Контрольная работа по геометрии 7 класс с решениями «Геометрические места точек. Окружность. Касательная. Симметричные фигуры» УМК Атанасян с 2023 г. (средний уровень). Геометрия 7 Атанасян К-5 ГМТ Окружность Уровень средний. Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ).
Контрольная работа «ГМТ. Окружность.
Касательная. Симметричные фигуры»
№ 1. Даны окружность с центром О радиуса 5 см и точка М. Через точку М проведены две касательные к окружности. Найдите угол между ними, если ОМ = 10 см.
ОТВЕТ: 60°.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Дано: окружность О(0, R), МВ, МС — касательные, R = 5 см, ОМ = 10 см Найти: ∠ВMС – ? Решение: В точках касания OB ⊥ МВ, ОС ⊥ МС.
△MОВ прямоугольный, катет OB = R = 5 см равен половине гипотенузы ОM = 10 см. Следовательно, ∠ОMВ = 30°. Аналогично ∠ОMС = 30°. Тогда ∠BMC = ∠ОMВ + ∠ОMC = 30° + 30° = 60°.
№ 2. На окружности с центром О отмечены точки K и L так, что угол KОL равен 160°. Прямая LM касается окружности в точке L так, что угол KLM острый. Найдите угол KLM. Ответ дайте в градусах.
ОТВЕТ: ∠KLM = 80°.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Решение: 1) ОK = ОL как радиусы ⇒ △KОL — равнобедренный ⇒ ∠ОKL = ∠ОLK = (180° – 160°) : 2 = 10° как углы при основании равнобедренного треугольника.
2) Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания ⇒ ОL ⊥ LM ⇒ ∠KLM = 90° – ∠ОLK = 90° – 10° = 80°.
№ 3. Прямая ВО – ось симметрия угла АВС. Треугольник BA1C1 симметричен треугольнику АВС относительно прямой ВО. Определите длины отрезков A1C и АС1, если ВА = 44 мм, ВС = 2,5 см.
ОТВЕТ: 1,9 см.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
№ 4. В треугольнике RQS известно, что RS = 8, ∠R = 60°, ∠S = 90°. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.
ОТВЕТ: 8.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
№ 5. Окружность с центром в точке О описана около равнобедренного треугольника KLM, в котором KL = LM и ∠KLM = 100°. Найдите угол LОM.
ОТВЕТ: 80°.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
№ 6. Окружность с центром О описана около равностороннего треугольника АВС. Докажите, что треугольники АВО, ВСО и АСО равны.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
№ 7. * Отрезки RQ и SD являются хордами окружности. Найдите длину хорды SD, если RQ = 10, а расстояния от центра окружности до хорд RQ и SD равны соответственно 12 и 5.
ОТВЕТ: 24.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Геометрия 7 Атанасян К-5 ГМТ Окружность
Ответы на Вариант 2
№ 1. Отрезки КВ и КС являются отрезками касательных к окружности с центром О, проведёнными из точки К. Найдите угол ВКС, если середина отрезка КО лежит на окружности.
ОТВЕТ: 60°.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Дано: окружность O(0, R), KВ, KС – касательные, М – середина ОK, М ∈ О. Найти: ∠ВKС Решение: ОМ = R, ОK = 2ОМ = 2R. В точках касания OB ⊥ KВ, ОС ⊥ KС.
△АОВ прямоугольный, катет ОВ = R равен половине гипотенузы ОK. Следовательно, ∠ОKВ = 30°. Аналогично ∠ОKС = 30°. Тогда ∠BKC = ∠ОKВ + ∠ОKС = 30° + 30° = 60°.
№ 2. На окружности с центром О отмечены точки K и L так, что угол KОL равен 140°. Прямая LM касается окружности в точке L так, что угол KLM острый. Найдите угол KLM. Ответ дайте в градусах.
ОТВЕТ: 70°.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
№ 3. Прямая ВО – ось симметрия угла АВС. Треугольник BA1C1 симметричен треугольнику АВС относительно прямой ВО. Определите длины отрезков A1C и АС1, если ВА = 53 мм, ВС = 3,2 см.
ОТВЕТ: 2,1 см.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
№ 4. В треугольнике RQS известно, что QS = 10, ∠Q = 60°, ∠S = 90°. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.
ОТВЕТ: 10.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
№ 5. Окружность с центром в точке О описана около равнобедренного треугольника KLM, в котором KL = LM и ∠KLM = 50°. Найдите угол LОM.
ОТВЕТ: 130°.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
№ 6. Окружность с центром О вписана в равнобедренный треугольник АВС с основанием АС. Докажите, что треугольник АВО равен треугольнику ВСО.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Пусть окружность касается сторон AB, BC и AC в точках P, Q и R соответственно. Тогда OP ⊥ AB, OQ ⊥ BC, OR ⊥ AC. Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, то AB = BC.
— Рассмотрим треугольники ABO и CBO. У них сторона BO — общая. OP = OQ как радиусы одной окружности. AP = AR и CR = CQ как отрезки касательных, проведенных из одной точки. Так как AB = BC, то AB — AP = BC — CQ, то есть BP = BQ. Таким образом, треугольники BPO и BQO равны по трем сторонам (BO — общая, OP = OQ, BP = BQ). Значит, угол ABO = углу CBO.
— Рассмотрим треугольники ABO и CBO. AB = BC, BO — общая, угол ABO = углу CBO. Следовательно, треугольники ABO и BCO равны по двум сторонам и углу между ними. Что и требовалось доказать.
№ 7. * Отрезки RQ и SD являются хордами окружности. Найдите длину хорды SD, если RQ = 12, а расстояния от центра окружности до хорд RQ и SD равны соответственно 8 и 6.
ОТВЕТ: 16.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Дано:
отрезки RQ и SD — хорды окружности;
RQ = 12;
расстояние от центра окружности до хорды RQ равно 8;
расстояние от центра окружности до хорды SD равно 6.
Найти: длину хорды SD — ? Решение:
1. Обозначим центр окружности точкой O. Проведём перпендикуляры из центра O к хордам RQ и SD. По свойству перпендикуляра из центра окружности к хорде, он делит хорду пополам. Обозначим:
точку пересечения перпендикуляра с RQ как M (OM \perp RQ), тогда RM = MQ = (RQ)/2 = 12/2 = 6;
точку пересечения перпендикуляра с SD как N (ON \perp SD), тогда SN = ND = (SD) / 2.
2. Найдём радиус окружности R, используя хорду RQ. Рассмотрим прямоугольный треугольник OMR:
OM = 8 (расстояние от центра до хорды RQ);
RM = 6 (половина хорды RQ);
OR = R (радиус окружности).
По теореме Пифагора:
OR² = OM² + RM² ⇒ R² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100 ⇒ R = √100 = 10.
3. Найдём половину длины хорды SD, используя найденный радиус и расстояние от центра до SD. Рассмотрим прямоугольный треугольник ONS:
ON = 6 (расстояние от центра до хорды SD);
OS = R = 10 (радиус окружности);
SN — половина хорды SD, которую нужно найти.
По теореме Пифагора:
OS² = ON² + SN² ⇒ 10² = 6² + SN² ⇒ 100 = 36 + SN² ⇒ SN² = 100 ─ 36 = 64 ⇒ SN = √64 = 8.
4. Вычислим длину всей хорды SD:
SD = 2 • SN = 2 • 8 = 16.
─ ─ ─
Ответ: длина хорды SD равна 16.
Вы смотрели: Контрольная работа по геометрии 7 класс с решениями «Геометрические места точек. Окружность. Касательная. Симметричные фигуры» УМК Атанасян с 2023 г. (средний уровень). Код материалов: Геометрия 7 Атанасян К-5 ГМТ Окружность.
8 Комментарии
добрый вечер,а где можно посмотреть 3 и 4 вариант?
Выложите , пожалуйста все решения и 1 и 2 варианта
завтра вечером сделаем решения
А где можно найти 3 и 4 вариант ?
у нас нет…
Мы сами составляли задания для вариантов 1 и 2.
Спасибо , вам большое !
а есть лёгкий уровень этой контрольной?
Все задания аналогичны заданиям из актуального учебника УМК Атанасян. Средняя сложность здесь только в количестве заданий за урок. Если уменьшить до 4-5 заданий, то это и будет лёгкий уровень.
Можно также собрать собственную контрольную из набора заданий, например, тут — https://7класс.рф/kontrolnaja-rabota-geometricheskie-mesta-tochek/
Можно попробовать задания из другого УМК — https://algeomath.ru/геометрия-7-контрольная-4-мерзляк/