Итоговое повторение по геометрии за 10-11 классы по теме «Параллельность прямых, параллельность прямой и плоскости. Скрещивающиеся прямые. Параллельность плоскостей». Решение тестов, вопросов и задач с ответами для УМК Атанасян и др. Поурочное планирование по геометрии для 11 класса. Урок 56. Геометрия 11 Повторение Параллельные прямые.

Смотреть Список всех контрольных по геометрии в 11 классе

Итоговое повторение 11 класс
«Параллельность прямых и плоскостей»

Цель урока: повторение теоретического материала; обобщение навыка решения задач по данным темам.

Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Теорема о параллельных прямых. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.
Лемма. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то н другая прямая пересекает эту плоскость.
Теорема для трех прямых в пространстве. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.
Теорема. Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.
Следствие 1. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.
Следствие 2. Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Математический диктант по темам:
«Аксиомы стереометрии» и «Параллельность прямых и плоскостей»

Вариант I

1. В каком случае три точки в пространстве не определяют положение плоскости, проходящей через эти точки?
   ОТВЕТ: В случае если три точки лежат на одной прямой, то плоскость не определена. В этом случае через них можно провести бесконечное множество плоскостей.
2. Могут ли две различные плоскости иметь только одну общую точку?
   ОТВЕТ:Аксиома А₂ гласит: «Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой». Значит две плоскости могут иметь только бесконечное количество общих точек — общую прямую, если эти плоскости пересекаются (по прямой). Или у них нет ни одной общей точки, если эти плоскости параллельны. Поэтому правильный ответ: НЕТ, плоскости не могут иметь только одну общую точку.
   
3. Точка М не лежит на прямой а. Через точку М проводятся прямые, пересекающие прямую а. Лежат ли эти прямые в одной плоскости?
   ОТВЕТ: Да, лежат. Прямая а и точка М задают единственную плоскость. Прямые, о которых идёт речь имеют две точки, принадлежащие этой плоскости, а, значит, принадлежат этой плоскости.
4. Прямые а и b скрещиваются с прямой с. Могут ли прямые а и b пересекаться?
   ОТВЕТ: Да, могут. Так будет, если плоскость, в которой лежат две пересекающиеся прямые a и b, параллельна прямой с.
5. Прямая а параллельна плоскости α. Существуют ли на плоскости α прямые, не параллельные а? Если да, то каково их взаимное положение?
   ОТВЕТ: Да, существуют. Если прямая параллельна плоскости, это совсем не значит, что она параллельна каждой прямой этой плоскости.

Вариант II

1. Что можно сказать о взаимном положении двух плоскостей, имеющих три общие точки, не лежащие на одной прямой?
   ОТВЕТ: две плоскости будут являться одной. Используем аксиому о том, что через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. Из этой аксиомы можно сделать вывод, что эти две плоскости совпадут.
2. Могут ли две различные плоскости иметь только две общие точки?
   ОТВЕТ: Нет. Общую точку имеют плоскость и прямая — эта точка всегда одна. Две быть уже не может, но их может не быть вовсе — это характерно для прямой, которая параллельна плоскости.
3. Прямые а и b пересекаются в точке М. Прямая с, не проходящая через точку M, пересекает прямые а и b. Лежат ли все эти прямые в одной плоскости?
   ОТВЕТ: Да, все прямые лежат в одной плоскости.
4. Прямые а и b скрещиваются с прямой с. Могут ли прямые а и b быть параллельными?
   ОТВЕТ: Да, может. Например, если секущая с перпендикулярна прямой а и прямой b.
5. Две прямые параллельны одной и той же плоскости. Можно ли утверждать, что эти прямые параллельны между собой? Если нет, то каково их взаимное положение?
   ОТВЕТ: Нет, нельзя. Если две прямые параллельны одной и той же плоскости, то они либо пересекаются, либо лежат в одной плоскости, но не пересекаются.

Решение задач по теме
«Параллельность прямых и плоскостей»

Задача № 1. На ребрах DA, DB и DC тетраэдра DABC отмечены точки М, N, Р так, что DM : МА = DN : NB = DP : PC. Докажите, что плоскости MNP и АВС параллельны. Найдите площадь треугольника MNP, если площадь треугольника АВС равна 10 см² и DM : МА = 2:1.

Решение: (рис. 1)
1). Рассмотрим △ADC и △MDP.
По условию DM/МА = DP/PC; AD = MA + MD; DC = DP + PC;
DM/(AD–MD) = DP/(DC–DP) или (AD–MD)/DM = (DC–DP)/DP.
AD/DM – 1 = DC/DP – 1, отсюда AD/DM = DC/DP. Учитывая, что у треугольника ADC и треугольника MDP угол D – общий, a стороны, образующие угол D пропорциональны, делаем вывод △ADC ~ △MDP. Из подобия следует равенство углов: ∠1 = ∠2; ∠3 = ∠4. Таким образом, МР||АС (по признаку параллельности прямых). Повторив рассуждение для грани DCB, получим PN||СВ. Следовательно, по теореме п. 10 (Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны) следует (MNP)||(АВС).

2). △MNP ~ △ABC (по двум углам). DM/MA = 2/1; DM/(AD–MD) = 2/1;
(AD–MD)/DM = 1/2;  AD/DM – 1 = 1/2;  AD/DM = 3/2.
Из подобия △ADC и △MDP следует, что AD/DM = AC/MP; AC/MP = 3/2.
S_АВС = (3/2)^2 = 9/4. S_MNP = 10•4/9 = 4 ⁴/₉ (см²).
ОТВЕТ: 4 ⁴/₉ см².

Задача № 2. Изобразите тетраэдр ABCD и отметьте точку М на ребре АВ. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М параллельно прямым АС и BD.

Решение: (рис. 2) Проведем ME||АС, MF||BD. Плоскость сечения пересечет плоскость BCD по прямой параллельной MF (MF||(BCD) по построению), по этому проводим ЕК||BD. Соединим точки К и F. MEKF – искомое сечение. Докажем это.
АС||ME U ME ⊂ (MEF) => AC||(MEF).
MF||BD U MF ⊂ (MEF) => BD||(MEF).
Итак, (MEKF)||AC, (MEKF)||BD
Так как через точку М можно провести только одну прямую ME||АС в грани АВС и одну прямую MF||BD в грани BAD, то плоскость MEKF – единственная.

Задача № 3. Изобразите тетраэдр DABC и отметьте точки М и N на ребрах BD и CD и внутреннюю точку К грани АВС. Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNK.

Решение: a) MN не параллельно ВС (рис. 3). Продолжим отрезок MN до пересечения с продолжением стороны ВС в точке О. В плоскости АВС соединим точки О и К, он пересечет ребро АС в точке Е; продолжим отрезок ОК до пересечения с ребром АВ в точке F. Соединим точки М и F, лежащие в плоскости грани ABD и точки N и Е, лежащие в плоскости грани ADC. Сечение MNEF – искомое.

б) MN || ВС (рис. 4). ВС ⊂ плоскости АВС. По теореме 1 MN || плоскости АВС. По теореме 2 плоскость сечения пересечет плоскость АВС, по прямой, проходящей через точку К параллельно MN. Отсюда построение: в плоскости АВС через точку К проводим FE || ВС до пересечения со сторонами основания в точках F и Е. Соединяя точки М и F точки N и Е, получаем искомое сечение MNEF.

Задача № 4. В тетраэдре DABC биссектрисы трех углов при вершине D пересекают отрезки ВС, СА и АВ соответственно в точках А₁, В₁ и С₁. Докажите, что отрезки АА₁, ВВ₁ и СС₁ пересекаются в одной точке.

Решение: (рис. 5) Отложим от точки D на ребрах DA, DB, DC равные отрезки: DA₁‘ = DB₁‘ = DC₁‘ = а. Соединим точки А₁‘, В₁‘ и С₁‘ отрезками (рис. 6). Нарисуем ограниченную этими отрезками часть тетраэдра, для удобства «положив» его на одну из плоскостей боковых граней.
Проведем биссектрисы двух углов при вершине D: DE и DF, отрезки С₁‘E и A₁‘F. В △A₁‘OB₁‘: DA₁‘ = DB₁‘, DE – общая.
∠A₁‘DE = ∠EDB₁‘, поэтому △A₁‘DE = △B₁‘DE. Следовательно, ЕА₁‘ = В₁‘Е.
В △C₁‘DB₁‘: DF – общая, DC₁‘ = DB₁‘.
∠C₁‘DF = ∠B₁‘DF, поэтому △C₁‘DF = △B₁‘DF, следовательно, C₁‘F = FB₁‘.
В △A₁‘B₁‘C₁‘ отрезки C₁‘Eи A₁‘Fявляются медианами.
Аналогично для биссектрисы из вершины В₁‘.

Таким образом, плоскости DEC₁‘, DFA₁‘ и третья, не показанная на рисунке, пересекаются на рисунке по прямой DO.
Раз указанные плоскости пересекаются по прямой DO, то эта прямая пересечется с плоскостью основания в некоторой точке S, значит, все три отрезка АА₁‘, СС₁‘ и ВВ₁‘ проходят через точку S.

Вы смотрели: Итоговое повторение по геометрии за 10-11 классы по теме «Параллельность прямых, параллельность прямой и плоскости. Скрещивающиеся прямые. Параллельность плоскостей». Решение тестов, вопросов и задач с ответами для УМК Атанасян и др. Поурочное планирование по геометрии для 11 класса. Урок 56. Геометрия 11 Повторение Параллельные прямые.

Смотреть Список всех контрольных по геометрии в 11 классе по УМК Атанасян.