Аксиомы планиметрии

Планиметрия (от лат. planum — «плоскость», др.-греч. μετρεω — «измеряю») — раздел евклидовой геометрии, изучающий двумерные (одноплоскостные) фигуры, то есть фигуры, которые можно расположить в пределах одной плоскости: треугольники, окружности, параллелограммы и т. д.

Стереометрия (от др.-греч. στερεός [стереос] — «объёмный, пространственный» + μετρέω [метрео] — «измеряю») — раздел евклидовой геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве: шар, куб, конус и т.д.

Геометрия на плоскости и в пространстве

Аксиома (др.-греч. ἀξίωμα «утверждение, положение») — исходное положение какой-либо теории, принимаемое в рамках данной теории истинным без требования доказательства. Синоним слова: постулат.

Аксиомы планиметрии – система аксиом, в которой собраны утверждения, не требующие доказательств, в отношениях с неопределяемыми (или основными) понятиями в планиметрии (точка, прямая, плоскость).

В «Началах» Евклида была дана система аксиом, на которой базируется вся евклидова геометрия:

  • От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию.
  • Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.
  • Из всякого центра всяким радиусом может быть описан круг.
  • Все прямые углы равны между собой.
  • Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых углов, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых углов.

Эта система была достаточна для того, чтобы один математик понял другого, но в доказательствах неявно использовались и другие интуитивно очевидные утверждения. В 1899 году Гильберт предложил первую достаточно строгую аксиоматику евклидовой геометрии. Система аксиом Гильберта состоит из 20 аксиом и поделена на 5 групп: аксиомы принадлежности, аксиомы порядка, аксиомы конгруэнтности, аксиома параллельности, аксиомы непрерывности.

Существуют и современные системы аксиом, среди которых наиболее известные: аксиоматика Александрова, аксиоматика Биркгофа, аксиоматика Тарского и другие. В российских учебных заведениях изучают, как правило, 10 аксиом, разбитых на 5 групп.

Аксиомы планиметрии, используемые в дисциплинах
«Начертательная геометрия» и «Инженерная графика»:

1. Аксиомы принадлежности

1.1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.

1.2. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

2. Аксиомы взаимного расположения точек на прямой и плоскости

2.1. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

2.2. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.

3. Аксиомы измерения

3.1. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумму длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.

3.2. Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180 градусов. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

4. Аксиомы откладывания

4.1. На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок, заданной длины, и только один.

4.2. От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол заданной градусной мерой, меньшей 180 градусов, и только один.

4.3. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой.

5. Аксиома параллельности

5.1. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.

 


Это конспект по теме «Аксиомы планиметрии». Выберите дальнейшие действия:

4 Комментарии

  1. Аноним:

    Легко запоминается!

  2. Аноним:

    последнее не аксиома

Добавить комментарий

На сайте используется ручная модерация. Срок проверки комментариев: от 1 часа до 3 дней