = 4 • (–8)² = 256.

Изображение членов геометрической прогрессии
точками на координатной плоскости

Члены числовой последовательности можно изображать точками на координатной плоскости. Для этого по горизонтальной оси откладывают номер члена, a по вертикальной – соответствующий член последовательности.

На рисунке точками изображены несколько членов геометрической прогрессии (b_n), в которой b₁ = 1, q = 2; эта прогрессия задаётся формулой
b_n = 2^n-1.

Скорость её роста всё время увеличивается, и точки, соответствующие её членам, резко «уходят» вверх. Все они лежат на кривой, которая носит название экспонента. Чем выше поднимается экспонента у = 2^х, тем круче она становится.

Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии

Если q ≠ 1, то   

Заметим, что если 0 < q < 1, то удобнее пользоваться формулой суммы, представленной в виде: 

Если q = 1, то все члены прогрессии равны между собой и S_n = nb₁.

Пример 4. Найдём сумму 

Слагаемые в этой сумме – члены геометрической прогрессии, первый член которой равен 1, a знаменатель равен ½. Всего суммируется 11 членов. Имеем:

Пример 5. Найдём сумму первых восьми членов геометрической прогрессии, второй член которой равен 6, a четвёртый равен 24.

Это конспект по математике на тему «Геометрическая прогрессия». Выберите дальнейшие действия:

• Перейти к следующему конспекту: 
• Вернуться к списку конспектов по Математике.
• Проверить знания по Математике.