Квадратные неравенства . Решение квадратных неравенств

Квадратные неравенства

Ключевые слова: квадратные неравенства, решение квадратных неравенств, примеры решения задач. Раздел ОГЭ по математике: 3.2.5. Квадратные неравенства.



☑ ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Неравенство вида ах2 + bх + с > 0, где а ≠ 0, называют квадратным неравенством.

Примечание к определению: вместо знака > могут стоять и другие знаки неравенства: <, ≥, ≤.

Множество решений квадратного неравенства легко найти, используя график функции у = ах2 + bх + с.


На рисунке изображён график функции у = х2 – 2х – 3. График пересекает ось х в двух точках, абсциссы которых равны 1 и 3, т. е. при х = 1 и х = 3 значения функции у = х2 3 равны нулю.

  • При 1 < х < 3 график расположен ниже оси х, т. е. значения функции на этом промежутке отрицательны. Иными словами, множеством решений неравенства у < 0 является промежуток 1 < х < 3.
  • При x < 1 и x > 3 график расположен выше оси х, т. е. значения функции положительны. Иными словами, неравенство х2 3 > 0 выполняется при х < 1 и х > 3.

При решении квадратных неравенств можно ограничиться схематическим рисунком, показывающим положение графика относительно оси х, так как координаты вершины в данном вопросе значения не имеют; можно также не изображать ось у.

Если требуется решить квадратное неравенство с отрицательным коэффициентом а, то всегда целесообразно перейти к равносильному неравенству с положительным первым коэффициентом, умножив обе части неравенства на 1. Например, вместо неравенства 5 + 4х х2 ≤ 0 решать неравенство х2 5 ≥ 0.


Примеры решения задач

Пример 1. Решим неравенство х2 x 6 > 0.

Выясним, пересекает ли график функции у = х2 х 6 ось х. Для этого решим уравнение х2 x 6 = 0. Его корни x1 = 2 и х2 = 3. Следовательно, парабола (график функции) пересекает ось х в точках с абсциссами 2 и 3, её ветви направлены вверх. Покажем схематически расположение параболы относительно оси х.

Из рисунка видно, что парабола расположена выше оси x при х < 2 и х > 3. Объединение этих промежутков и составляет множество решений неравенства x2x 6 > 0.

Ответ можно записать поразному:
1) x < 2; х > 3;
2) (оо; 2) U (3; +оо).

Пример 2. Решим неравенство х(3 2х) > 2.

Раскроем скобки и перенесём все слагаемые в левую часть, получим: 2x2 + 3x 2 > 0. Теперь заменим неравенство равносильным неравенством с положительным первым коэффициентом (для этого умножим обе части неравенства на 1 и заменим знак неравенства на противоположный): 2х2 3х + 2 < 0.

Выясним, пересекает ли парабола график функции у = 2х2 3х + 2 ось х. Найдём дискриминант квадратного трёхчлена 2х2 3х + 2, a именно: D = 9 4·2·2 = 9 16 < 0. Так как дискриминант отрицательный, то квадратный трёхчлен не имеет корней и парабола не пересекает ось х. Изобразим эту параболу схематически:

При всех значениях х парабола расположена выше оси х, это означает, что нет таких значений х, при которых функция у = 2х2 3х + 2 принимает отрицательные значения, значит, неравенство 2х2Зх + 2 < 0 решений не имеет.

Ответ можно записать поразному:
1) неравенство решений не имеет;
2) ∅.

Пример 3. Воспользуемся этим же рисунком, чтобы решить неравенство 2 + 3х 2 < 0. Заменим его равносильным неравенством 2х2 3х + 2 > 0. В этом случае любое число является решением неравенства, так как при всех значениях х функция у 2 3х + 2 принимает положительные значения.

Ответ можно записать поразному:
1) х любое число;
2) (оо; +оо).

Если неравенство нестрогое, то не надо забывать включить в множество решений значения переменной, при которых квадратный трёхчлен обращается в нуль.

Пример 4. Найдём область определения выражения: 

Область определения выражения задаётся условиями:

Решив каждое из неравенств, получим:

Сделаем схематический рисунок:

Из рисунка видно, что множеством решений системы неравенств является промежуток от 2/3 до 2 (включая эти числа) без числа 1. Ответ можно записать поразному:


Это конспект по алгебре на тему «Квадратные неравенства». Выберите дальнейшие действия:

Квадратные неравенства
5 (100%) 3 vote[s]

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Send this to a friend