Произведение многочленов

Ключевые слова конспекта: произведение многочленов, умножение одночлена на многочлен, умножение многочлена на многочлен.

1. Умножение одночлена на многочлен

Пусть требуется умножить одночлен 2а³ на многочлен 3а⁴ – 4а² + а.
Составим произведение 2а³(3а⁴ – 4а² + а).

Из распределительного свойства умножения следует: для того чтобы число умножить на сумму, надо умножить его на каждое слагаемое и результаты сложить. Воспользовавшись распределительным свойством умножения, преобразуем составленное произведение:
 2а³(3а⁴ – 4а² + а) = 2а³ • 3а⁴ – 2а³ • 4а² + 2а³ • а = 6а⁷ – 8а⁵ + 2а⁴.

При умножении одночлена на многочлен пользуются следующим правилом:

• чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

Распределительный закон умножения относительно сложения, на котором основано правило умножения одночлена на многочлен, древнегреческий математик Евклид в III в. до н.э. доказывал на языке «геометрической алгебры»: если одна из сторон прямоугольника является суммой нескольких отрезков, то площадь всего прямоугольника можно найти как сумму площадей его частей. Например, если а = а¹ + а² + а³ – одна сторона прямоугольника, b – его вторая сторона, то площадь прямоугольника равна ab = (ах + а² + а³)b = ах⁶ + а²b + а³b. Если считать а = а¹ + а² + а³ многочленом, а b – одночленом, то мы получим правило умножения многочлена на одночлен.

В рассмотренном примере мы представили произведение одночлена и многочлена в виде многочлена. Вообще произведение одночлена и многочлена всегда можно представить в виде многочлена. Причём степень произведения будет равна сумме степеней одночлена и данного многочлена.

Пример 1. Умножим одночлен –3ху на многочлен 2х²у + 4ху² – 1.
Имеем:
–3ху • (2х²у + 4ху² – 1) = –3ху • 2х²у + (–3ху) • 4ху² + (–3ху) • (–1) = –6х³у² – 12х²у³ + 3ху.

 Запись можно вести короче, не выписывая промежуточные результаты:
–3ху • (2х²у + 4ху² – 1) = –6х³у² – 12х²у³ + 3ху.

Пример 2. Упростим выражение 4а(2а + 5) + 2а(3а – 1) – 1,5а(2а – 4).

 Каждое из произведений преобразуем в многочлен и сложим полученные многочлены:
 4а(2а + 5) + 2а(3а – 1) – 1,5а(2а – 4) = 8а² + 20а + 6а² – 2а – 3а² + 6а = 11а² + 24а.

2. Умножение многочлена на многочлен

Пусть требуется умножить многочлен а + b на многочлен с + d. Составим произведение этих многочленов:
 (а + b)(c + d).

Обозначим двучлен а + b буквой х и воспользуемся правилом умножения одночлена на многочлен:
(а + b)(с + d) = х(с + d) = хс + xd.

В выражение хс + xd подставим вместо х многочлен а + b и снова воспользуемся правилом умножения одночлена на многочлен:
хс + xd = (а + b)c + (а + b)d = ас + bc + ad + bd.

Итак,
 (а + b)(c + d) = ас + bc + ad + bd.

Этот же результат для положительных а, b, с, d можно увидеть на рисунке, интерпретируя, вслед за Евклидом, произведение двучленов как площадь прямоугольника.

Произведение (а + b)(с + d) мы представили в виде многочлена ас + bc + ad + bd. Этот многочлен является суммой всех одночленов, которые получаются при умножении каждого члена многочлена а + b на каждый член многочлена с + d.

Мы пришли к следующему правилу:

• чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.

При умножении многочлена а + b на многочлен с + d мы снова получили многочлен. Вообще произведение двух любых многочленов можно представить в виде многочлена. При этом если многочлен, содержащий m членов, умножается на многочлен, содержащий n членов, то в произведении получается многочлен, состоящий из mn членов (до приведения подобных членов). Этим удобно пользоваться для самоконтроля.

Пример 1. Умножим 3а² – 4аb + b² на многочлен 2а – b.

Составим произведение этих многочленов и преобразуем его в многочлен, умножая каждый член первого многочлена на каждый член второго. Получим:
(3а² – 4аb + b³) • (2а – b) = 3а² • 2а – 4аb • 2а + b² • 2а + 3а² • (–6) + (–4аb)(–b) + b² • (–b) =
= 6а³ – 8а²b + 2аb² – 3а²b + 4ab² – b³ = 6а³ – 11а²b + 6ab² – b³.

Умножение многочленов можно выполнять в столбик.

Из приведённого примера можно сделать полезный вывод: степень произведения многочленов равна сумме степеней многочленов–множителей. Действительно, первый множитель – многочлен степени 2, второй – двучлен степени 1, а их произведение – многочлен степени 2 + 1 = 3.

Рассмотрим пример умножения двух многочленов с одной переменной.

Пример 2. Представим в виде многочлена стандартного вида произведение многочленов 2x² – 3х + 1 и 5x + 4.

 (2х² – 3х + 1)(5х + 4) = 10х³ + 8х² – 15х² – 12х + 5х + 4 = 10х³ – 7х² – 7х + 4.

Старшие коэффициенты многочленов–множителей равны 2 и 5, а старший коэффициент произведения равен 10. Свободные члены многочленов–множителей равны 1 и 4, а свободный член произведения многочленов равен 4. Легко видеть, что старший коэффициент произведения многочленов равен произведению старших коэффициентов множителей. Аналогично, свободный член произведения многочленов равен произведению свободных членов многочленов–множителей.

Пример 3. Упростим выражение (3х – 4)(2х + 1) – (х – 2)(6х + 3).
Умножим многочлен 3х – 4 на многочлен 2х + 1, а многочлен х – 2 – на многочлен 6х + 3 и вычтем из первого произведения второе:
(3х – 4)(2х + 1) – (х – 2)(6х + 3) = (6х² – 8х + 3х – 4) – (6х² + 3х – 12х – 6) =
 = 6х² – 8х + 3х – 4 – 6х² – 3х + 12х + 6 = 4х + 2.

Это конспект по математике на тему «Произведение многочленов». Выберите дальнейшие действия:

• Перейти к следующему конспекту: 
• Вернуться к списку конспектов по Математике.
• Проверить знания по Математике.