Ключевые слова: квадратные неравенства, решение квадратных неравенств, примеры решения задач. Раздел ОГЭ по математике: 3.2.5. Квадратные неравенства.
☑ ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Неравенство вида ах2 + bх + с > 0, где а ≠ 0, называют квадратным неравенством.
Примечание к определению: вместо знака > могут стоять и другие знаки неравенства: <, ≥, ≤.
Множество решений квадратного неравенства легко найти, используя график функции у = ах2 + bх + с.
На рисунке изображён график функции у = х2 – 2х – 3. График пересекает ось х в двух точках, абсциссы которых равны –1 и 3, т. е. при х = –1 и х = 3 значения функции у = х2 – 2х – 3 равны нулю.
При решении квадратных неравенств можно ограничиться схематическим рисунком, показывающим положение графика относительно оси х, так как координаты вершины в данном вопросе значения не имеют; можно также не изображать ось у.
Если требуется решить квадратное неравенство с отрицательным коэффициентом а, то всегда целесообразно перейти к равносильному неравенству с положительным первым коэффициентом, умножив обе части неравенства на –1. Например, вместо неравенства 5 + 4х – х2 ≤ 0 решать неравенство х2 – 4х – 5 ≥ 0.
Пример 1. Решим неравенство х2 – x – 6 > 0.
Выясним, пересекает ли график функции у = х2 – х – 6 ось х. Для этого решим уравнение х2 – x – 6 = 0. Его корни x1 = –2 и х2 = 3. Следовательно, парабола (график функции) пересекает ось х в точках с абсциссами –2 и 3, её ветви направлены вверх. Покажем схематически расположение параболы относительно оси х.
Из рисунка видно, что парабола расположена выше оси x при х < –2 и х > 3. Объединение этих промежутков и составляет множество решений неравенства x2 – x – 6 > 0.
Ответ можно записать по–разному:
1) x < –2; х > 3;
2) (–оо; –2) U (3; +оо).
Пример 2. Решим неравенство х(3 – 2х) > 2.
Раскроем скобки и перенесём все слагаемые в левую часть, получим: –2x2 + 3x – 2 > 0. Теперь заменим неравенство равносильным неравенством с положительным первым коэффициентом (для этого умножим обе части неравенства на –1 и заменим знак неравенства на противоположный): 2х2 – 3х + 2 < 0.
Выясним, пересекает ли парабола – график функции у = 2х2 – 3х + 2 – ось х. Найдём дискриминант квадратного трёхчлена 2х2 – 3х + 2, a именно: D = 9 – 4·2·2 = 9 – 16 < 0. Так как дискриминант отрицательный, то квадратный трёхчлен не имеет корней и парабола не пересекает ось х. Изобразим эту параболу схематически:
При всех значениях х парабола расположена выше оси х, это означает, что нет таких значений х, при которых функция у = 2х2 – 3х + 2 принимает отрицательные значения, значит, неравенство 2х2–Зх + 2 < 0 решений не имеет.
Ответ можно записать по–разному:
1) неравенство решений не имеет;
2) ∅.
Пример 3. Воспользуемся этим же рисунком, чтобы решить неравенство –2х2 + 3х – 2 < 0. Заменим его равносильным неравенством 2х2 – 3х + 2 > 0. В этом случае любое число является решением неравенства, так как при всех значениях х функция у – 2х2 – 3х + 2 принимает положительные значения.
Ответ можно записать по–разному:
1) х – любое число;
2) (–оо; +оо).
Если неравенство нестрогое, то не надо забывать включить в множество решений значения переменной, при которых квадратный трёхчлен обращается в нуль.
Пример 4. Найдём область определения выражения:
Область определения выражения задаётся условиями:
Решив каждое из неравенств, получим:
Сделаем схематический рисунок:
Из рисунка видно, что множеством решений системы неравенств является промежуток от 2/3 до 2 (включая эти числа) без числа 1. Ответ можно записать по–разному:
Это конспект по алгебре на тему «Квадратные неравенства». Выберите дальнейшие действия: